注意亦可利用矩陣的初等列變換求解逆矩陣

注意亦可利用矩陣的初等列變換求解逆矩陣第一頁，共十六頁，2022年，8月28日2、利用矩陣的初等行變求解矩陣方程.事實(shí)上，對(duì)于若A可逆，則有對(duì)應(yīng)于：即第二頁，共十六頁，2022年，8月28日例3.設(shè)AX=B,求X.其中解若可逆，則第三頁，共十六頁，2022年，8月28日所以第四頁，共十六頁，2022年，8月28日同理亦可求解矩陣方程若可逆，則有即第五頁，共十六頁，2022年，8月28日例4.設(shè)A的伴隨矩陣且有求B.解:在兩邊左乘右乘A，得第六頁，共十六頁，2022年，8月28日即因?yàn)槎鴱亩校?）故（*）式可改寫為即所以第七頁，共十六頁，2022年，8月28日第八頁，共十六頁，2022年，8月28日第三章小結(jié)矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等換初等方陣矩陣的秩線性方程組第九頁，共十六頁，2022年，8月28日矩陣的初等變換概念1.對(duì)換矩陣的i,j兩行（列）.2.用k≠0乘矩陣的第i行（列）.3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去.性質(zhì)1.初等變換不改變矩陣的秩.2.對(duì)A經(jīng)過有限次初等變換得到B，則A等價(jià)B.用途求逆，

求矩陣A的秩、最簡(jiǎn)型、標(biāo)準(zhǔn)形.第十頁，共十六頁，2022年，8月28日初等方陣性質(zhì)初等方陣都是可逆矩陣，其逆仍然是同種的初等矩陣.對(duì)Am×n矩陣實(shí)施一次行初等變換，相當(dāng)于對(duì)A左乘一個(gè)相應(yīng)的m階初等方陣；對(duì)A實(shí)施一次列初等變換，相當(dāng)于對(duì)A右乘一個(gè)相應(yīng)的n階初等方陣.任何可逆矩陣都可以表為若干個(gè)初等方陣的乘積.概念對(duì)單位矩陣實(shí)施一次初等變換而得到的矩陣稱為初等方陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)三種初等方陣.第十一頁，共十六頁，2022年，8月28日矩陣的秩概念k階子式.秩：矩陣非零子式的最高階數(shù).

性質(zhì)零矩陣的秩為零.R(A)=R(AT)若B可逆，則R(AB)=R(A).R(A+B)≤R(A)+R(B)R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB)≥R(A)+R(B)-n若AB=0,則R(A)+R(B)≤n第十二頁，共十六頁，2022年，8月28日線性方程組有非零解R(A)<n.求解1.化系數(shù)矩陣為最簡(jiǎn)形.2.找等價(jià)的方程組.3.寫通解.有解R(A)=R(B).求解1.把增廣矩陣B化為最簡(jiǎn)形.2.找等價(jià)的方程組.3.寫通解.第十三頁，共十六頁，2022年，8月28日

Ax=0解的結(jié)構(gòu)Ax=0有唯一零解R(A)=r=n.Ax=0有無窮多個(gè)非零解R(A)=r<n.其通解可表為：為方程組的基礎(chǔ)解系.其中第十四頁，共十六頁，2022年，8月28日Ax=b解的結(jié)構(gòu)Ax=b無解R(A)≠R(B)

Ax=b有解R(A)=R(B)=r1）當(dāng)r=n時(shí)，方程組有唯一解.2）當(dāng)r<n時(shí)，方程組有無窮多解.且其通解可表為：其中為方程組對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組的