備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學二輪復(fù)習培優(yōu)專題 第39講 圓錐曲線中的離心率問題求值與范圍及綜合

第三十九講圓錐曲線中的離心率問題求值與范圍及綜合A組一選擇題1.（2017年高考浙江卷）橢圓+=1的離心率是（

）A、

B、

C、

D、【答案】B

【解析】【解答】解：橢圓+=1，可得a=3，b=2，則c==，

所以橢圓的離心率為：=．

故選：B．2.如圖，分別是雙曲線的兩個焦點，以坐標原點為圓心，為半徑的圓與該雙曲線左支交于兩點，若是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）（A）（B）2（C）（D）【答案】D【解析】依題所以,3.若雙曲線的實軸長、虛軸長、焦距成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率是（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】若雙曲線的實軸長、虛軸長、焦距成等差數(shù)列則所以4.已知橢圓的右焦點為，短軸的一個端點為，直線交橢圓于兩點．若，點到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是A.B.C.D.【答案】A解析：設(shè)左焦點為,連接.則四邊形是平行四邊形,故，所以，，所以，設(shè)，則，從而，所以橢圓的離心率的取值范圍是，故選A.5.如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點，分別是在第二、四象限的公共點．若四邊形為矩形，則的離心率是()A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)雙曲線實半軸長為，焦半距為，，由題意知，，，，，則雙曲線的離心率，選擇D.6.已知，是雙曲線的左，右焦點，若雙曲線左支上存在一點與點關(guān)于直線對稱，則該雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【解析】即雙曲線的一條漸近線方程.過焦點且垂直漸近線的直線方程為：，與聯(lián)立，解之可得故的中點坐標為（）.由中點坐標公式可得點的坐標為，將其代入雙曲線的方程可得結(jié)合化簡可得，故．故選.7．已知是雙曲線的左焦點，是雙曲線的右頂點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】由于為等腰三角形，可知只需即可，即，又，故選C．二填空題8.點為橢圓1上一點，為橢圓的焦點，如果，，則橢圓的離心率為________．【答案】eq\f(\r(6),3)【解析】由題意得，所以.9.橢圓的左.右焦點分別為,焦距為,若直線與橢圓的一個交點滿足,則該橢圓的離心率等于__________【答案】【解析】由直線方程直線與軸的夾角，且過點∵∴即∴在中，由橢圓的第一定義可得10.已知雙曲線的漸近線與圓有交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是___________．答案：【解析】由雙曲線的方程為，可得它的漸近線方程為，由圓的方程可得，所以它是以為圓心，以為半徑，又因為圓與漸近線有交點，由點到直線距離公式可得，又因為，，從而可得，雙曲線的離心率為，又因為雙曲線的離心率大于1，所以雙曲線的離心率的取值范圍為．B組題一選擇題1.（2017年高考新課標Ⅲ理）已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，則C的離心率為（

）A、

B、

C、

D、【答案】A

【解析】【解答】解：以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab=0相切，

∴原點到直線的距離=a，化為：a2=3b2．

∴橢圓C的離心率e===．

故選：A．2.已知雙曲線左右焦點分別為，點為其右支上一點，，且，若|成等差數(shù)列，則該雙曲線的離心率為()A.B．C．2D.【答案】A【解析】設(shè)，雙曲線方程為，因此有，∴又=1\*GB3①由余弦定理=2\*GB3②

=1\*GB3①=2\*GB3②兩式聯(lián)立解得，所以3.如圖，是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于點、.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為()4B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)雙曲線的定義，可得，∵若為等邊三角形，即，∴，即，又∵，∴，∵中，，，，∴，即，解之得：，由此可得雙曲線的離心率為.4.設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點,若點滿足，則該雙曲線的離心率是()（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由雙曲線的方程可知，漸近線為，分別于聯(lián)立，解得，由得，設(shè)的中點為，則，PQ與已知直線垂直，故，則.故選A.5.斜率為1的直線與橢圓相交于兩點，則的最大值為()A、2 B、 C、 D、【答案】C【解析】弦長6．F是雙曲線C：的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂直，垂足為A，交另一條漸近線于點B，若，則C的離心率是（）A．B．C．2D．【答案】B【解析】由已知漸近線為，，由條件得，F(xiàn)到漸近線的距離，則，在中，，則，設(shè)的傾斜角為，即，則，在中，，在中，，而，即，即，∴，∴，即.7．已知雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離為（為雙曲線的半焦距長），則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【答案】【解析】任取一焦點到一條漸近線的距離為，則，有．二填空題8.在平面直角坐標系中，橢圓的標準方程為，右焦點為，右準線為，短軸的一個端點為，設(shè)原點到直線的距離為，到的距離為.若，則橢圓的離心率為________．【答案】【解析】由題意知，，不妨設(shè)，則直線即于是，由，，化簡得即，解得或（舍去）故，故橢圓的離心率為.9.如圖，在平面直角坐標系中，為橢圓的四個頂點，為其右焦點，直線與直線相交于點，線段與橢圓的交點恰為線段的中點，則該橢圓的離心率為.【答案】【解析】考查橢圓的基本性質(zhì)，如頂點、焦點坐標，離心率的計算等。以及直線的方程直線的方程為：；直線的方程為：。二者聯(lián)立解得：則在橢圓上，解得：C組題一選擇題1.已知橢圓，為其左、右焦點，為橢圓上任一點，的重心為，內(nèi)心，且有（其中為實數(shù)），橢圓的離心率 A． B． C． D．【答案】【解析】方法一：設(shè)由為的重心得：的坐標為再由可知平行于軸，所以點的縱坐標為，在中，，所以的面積為，又因為為的內(nèi)心，所以點的縱坐標即為內(nèi)切圓的半徑，所以，所以，即，所以，所以橢圓的離心率，故應(yīng)選.方法二：（個人觀點）特殊化法，取為上頂點，在軸上，又，所以重合，所以為正三角形，所以,而，2..如圖，已知雙曲線：的右頂點為為坐標原點，以為圓心的圓與雙曲線的某漸近線交于兩點．若且，則雙曲線的離心率為()A． B．C．D．【答案】C【解析】確定為等邊三角形，設(shè)，則，利用勾股定理，結(jié)合余弦定理，即可得出結(jié)論．因為且，所以為等邊三角形，設(shè)，則，漸近線方程為，，取的中點，則，由勾股定理可得，∴在中，,∴結(jié)合，可得方法二：（個人觀點）以為圓心的圓與雙曲線的某漸近線交于兩點．若，則為正三角形，所以，，所以，由圓的切割線定理，，漸近線方程為到漸近線的距離而由為正三角形，可知到漸近線的距離所以，則3.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率，則A.4B.C.D.2【答案】A【解析】

解法1：試題分析：設(shè)，，則，又，所以，,,即,，因此，解法2：橢圓雙曲線：根據(jù)橢圓定義：根據(jù)雙曲線定義：，不妨設(shè)則，在中，則化簡得知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為（）．B.C.D.【答案】A【解析】解法1：因為在中，由正弦定理得則由已知，得，即設(shè)點由焦點半徑公式，得，則記得由橢圓的幾何性質(zhì)知，則，整理得，解得或，又，故橢圓的離心率解法2：由解析1知由橢圓的定義知則即，由橢圓的幾何性質(zhì)知，則即所以以下同解析1.5．已知中心在坐標原點的橢圓和雙曲線有公共焦點，且左、右焦點分別為，這兩條曲線在第一象限的交點為是以為底邊的等腰三角形。若，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為c，利用三角形中邊之間的關(guān)系得出c的取值范圍，再根據(jù)橢圓或雙曲線的性質(zhì)求出各自的離心率，最后依據(jù)c的范圍即可求出的取值范圍是．設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為c，由題意知故選B．二填空題

6.2017年高考北京卷理）若雙曲線x2﹣=1的離心率為，則實數(shù)m=________．【答案】2

【解析】雙曲線x2﹣=1（m＞0）的離心率為，

可得：，

解得m=2．

故答案為：27.橢圓的右焦點，其右準線與軸的交點為，在橢圓上存在點滿足線段的垂直平分線過點，則橢圓離心率的取值范圍是．【答案】【解析】解法1：由題意，橢圓上存在點，使得線段的垂直平分線過點，所以，而，，所以，所以。又，所以，所以，即，又，所以*解法2：設(shè)點。由題意，橢圓上存在點，使得線段的垂直平分線過點，所以，由橢圓第二定義，，所以，而，所以，解出，由于，所以，又，所以，即，又，所以8.我們把離心率的雙曲線稱為黃金雙曲線．如圖是雙曲線的圖象，給出以下幾個說法：①雙曲線是黃金雙曲線；②若，則該雙