2022高考數(shù)學創(chuàng)新設(shè)計二輪復習 突破練(二)(4數(shù)列＋2解幾)

結(jié)構(gòu)不良型解答突破練突破練(二)(4數(shù)列＋2解幾)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差d不等于0，________，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；∴Sn＝n2＋n.①當n≥2時，Sn－1＝(n－1)2＋n－1.②①－②，得an＝Sn－Sn－1＝2n.而a1＝2，∴an＝2n.選②：由S2＝a3，得a1＋a2＝a3，∴a1＝d.又∵a4＝a1a2，∴a1＋3d＝a1(a1＋d).∵d≠0，∴a1＝d＝2，∴an＝2n.∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d).∵a1＝2，d≠0，∴d＝2，∴an＝2n.(2)若bn＝S2n＋1－S2n，數(shù)列{bn}的前n項和為Wn，求Wn.(注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分)解

由(1)，得Sn＝n2＋n，∴bn＝(2n＋1)2＋2n＋1－(2n)2－2n＝3×22n＋2n，2.(2021·南京調(diào)研)已知數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，________.解

選①，因為S1＋S3＝2S2＋2，所以S3－S2＝S2－S1＋2，即a3＝a2＋2，又數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，所以4a1＝2a1＋2，解得a1＝1，因此an＝1×2n－1＝2n－1.此時任意m，n∈N*，aman＝2m－1·2n－1＝2m＋n－2，由于m＋n－1∈N*，所以aman是數(shù)列{an}的第m＋n－1項，因此數(shù)列{an}滿足條件P.選②，因此數(shù)列{an}不滿足條件P.選③，因為a2a3＝4a4，數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，所以2a1·4a1＝4×8a1，又a1≠0，故a1＝4，因此an＝4×2n－1＝2n＋1.此時任意m，n∈N*，aman＝2m＋1·2n＋1＝2m＋n＋2，由于m＋n＋1∈N*，所以aman是數(shù)列{an}的第m＋n＋1項，因此數(shù)列{an}滿足條件P.解

因為數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，則2Tn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，兩式相減得所以Tn＝(n－1)2n＋1.(注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分)解

選①，由log2an＋1＝log2an＋1得log2an＋1－log2an＝1，所以{log2an}是首項為log2a1＝1，公差為1的等差數(shù)列，所以log2an＝1＋(n－1)×1＝n，故an＝2n.又b1＝2，b3＝14，a1＝2，a3＝8，所以b1－a1＝0，b3－a3＝6，所以bn－an＝b1－a1＋(n－1)d＝3(n－1)，所以bn＝2n＋3(n－1)，由Sn>2021得n≥10，n∈N*，即存在正整數(shù)k，使得Sk>2021，且k的最小值為10.選②，由an＋1＝an＋2n得a2－a1＝21，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝2，所以an＝2n(n≥2)，顯然a1＝2也滿足an＝2n，故an＝2n.以下解法同選①.選③，所以{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an＝2n.以下解法同選①.4.(2021·濟南學情診斷)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式；解

因為Sn＝n2，所以Sn－1＝(n－1)2(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，當n＝1時，a1＝S1＝1，適合上式，所以an＝2n－1.解

若選①，若選②，因為bn＝an·2n＝(2n－1)·2n，所以Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，兩式相減可得，所以Tn＝6＋(2n－3)·2n＋1.若選③，bn＝(－1)n·Sn＝(－1)n·n2，當n為偶數(shù)時，當n為奇數(shù)時，問題：已知曲線C：mx2＋ny2＝1(m，n≠0)的焦點在x軸上，________，是否存在過點P(－1，1)的直線l，與曲線C交于A，B兩點，且P為線段AB的中點？(注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分)解

選條件①，由題設(shè)得曲線C為焦點在x軸上的雙曲線.①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，則直線l與曲線C有且僅有一個交點(－1，0)，不符合題意.所以不存在直線l，與曲線C交于A，B兩點，且P為線段AB的中點.選條件②，由題設(shè)得曲線C為焦點在x軸上的橢圓.①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，其判別式Δ＝[8k(k＋1)]2－4×(3＋4k2)·4(k2＋2k－2)＝16(9k2－6k＋6)>0，所以存在直線l：3x－4y＋7＝0，與曲線C交于A，B兩點，且P為線段AB的中點.6.在平面直角坐標系xOy中：解若選①：若選②：設(shè)P(x，y)，直線l與圓相切于點H，由橢圓的定義，知點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓.(2)記(1)中的軌跡為E，經(jīng)過點D(1，0)的直線l′交E于M，N兩點，若線段MN的垂直平分線與y軸相交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍.解法一設(shè)Q(0，y0)，當直線l′的斜率不存在時，y0＝0.當直線l′的斜率存在時，若斜率為0，則線段MN的垂直平分線與y軸重合，不合題意，所以設(shè)直線l′的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).消去y并整理，得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，設(shè)線段MN的中點為G(x3，y3)，所以線段MN的垂直平分線的方程為法二設(shè)Q(0，y0)，由題意，得直線l′的斜率不為0，設(shè)直線l′的方程為x＝my＋1.若m＝0，則y0＝0.當m≠0時，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，消去x并整理，得(m2＋4)y2