等差數(shù)列講義例題

nsn－nnn等差數(shù)列nsn－nnn、等數(shù)的定如果數(shù)列從二項起每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，n那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即a

a

d(

N

*,且n

或

n

(

N

*)

、（1等數(shù)的斷法①定法

a(數(shù))為等差數(shù)列。②中項法2

n

③通公法

（a,b為常數(shù)）a為差數(shù)列n④前n項和式：AnBn（A,B為數(shù)）為等差數(shù)列。如{}是差數(shù)列b

1

n

n*為項公式數(shù)列為等差數(shù)列。（）差列通項and或)d公式變形為:an

.其中a=d,b=

a

d.如、差數(shù)列{}中30，50，通項n

；、項為-24的差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍______（）差列前

n

和

na)n(Sn，Sna2

。公式變形為：s

，其中

d2

，B=

.

注：已知n,d,1,n,中的三者可以求另兩者，即所謂的“知三求二”。如數(shù)列{}，n

ann

1(2,N2

*

)，a，n項

Sn

152

，則a＝，＝（2）已數(shù)列{}前n項和1nT和.

nn

2

，求數(shù)列

{|}的項n（）差項若

a,

成等差數(shù)列，則A叫a與的等差中項，且

a2

。提1等差數(shù)的通項公式前

n

和公式中涉到5個素：

a1

、

、

n

、

a

及S

其中

a1

稱作為基本元素要已知這5個素中的任意個可出其余，

1kka等差數(shù)列1kka即知求（2）減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為…，aa,d

…（公差為d；偶數(shù)個數(shù)成差設(shè)，da,a

…（公差為

）3.等數(shù)的質(zhì)（1當(dāng)公差時，差數(shù)列的通公式an是于n一1次函數(shù)且斜率為公差前nan

nddda)n是關(guān)于n的次222函數(shù)且常數(shù)項為0等差列a}中，nddx+(a－)上2

Sn是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)n，n）在直線y（2差

為遞增等差數(shù)列差

為遞減等差數(shù)列差

，則為常數(shù)列。（3對稱性：若a是窮數(shù)列，則與首末兩等距離的兩項之和都等于首末兩項之和當(dāng)

m

時,則有

ap

，特別地，當(dāng)

p

時，則有mn

p

.如、差數(shù)列

{}n

中，

an

n

n

3

，則

n

＝______；、等差數(shù)列

a10

a11

，且

a1110

，

S

是其前

n

項和，則A、,1

2

10

都小于，

,1112

都大于0B、

,1

2

19

都小于，

,S20

21

都大于

,S1

2

5

都小于，

,S6

7

都大于0D

,S1

2

20

都小于，

21

22都大于(4)項成等差則應(yīng)的項也成等差數(shù)列即a,

a

km

k,*)

成等差若{}{}n

是等差數(shù)列

{ka}n

{kapb}(k是零常數(shù)){an

}(

*

)

、S,nn3

2n

（公差為nd成等差數(shù)列，而{a}

成等比數(shù)列；若

{}n

是等比數(shù)列，且

n

，則

{lg}n

是等差數(shù)列如

等差數(shù)列的前和為252n項為的3n和。

偶奇n偶nnn偶奇n偶nnn（5）等差數(shù)列

{}n

中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)，

s

(

)

；s；sa偶nsa奇

項數(shù)為奇數(shù)

n

時，

s

n

n

；s

奇

；

ss

nn

。如、等差數(shù)列中＝，則＝；6、數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列{}中奇數(shù)項和為80偶數(shù)項和為，求此數(shù)列的中間項與項數(shù)（答：；）.（6單調(diào)性：設(shè)為差數(shù)列a的公差，則nd>0a是增數(shù)列；d<0a是遞減數(shù)列；d=0a是數(shù)數(shù)列nn(7)若等差數(shù)列

{}n

、

n

的前

n

和分別為

An

、

Bn

，且

)

，則(2An2fbBn

.S如{a}{}兩個等差數(shù)列們的前項分別為S和，T那么___________（設(shè)aaa為差數(shù)列的三項a與a與a的距差之比lmnln

lmln=≠1=．（）等差數(shù){a}中，=，b(nm)，則nm

=

nn

(a－．、知差列求的最問：n①

若

且足n

則

s

最大；②若且足

0,nn

則

s

最小

“首正”的遞減等差數(shù)列中，n項的最大值是所有非負(fù)項之和”的遞增等差數(shù)列中前n項的最小值是所有非正項之和法一由等式組

a0aa確定出前多少項為非負(fù)（或非正二：因等差數(shù)列前n項關(guān)的次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性nN*。述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想此你能一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？如等差數(shù)列{}中aS此數(shù)列前多少項最大？并求此最大值。n1、{}是差數(shù)列，首項n1

2003