2023北京版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)-8立體幾何

2023北京版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)

第八章立體幾何

8.1空間幾何體的表面積和體積

五年高考

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1.（2022北京,9,4分，綜合性）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是^ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集

合.設(shè)集合1=9百咬45｝廁T表示的區(qū)域的面積為（）

A與B.兀C.2nD.3兀

答案B

2.（2021新高考I,3,5分，基礎(chǔ)性）已知圓錐的底面半徑為近，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)

為（）

A.2B.2或C.4D.4V2

答案B

3.（2020課標(biāo)I.理3,文3,5分，基礎(chǔ)性）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正

四棱錐以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積廁其側(cè)面三角形底

邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（）

V5-1DV5-1「V5+1cV5+1

H--------(.---------I)---------

答案C

4.（2017北京理,7,5分,綜合性）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.3V2B.25/3C.25/2D.2

答案B

5.（2018北京，文6,理5,5分，綜合性）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中.直角三角形的個(gè)

數(shù)為（)

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.1B.2C.3D,4

答案C

6.（2014北京」1,5分，綜合性）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為

俯視圖

答案2四

7.（2020新高考I,16,5分，綜合性）已知直四棱柱ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)均為2/BAD=60。.以U為球

心，遍為半徑的球面與側(cè)面BCC.B）的交線長(zhǎng)為.

答案率

考點(diǎn)二空間幾何體的表面積和體積

1.（2022全國(guó)甲，理9,文10,5分，綜合性）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2兀，側(cè)

SV

面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙.若7=2廁，=（）

乙乙

A?遮B.2夜C.V10D.邛

答案C

2.（2022全國(guó)乙，理9,文12,5分，基礎(chǔ)性）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球

O的球面上,則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

11V3V2

AAqDB-2rC-TnDT

答案c

3.（2022新高考I45分，應(yīng)用性）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題.其中一部分水蓄入

某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0knR水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)

水面的面積為180.0km?.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m

上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（夕*265）（）

A.l.OxlO9m3B.1.2X109m3

C.1.4X109m3D.1.6X109m3

答案C

4.（2022新高考【,8,5分，綜合性）已知正四棱推的側(cè)棱長(zhǎng)為I,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為

36兀,且3<1438,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

D.[18,27]

答案C

5.（2022新高考11,7,5分，綜合性）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為3遮和48,其頂點(diǎn)都在

同一球面上，則該球的表面積為（）

A.lOOnB.128nC.144兀D.192兀

答案A

6.（2021北京.4,4分，綜合性）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）

正?。┮晥D側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.|+yB.3+V3C.|+V3D.3+y

答案A

7.（2020北京,4,4分，綜合性）某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）

正住）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.6+V3B.6+2V3C.12+V3D.12+2百

答案D

8.（2017北京文,6,5分，綜合性）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）

俯視圖

A.60B.30C.20D.10

答案D

9.（2016北京,6,5分，綜合性）某三棱錐的三視圖如圖所示.則該三棱錐的體積為（）

1

側(cè)（左）視圖

111

A-6B0c.-D.1

答案A

10.（2015北京,5,5分，綜合性）某三棱錐的三視圖如圖所示廁該三棱錐的表面積是（）

正?。┮晥D側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.2+V5B.4+V5C.2+2遙D.5

答案C

11.（2021北京,8,4分，應(yīng)用性）某一時(shí)段內(nèi),從天空降落到地面上的雨水.未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平

面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位:mm）.24h降雨量的等級(jí)劃分如下:

24h降雨量

等級(jí)

（精確到01）

.......

小雨0.1~9.9

中雨10.0-24.9

大雨25g9.9

暴雨50.0-99.9

.......

p——200mm-?]

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨

過(guò)程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24h降雨量的等級(jí)是（）

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

答案B

12.（2021全國(guó)甲理,11,5分，綜合性）已知A,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且

AC±BC,AC=BC=1,貝!|三棱錐O-ABC的體積為（）

A虐B.*理D”

121244

答案A

13.（2020新高考H,13,5分，綜合性）棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A山CQi中,M,N分別為棱BB>AB的中點(diǎn),

則三棱錐Ai-DiMN的體積為.

答案1

14.（2019北京，文12,理11,5分，綜合性）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所

示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么該幾何體的體積為

答案40

15.（2022全國(guó)甲文,19,12分.綜合性）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖

所示:底面ABCD是邊長(zhǎng)為8（單位:cm）的正方形,△EAB'FBC/GCD,△HDA均為正三角形，且它們

所在的平面都與平面ABCD垂直.

⑴證明:EFII平面ABCD;

（2）求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）.

解析取AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)M、N、P、Q,連接EM、FN、GP、HQ、MN、NP、PQ、QM.

⑴證明:在正三角形ABE中,M為AB的中點(diǎn)，所以EMJ_AB.又平面ABEH平面ABCD=AB,且平面

ABE_L平面ABCD,所以EM_L平面ABCD.

同理FN_L平面ABCD,所以EMIIFN,

又EM=FN,

所以四邊形EMNF為平行四邊形，所以EFIIMN.

又MNc平面ABCD,且EF。平面ABCD.

所以EFII平面ABCD.

⑵如圖，可將包裝盒分割為長(zhǎng)方體MNPQ-EFGH和四個(gè)全等的四棱錐.

AMB

易得MN=4&cm,EM=4V3cm.

所以V長(zhǎng)方體MNPQ-EFGH=（4立）2X=128再cm3,

V四棱錐B-MNFE=^X4^3X4^2X2V2=—y—CITI3,

所以該包裝盒的容積為128g+4X蜉=竽cnP.

瑟易錯(cuò)警示線面平行的判定中,不能忽略線不在平面內(nèi)這一條件.

16.(2015北京文,18,14分，綜合性)如圖在三棱錐V-ABC中，平面VABL平面ABC,AVAB為等邊三角

形,AC_LBC且AC=BC=V2,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).

(1)求證》811平面MOC;

(2)求證:平面MOC_L平面VAB;

(3)求三棱錐V-ABC的體積.

解析(1)證明:因?yàn)镺,M分別為AB,VA的中點(diǎn),

所以O(shè)MIIVB.又因?yàn)閂BG平面MOCQMu平面MOC,所以VBII平面MOC.

⑵證明:因?yàn)锳C=BC,0為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C±AB.

又因?yàn)槠矫鎂AB_L平面ABC,平面VABC1平面ABC=AB,且OCc平面ABC,所以O(shè)CJ-平面VAB.

因?yàn)镺Cu平面MOC,所以平面MOCL平面VAB.

⑶解法一在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=&.

所以AB=2,則OC=1.所以等邊三角形VAB的面積S“vAB=^AB-BVsin60°=1x2x2xy=V3.

又因?yàn)镺C_L平面VAB,所以二棱錐C-VAB的體積等于界VAB,OC=1.又因?yàn)閂V-ABC=VC.VAB,

所以三棱錐V-ABC的體積為當(dāng)

解法二:連接VO與⑵同理，可證VOL平面ABC,在等邊三角形VAB中,AB=2,所以VO=V3.

所以三棱錐V-ABC的體積等于界ABC-VO=|xixV2xV2xV3=y.

三年模擬

A組考點(diǎn)基礎(chǔ)題組

考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1.（2021豐臺(tái)一模,6）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（）

正?。┮晥D側(cè)（左）視圖

7

俯視圖

A.2B.2V2C.2V3D.4

答案C

2.（2021朝陽(yáng)二模.5）某四棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該四棱錐的5個(gè)

面的面積中，最大的是（）

A.2B.V5C.V6D.3

答案D

3.（2022西城期末,15）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AIBICDI中，過(guò)點(diǎn)A的平面a分別與棱BB）,CCi,DDi

交于點(diǎn)E,F,G,記四邊形AEFG在平面BCCB上的正投影的面積為Si,四邊形AEFG在平面ABBiA1上

的正投影的面積為S2.給出下面四個(gè)結(jié)論：

①四邊形AEFG是平行四邊形；

②S1+S2的最大值為2;

③SS2的最大值為"

④四邊形AEFG可以是菱形,且菱形面積的最大值為孚.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

答案①③④

考點(diǎn)二空間幾何體的表面積和體積

1.（2022海淀期末.9）如圖,A,B是兩個(gè)形狀相同的杯子.且B杯高度是A杯高度的*則B杯容積與A杯容

積之比最接近的是（）

AB

A.1：3B.2：5C.3：5D.3:4

答案B

2.（2021西城二模,4）某三棱柱的三視圖如圖所示，該三棱柱的體積為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

84

BC84

-3-

3

A.答

案D

3.（2021海淀模擬試卷一,6）如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖.則該幾

何體的體積為（）

答案B

4.（2021東城二模,7）某三棱柱的三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.8+3V2B.18+2V3

C.22D.10+6V5

答案D

B組綜合應(yīng)用題組

時(shí)間：20分鐘分值25分

一、選擇題（每小題4分，共20分）

1.（2021北京高三定位考試,5）某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（）

A.2B.2V2

C.V6D.4

答案C

2.（2021朝陽(yáng)質(zhì)量檢測(cè)一,7）某三棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該三棱錐

最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（）

I匚III二III

1由主j視圖側(cè)i左）視圖

IIIIIII

A.2B.V5C.V6D.2V2

答案C

3.（2021西城一模,4）某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

A.12B.8+V2C.16D.8+4V2

答案D

4.（2021海淀二模⑻已知正方體ABCD-ABCD（如圖1）,點(diǎn)P在側(cè)面CDDQ內(nèi)（包括邊界）若三棱錐

B.-ABP的俯視圖為等腰直角三角形（如圖2）,則此三棱錐的左視圖不可能是