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保密★啟用前
2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷十二
(全國(guó)乙卷?理科)
題號(hào)一二三總分
得分
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如
需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡
上.寫在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
評(píng)卷人得分
一、單選題(本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小
題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1.設(shè)集合4={x|%2-3x+2<0},8={x|l<x<3),則()
A.A=BB.A^BC.AQBD.4nB=。
2.已知命題%2-%+a>0,若-ip為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
a>7D.
A.a>74B.4
3.等差數(shù)列{時(shí)}的前n項(xiàng)和為Sn,若即=11,則S13=()
A.66B.99C.110D.143
4.已知t>0,則丫=2竺11的最小值為()
A.-2C.1D.2
5.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸入的々=0,。=0,則輸出
的人為()
A.2
B.3
C.4
D.5
6.已知tana,tan£是方程%24-3%-2=0的兩根,且G(0,加),則a+£的值為()
A.7B.?C.乎D.?
4444
7.曲線C:y=短在點(diǎn)4處的切線I恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則曲線C、直線hy軸所圍成的
圖形面積為()
A.y-1B.;+1C.:D.|-1
8.已知3>0,函數(shù)/0)=25皿(3久+9-1在區(qū)間(]兀)上單調(diào)遞減,則3的取值范
圍是()
A?昵]B.盟]C.(0,|]D.(。,2]
9.2019年7月,中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄,標(biāo)志著中華五千年文明史
得到國(guó)際社會(huì)認(rèn)可.考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過(guò)程中利用了“放射性物質(zhì)因衰
變而減少”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間t(單位:年)的衰變規(guī)律滿足
N=No?2-島(M表示碳14原有的質(zhì)量).經(jīng)過(guò)測(cè)定,良渚古城遺址文物樣本中碳14
的質(zhì)量是原來(lái)的;至|,據(jù)此推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約()年到5730年之間?
(參考數(shù)據(jù):log2?1.6,log2?2.3)
A.4011B.3438C.2865D.2292
10.某市有4,B,C,D,E五所學(xué)校參加中學(xué)生體質(zhì)抽測(cè)挑戰(zhàn)賽,決出第一名到第五
名的名次乂校領(lǐng)導(dǎo)和B校領(lǐng)導(dǎo)去詢問(wèn)成績(jī),回答者對(duì)4校領(lǐng)導(dǎo)說(shuō)“很遺憾,你和B校
都沒(méi)有得到第一名”,對(duì)B校領(lǐng)導(dǎo)說(shuō)“你也不是最后一名”.從這兩個(gè)回答分析,這
五個(gè)學(xué)校的名次排列的不同情況共有()
A.27種B.36種C.54種D.72種
11.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作胭錐曲線論少是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將
圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題:
平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)>。且k*1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將之稱為
阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓「三+4=l(a>b>0),48為橢圓「長(zhǎng)軸的端點(diǎn),C,
0為橢圓r短軸的端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足翳=2,/kMAB的面積的最大值為8,△MCD的
面積的最小值為I,則橢圓r的離心率為()
12.設(shè)函數(shù)/(x)=F-t(lnx+x+|)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()
A.(-00,i]B.&+8)
C.(1-|)U6,+°°)D.(-00,|]U(|,+8)
評(píng)卷人得分
二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)
13.已知向量五=(1,幻,方=(k,3),若方與方方向相同,則k等于.
14.已知等比數(shù)列{冊(cè)}共有2n項(xiàng),其和為-240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則
公比q—.
15.在棱長(zhǎng)為4的正方體力BCD-4/1C/i中,E為棱BC的中點(diǎn),以點(diǎn)E為球心,以VTU
為半徑的球的球面記為r,則直線BD1被r截得的線段長(zhǎng)為.
16.體積為6的三棱錐P-4BC的頂點(diǎn)都在球。的球面上,平面ABC,PA=2,
AABC=120°,則球。的體積最小值為.
評(píng)卷人得分三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算
步驟,第17-21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、
[]23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.)
(~)必考題:共60分
17.已知數(shù)列{%}滿足%=4,當(dāng)n42時(shí),an-(%+a?+…+an_i)=2"+】.
(1)求數(shù)列{斯}的通項(xiàng)公式;
(2)若砥=詈,數(shù)列出“}的前n項(xiàng)和為7n,求證:947n<1.
flun4
18.四面體4-BC0中,AB=AC=AD=BC=BD=3,E是48上一動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)、G分別
是CD、EF的中點(diǎn).
(1)當(dāng)E是48中點(diǎn),CO=3時(shí),求證:DG1BC;
(2)AE=1,當(dāng)四面體4-BCD體積最大時(shí),求二面角。一CE-B的平面角的正弦
值.
19.某企業(yè)擁有3條相同的生產(chǎn)線,每條生產(chǎn)線每月至多出現(xiàn)一次故障.各條生產(chǎn)線是
否出現(xiàn)故障相互獨(dú)立,且出現(xiàn)故障的概率為也
(1)求該企業(yè)每月有且只有1條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障的概率;
(2)為提高生產(chǎn)效益,該企業(yè)決定招聘n名維修工人及時(shí)對(duì)出現(xiàn)故障的生產(chǎn)線進(jìn)行維
修.已知每名維修工人每月只有及時(shí)維修1條生產(chǎn)線的能力,且每月固定工資為1萬(wàn)
元.此外,統(tǒng)計(jì)表明,每月在不出現(xiàn)故障的情況下,每條生產(chǎn)線創(chuàng)造12萬(wàn)元的利潤(rùn);
如果出現(xiàn)故障能及時(shí)維修,每條生產(chǎn)線創(chuàng)造8萬(wàn)元的利潤(rùn);如果出現(xiàn)故障不能及時(shí)
維修,該生產(chǎn)線將不創(chuàng)造利潤(rùn).以該企業(yè)每月實(shí)際獲利的期望值為決策依據(jù),在律=
1與71=2之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?(實(shí)際獲利=生產(chǎn)線創(chuàng)造利潤(rùn)-維修工人工資)
20.在直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)圓P與圓Q:(x-2)2+y2=1外切,且圓P與直線x=-1相
切,記動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的軌跡方程;
(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)S(-2,0)的動(dòng)直線2與曲線C交于力,B兩點(diǎn),試問(wèn):在曲線C上是否存在
點(diǎn)M(與4,B兩點(diǎn)相異),當(dāng)直線M4MB的斜率存在時(shí),直線M4,MB的斜率之和
為定值?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
21.已知函數(shù)/(%)=2nx+]aeR),且。=用函nxdx.
(1)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性;
(2)若方程/(X)=HI有兩個(gè)根為X],%2)且叼<犯,求證:%1+%2>1-
(二)選考題:共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做.則按所做
的第一題計(jì)分.
[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線q的參數(shù)方程為為參數(shù))?以坐標(biāo)原點(diǎn)0
為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為P=6sin0.
(1)求曲線G的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線G,C2交于4,B兩點(diǎn),求|0*-|。8|的值.
[選修4—5:不等式選講]
23.已知函數(shù)/(%)=|x-1|+|x4-2|
(I)解關(guān)于%的不等式f(%)>4;
(II)若關(guān)于x的不等式f(%)>c恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
保密★啟用前
2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬卷十二
(全國(guó)乙卷?理科)
學(xué)校:姓名:班級(jí):考號(hào):
題號(hào)—?二三總分
得分
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需
改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上.寫
在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
評(píng)卷人得分
一、單選題(本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給
出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
24.設(shè)集合4={x|i-3x+2<0},B={X\1<X<3},貝!|()
A.A=BB.C.AQBD.AnB=0
【答案】C
【解析】
【分析】
本題主要考查集合與集合之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.
【解答】
解:A={x|x2-3x+2<0}={x[l<x<2},B={x|l<x<3),所以4UB.
故選C.
25.己知命題p:VxeR,x2-x+a>0,若「p為真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A.a>-B.a>-C.a<-D.a<-
4444
【答案】c
【解析】
【分析】
本題考查命題的否定,解題的關(guān)鍵是寫出正確的特稱命題,并且根據(jù)這個(gè)命題是一個(gè)真命題,
得到判別式的情況.
據(jù)所給的全稱命題寫出他的否定,根據(jù)命題否定是真命題,得到判別式的情況,解不等式即
可.
【解答】
解:由題意可得,命題“任意實(shí)數(shù)X,使/+ax+1>0”的否定是存在實(shí)數(shù)%,使然+ax+
1<0,
由命題否定是真命題,可知A=l-4aN0
1
-?a<-
4
故選:c.
26.等差數(shù)列{即}的前律項(xiàng)和為%,若。7=11,則Si3=()
A.66B.99C.110D.143
【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,是基礎(chǔ)題.
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
【解答】
_13(。1+£113)_13X2(17
解:S[3=13a7=143.
22
故選:D.
27.已知£>0,則丫=號(hào)11的最小值為()
A.—2B.1C.1D.2
【答案】A
【解析】
【分析】
本題主要考查利用基本不等式求最值,屬于基礎(chǔ)題.
對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn),利用基本不等式求最值即可.,注意等號(hào)取得的條件.
【解答】
解:t>0,貝ijy=£lzi£±l=t+A_4>2=
當(dāng)且僅當(dāng)即t=l時(shí),等號(hào)成立,
則丫=二±1的最小值為一2.
故選A.
28.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸入的k=0,a=0,則輸出的k為
()
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】C
【解析】解:模擬程序的運(yùn)行,可得
k=0,a=0
執(zhí)行循環(huán)體,a=l,k=1
執(zhí)行循環(huán)體,a=3,k—2
執(zhí)行循環(huán)體,a=7,k=3
執(zhí)行循環(huán)體,a=15,k=4
此時(shí),滿足判斷框內(nèi)的條件a>10,退出循環(huán),輸出k的值為4.
故選:C.
由已知中的程序語(yǔ)句可知:該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算a的值并輸出相應(yīng)變量k的值,
模擬程序的運(yùn)行過(guò)程,分析循環(huán)中各變量值的變化情況,可得答案.
本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題,解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程,以便得出正確的結(jié)論,
是基礎(chǔ)題.
29.已知tana,tan0是方程它+3%—2=0的兩根,且a,0e(0,乃),則a+0的值為()
A.9B.乎C.-D.?
4444
【答案】B
【解析】
【分析】
本題主要考查了方程的根與系數(shù)關(guān)系及兩角和的正切公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
由題意可得,fana+蔣n,=-3,然后結(jié)合兩角和的正切公式及角的范圍可求.
【解答】
解:由題意可得,{需撰不
因?yàn)閍,pE(0,7r),設(shè)
則tana<0,tan/?>0,
故aW(],江),6W(0,)]VQ+SV跌,
tana+tan/?
故tan(a+£)=
1-tanatan/?
=島=-1,
所以a+/?=*.
故選:B.
30.曲線C:y=1在點(diǎn)4處的切線/恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則曲線C、直線hy軸所圍成的圖
形面積為()
A.y-1B.f+1C.|D.1-1
【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及定積分在幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線,的方程,再由定積分求出面積即可.
【解答】
解:設(shè)切點(diǎn)4(尤0,蜻。),
則直線1的斜率卜=川『。=〃。,
??.,的方程為y=ex,
1xx2
S=f0(e-ex)dr=(e-|x)|J=|-1.
故選D.
31.已知3>0,函數(shù)/(x)=25E(3》+9-1在區(qū)間停,兀)上單調(diào)遞減,則3的取值范圍是
()
A.B.[1,|]c.(0,|]D.(0,2]
【答案】A
【解析】
【分析】
本題考查了函數(shù)y=Asin^x+9)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于中檔題.
+》+而,
/口7TCO.7T.7T,7T
由1<X<7T,得-y+[V3%+zV7T3+7則,jj,解出即可.
開s+4《£開+熟陽(yáng)
【解答】
hTi-?i.?7T,口冗.7T,7T
解:3>0時(shí),由:;<X<7T,得:-+;<3X+;<7T3+:,
22444
而函數(shù)y=sinx在區(qū)間(1+2版]k+2拈,,k£Z上單調(diào)遞減,
手+A3淅
則<不31左eZ,解得?的取值范圍是:+4k43(工+2/c,keZ,
肢+彳C-w+2kw,
又3>0,取/c=0,得[434£
故選A.
32.2019年7月,中國(guó)良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄,標(biāo)志著中華五千年文明史得到
國(guó)際社會(huì)認(rèn)可.考古科學(xué)家在測(cè)定遺址年齡的過(guò)程中利用了“放射性物質(zhì)因衰變而減少”
這一規(guī)律.己知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時(shí)間t(單位:年)的衰變規(guī)律滿足N=No-
2-品(%表示碳14原有的質(zhì)量).經(jīng)過(guò)測(cè)定,良渚古城遺址文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來(lái)
的捶|,據(jù)此推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約()年到5730年之間?(參考數(shù)據(jù):1叫,
1.6,log2x2.3)
A.4011B,3438C.2865D.2292
【答案】A
【解析】
【分析】
本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
根據(jù)碳14的質(zhì)量是原來(lái)的;至:由工S2施S?,即可推算良渚古城存在的時(shí)期.
【解答】
解:因?yàn)樘?4的質(zhì)量是原來(lái)的[至|,所以就
兩邊同時(shí)取以2為底的對(duì)數(shù)得—1<log22s73o<log2g
1
所以一4施工晦3-log25x-0.7,
所以4011<t<5730,
則推測(cè)良渚古城存在的時(shí)期距今約在4011年到5730年之間.
故選A.
33.某市有4,B,C,D,E五所學(xué)校參加中學(xué)生體質(zhì)抽測(cè)挑戰(zhàn)賽,決出第一名到第五名的
名次.4校領(lǐng)導(dǎo)和B校領(lǐng)導(dǎo)去詢問(wèn)成績(jī),回答者對(duì)4校領(lǐng)導(dǎo)說(shuō)“很遺憾,你和B校都沒(méi)有得
到第一名”,對(duì)B校領(lǐng)導(dǎo)說(shuō)“你也不是最后一名”.從這兩個(gè)回答分析,這五個(gè)學(xué)校的名
次排列的不同情況共有()
A.27種B.36種C.54種D.72種
【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查排列、組合的應(yīng)用和分類與分步計(jì)數(shù)原理,關(guān)鍵是根據(jù)題意的敘述,確定甲乙的名
次情況,進(jìn)而進(jìn)行分類討論,是簡(jiǎn)單題.
根據(jù)題意,分析可得,48都沒(méi)有得到冠軍,而B不是最后一名,分2種情況討論:①4是最
后一-名,則B可以為第二、三、四名,剩下的三人安排在其他三個(gè)名次,②4不是最后一名,
4B需要排在第二、三、四名,剩下的三人安排在其他三個(gè)名次,由加法原理計(jì)算可得答案.
【解答】
解:根據(jù)題意,AB都沒(méi)有得到第一名,而B不是最后一名,
分2種情況討論:
①4是最后一名,則B可以為第二、三、四名,即8有3種情況,
剩下的三人安排在其他三個(gè)名次,有&=6種情況,
此時(shí)有3x6=18種名次排列情況;
②4不是最后一名,48需要排在第二、三、四名,有照=6種情況,
剩下的三人安排在其他三個(gè)名次,有膽=6種情況,
此時(shí)有6x6=36種名次排列情況;
則一共有36+18=54種不同的名次排列情況.
34.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作胭錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐
曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與
兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)>0且k豐1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將之稱為阿波羅尼斯
圓.現(xiàn)有橢圓門三+4=l(a>b>0),A,B為橢圓「長(zhǎng)軸的端點(diǎn),C,。為橢圓「短
軸的端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足鬻=2,AMaB的面積的最大值為8,△MC。的面積的最小值
為1,則桶圓r的離心率為()
A.立B.立C.立D.更
3322
【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查了橢圓離心率,動(dòng)點(diǎn)軌跡,屬于中檔題.
求得定點(diǎn)時(shí)的軌跡方程0-號(hào))2+丫2=噂,利用條件可得:x2axga=8,|x2hx|a=
1,解得a,b即可.
【解答】
解:設(shè)4(—a,0),B(Q,0),M(x,y),
??,動(dòng)點(diǎn)M滿足儒=2,
則+a)2+y2=2j(x—a)2+y2,化簡(jiǎn)得(刀—^)2+y2=中
二動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以(半,0)為圓心,以?為半徑的圓,
??,△M4B面積的最大值為8,此時(shí)M普,岸),
△MCO面積的最小值為1,此時(shí)
-x2ax-cz=8?-x2bx-a—1,解得a=V6>b=—,
23232
橢圓的離心率為e=£=11-^=立.
a7a22
故答案選:D.
35.設(shè)函數(shù)f(x)=§-t(lnx+x+|)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()
A.(-°°,|]B.Q,+00)
C&£)U(|,+8)D.(-oo.|]U(|,+co)
【答案】c
【解析】
【分析】
本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的
極值,屬于較綜合的中檔題.
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值得方程r(x)=o在(0,+8)恰有兩個(gè)不同的解,由廣(乃=
竺竺儒N=0得x=1是它的一個(gè)解,另一個(gè)解方程9-t=0確定,且這個(gè)解不等于
1.令g(x)=£(x>0),利用導(dǎo)數(shù)求解即可.
【解答】
解:由題意知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)椋?,+8),
_(x-l)[ex-t(x+2)]_(x-l)(x+2乂&-t).
=,
因?yàn)楹瘮?shù)/(X)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),
所以方程r(x)=o在(0,+8)恰有兩個(gè)不同的解,
顯然x=l是它的一個(gè)解,而另一個(gè)解由方程士-t=0確定,且這個(gè)解不等于1.
X+2
令9。)=總a>°〉則g'(x)=>。,
?X■十41人T4,
因此函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
從而g(x)>g(0)=i,且以1)=(
所以,當(dāng)t>阻t打時(shí),
即函數(shù)/'(x)=7-t(inx+x+:)恰有兩個(gè)極值點(diǎn),
因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是G,9U(|,+8).
故選C.
評(píng)卷人得分
二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)
36.已知向量1=(l,k),b=(/c,3)>若方與方方向相同,則k等于.
【答案】V3
【解析】解:;向量五=(l,k),b=(fc,3)?弓與石方向相同,
(k>0
1_fc,解得k=g.
Ik—3
故答案為:V3.
利用向量平行、向量同向的性質(zhì)直接求解.
本題考查向量平行、向量同向的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
37.已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),其和為-240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比
q=?
【答案】2
【解析】
【分析】
本題主要考查等比數(shù)列,屬于中檔題.
根據(jù)題意列出關(guān)于奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和的方程組,再由勺=注,求出答案.
【解答】
解:設(shè)數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)的和、偶數(shù)項(xiàng)的和分別為S奇,S偶.
由題意得]:奇::偶=-240,
。奇一J偶=80,
?0,S奇——80,S偶——160,
-160
???q=-------=Z.
S奇-80
故答案為2.
38.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD—A1B1C15中,E為棱的中點(diǎn),以點(diǎn)E為球心,以再為半
徑的球的球面記為「則直線BD1被r截得的線段長(zhǎng)為.
【答案】逅
3
【解析】
【分析】
本題以正方體為載體考查球的性質(zhì),考查空間想象能力、計(jì)算能力,屬中檔題.
依題意轉(zhuǎn)化為求以aU為半徑的球面與對(duì)角面BCD14的截面圓的弦長(zhǎng)即可.
【解答】
解:依題意,求以為半徑的球面與對(duì)角面BCD14的截面圓的弦長(zhǎng)即可.
因?yàn)辄c(diǎn)E到直線的距離為點(diǎn)C到直線的距離的:,
即E到直線BD]的距離為呼X;竽
所以直線BO1被「截得的線段長(zhǎng)為2.十嚕
故答案為跡.
3
39.體積為舊的三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)都在球。的球面上,PA1平面ABC,PA=2,^ABC=
120。,則球。的體積最小值為.
【答案】竺巨“
3
【解析】
【分析】
本題考查棱錐與球的位置關(guān)系,正余弦定理解三角形,屬于中檔題.
根據(jù)余弦定理計(jì)算4c的最小值,從而得出外接球半徑的最小值,得出結(jié)論.
【解答】
解:3血=:SAABCeinl20°x2=-
???AB,BC=6,
???P41平面4BC,PA=2,
。到平面4BC的距離為d=\PA=1,
設(shè)△ABC的外接圓半徑為r,球。的半徑為R,R=Vr2+d2=VF7Tl,
由余弦定理可知,AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosl200=AB2+BC2+6>2AB-BC+
6=18,
當(dāng)且僅當(dāng)AB=BC=痣時(shí)等號(hào)成立,
:.AC>3A/2,
由正弦定理得2r=前2等=2乃,...「之6,
~2
/?>V7,當(dāng)R=V7時(shí),球。的體積取得最小值卜=(兀/?3=等!兀,
故答案為丑立兀.
3
評(píng)卷人得分三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算
步驟,第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、
23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.)
(-)必考題:共60分
n+1
40.已知數(shù)列{即}滿足的=4,當(dāng)nN2時(shí),an-(a2+a2-i----Fan-i)=2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若%=詈,數(shù)列{&}的前n項(xiàng)和為〃,求證::《圖<L
【答案】解:(1)因?yàn)楫?dāng)71》2時(shí),斯一(%+。2+“,+即-1)=2"+1,①
所以為1+1—(Q]+。2+…+a九)=2n+2>(2)
②—①得,即+i-冊(cè)一即=2n+2_2什1,即限】一2an=2計(jì)】,即貌-^=l(n>2),
又梟=2,。2=23,。2=12,所以|f一表=1,
所以數(shù)列{罵}是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,
所以愛=2+(n-l)xl=n+l,所以即=(n+l)2n.
故數(shù)列{〃}的通項(xiàng)公式為即=(n+l)2n.
(2)由(1)知1怎=(71+1)2%
pr-p.,_n+2_n+2_(n+2)2-T_(7i+l)2n-n2r1_1__1________」
""n-na^-n(n+l)2n-n(n+l)2n-*12n-n(n+l)2n-12n-n2?i-(n+l)2n,
所以=瓦+慶+…+bn
1/I1\11
2x21\2x213x22/bi2rl一】(n4-l)2nJ
=1-(n+l)-2n<L
又?jǐn)?shù)歹QW詢}是遞減數(shù)列,所以』(士=:,
所以1一鬲詢“V.
故太心<1.
【解析】本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和等,考查的數(shù)學(xué)
核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.屬于較難題.
(1)根據(jù)原等式遞推,得到的+1和an之間的關(guān)系,然后得到數(shù)列{段}是等差數(shù)列,最后根據(jù)
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解數(shù)列{即}的通項(xiàng)公式,也可將已知等式轉(zhuǎn)化為S”和又_1之間的
關(guān)系式,得到數(shù)列{懸}是等差數(shù)列,并求出S”再根據(jù)即和%之間的關(guān)系求出數(shù)列{斯}的
通項(xiàng)公式;
(2)先由(1)得到數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式,并將其轉(zhuǎn)化為可以裂項(xiàng)的形式,再利用裂項(xiàng)相消法求
得%,最后根據(jù)數(shù)列的增減性即可證明.
41.四面體力-BCD^,ABAC=AD=BC=BD=3,E是ZB上一動(dòng)點(diǎn),尸、G分別是CD、
EF的中點(diǎn).
C
(1)當(dāng)E是AB中點(diǎn),CD=3時(shí),求證:DG1BC-,
(2)4E=1,當(dāng)四面體A-BCD體積最大時(shí),求二面角。一CE—B的平面角的正弦值.
【答案】(1)證明:CO=3,則四面體4-8C。為正四面體,頂點(diǎn)4在底面的射影。為底面正
三角形的中心,
連接B。并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,建立以點(diǎn)。為原點(diǎn),OF,Oy,。4為坐標(biāo)軸的空間直角坐標(biāo)系,
如圖所示,
?:AB=BC=AD=BC=CD=AC=3,BF=—,OF=-BF=—,OB=-BF=:.
2323
OA=A/6,
6(-V3,0,0).71(0,0,76),O((y,|,0),F(y,0,0),C(y,-j,0),
,..£(一看0凈."(0,0冷,」.前=(苧,彳0),加=(一今—|,分
Vsc.DG=2^x(-y)+(-1)(~|)+0=BC-i-DG,即BC1DG.
(2)如圖,
取AB的中點(diǎn)H,連接CH,DH,FH,
AB=AC=AD=BC=BD=3,
團(tuán)ABC,4ABD均為等邊三角形,
AB1CH,AB1DH,
?:CHCDH=H,CH,DHu面CDH,
AB1W\CDH,
'?^A-BCD=^A-CDH+^B-CDH=3^BCDH'48,
設(shè)CF=x,
則CH?=DH2=BC2-BH?=9-(|)2=彳,FH=VCH2-CF2=-x2
VA-BCD=]SMCDH,AB=H,2x,Jy-x2-3=Jyx2-x4>
=腎7=卜(/一款+詈,
二當(dāng)/=2,即久=力1時(shí),四面體4-BCD體積有最大值,
84
此時(shí),F(xiàn)H=VCW2-CF2=I--X2=—.?1.FH=CF,
\44
CDH為等腰直角三角形,CHLDH,
如圖,以,為坐標(biāo)原點(diǎn),HC為x軸,HD為y軸,”4為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
???AE=1,
???8(0,0,一|),C(產(chǎn),0,0),D(0,產(chǎn),0),
1,3753V5c、二/3c1、二,3Mc3、
???CD=(^,^,0),CE=(CB=(^,0,--)
設(shè)面CDE的法向量為1=(X],%,zi),由/2)=0,£.CE=0得,
3V3,3y/3人
一_二與+7乃二。
2廠?胸=(1,1,3%),
3V3,1
一『1+巧=0n
設(shè)面BCE的法向量為Tn=(小,%曰?),由益?CB=0,薪-CE=0得,
3V33n
-----------%2------Z2—0
V2訪=(0,1,0).
_力^2+匕=0
2/2
【解析】本題主要考查了向量法證明線線垂直、二面角的平面角的正弦值,涉及三棱錐體積
的最大值問(wèn)題,屬于較難題.
(1)根據(jù)條件知四面體為正四面體,所以頂點(diǎn)在底面的投影為底面的中心,建立空間直角坐
標(biāo)系,求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度得到相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo),再求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、相關(guān)向量的坐標(biāo)后
利用向量的數(shù)量積即可證明.
(2)取4B的中點(diǎn)H,連接CH,FH,根據(jù)四面體的體積最大的條件求得CH_L結(jié)合
等腰三角形性質(zhì)及線面垂直的判定得到AB1面CDH,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分
別求出兩個(gè)平面的法向量后即可根據(jù)法向量求得二面角的余弦值,進(jìn)而求得結(jié)果.
42.某企業(yè)擁有3條相同的生產(chǎn)線,每條生產(chǎn)線每月至多出現(xiàn)一次故障.各條生產(chǎn)線是否出
現(xiàn)故障相互獨(dú)立,且出現(xiàn)故障的概率為£
(1)求該企業(yè)每月有且只有1條生產(chǎn)線出現(xiàn)故障的概率;
(2)為提高生產(chǎn)效益,該企業(yè)決定招聘n名維修工人及時(shí)對(duì)出現(xiàn)故障的生產(chǎn)線進(jìn)行維
修.己知每名維修工人每月只有及時(shí)維修1條生產(chǎn)線的能力,且每月固定工資為1萬(wàn)
元.此外,統(tǒng)計(jì)表明,每月在不出現(xiàn)故障的情況下,每條生產(chǎn)線創(chuàng)造12萬(wàn)元的利潤(rùn);
如果出現(xiàn)故障能及時(shí)維修,每條生產(chǎn)線創(chuàng)造8萬(wàn)元的利潤(rùn);如果出現(xiàn)故障不能及時(shí)維修,
該生產(chǎn)線將不創(chuàng)造利潤(rùn).以該企業(yè)每月實(shí)際獲利的期望值為決策依據(jù),在n=l與n=2
之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?(實(shí)際獲利=生產(chǎn)線創(chuàng)造利潤(rùn)-維修工人工資)
【答案】解:(1)設(shè)3條生產(chǎn)線中出現(xiàn)故障的條數(shù)為X,
則X?8(33),
因此P(X=I)=匱包包W
(2)①當(dāng)n=l時(shí),設(shè)該企業(yè)每月的實(shí)際獲利為A萬(wàn)元.
若X=0,則匕=12x3-1=35;
若X=1,則匕=12X2+8X1—1=31:
若X=2,則匕=12x1+8x1+0x1-1=19;
若X=3,則匕=12x0+8x1+0x2-1=7;
又P(X=O)=酸(9°(|丫=畀
p(x=1)=G?g)212
27
26
P(X=2)=
I.1.27
吵=3)=洸)3(|)°嗎,
因此匕的分布列為:
A3531197
81261
P
27272727
此時(shí),實(shí)際獲利匕的均值
E(匕)=35x—+31x—+19x—+7x—=—.
k172727272727
②當(dāng)n=2時(shí),設(shè)該企業(yè)每月的實(shí)際獲利為匕萬(wàn)元.
若X=0,則匕=12x3—2=34;
若X=l,則七=12x2+8x1—2=30;
若X=2,則七=12x1+8X2—2=26;
若X=3,則為=12x0+8x2+0X1—2=14;
因此為的分布列為:
34302614
81261
p
27272727
此時(shí),實(shí)際獲利七的均值
一
E(為)=34x—+30X-+,”26X—6,F14x——1=—802
'乙)2727272727
因?yàn)镋(K)<E(匕).
于是以該企業(yè)每月實(shí)際獲利的期望值為決策依據(jù),
在n=1與n=2之中選其一,應(yīng)選用n=2.
【解析】本題考查二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列及隨機(jī)變量的期望與方差,考查了學(xué)
生的計(jì)算能力,培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力,屬于較難題.
(1)設(shè)3條生產(chǎn)線中出現(xiàn)故障的條數(shù)為X,則X?B(3,J,進(jìn)而即可求得結(jié)果;
(2)分別求得n=1及ri=2時(shí)的期望進(jìn)而即可求得結(jié)果.
43.在直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)圓P與圓Q:。一2)2+y2=1外切,且圓p與直線久=一1相切,
記動(dòng)圓圓心P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的軌跡方程:
(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)S(-2,0)的動(dòng)直線,與曲線C交于A,B兩點(diǎn),試問(wèn):在曲線C上是否存在點(diǎn)M(
與A,B兩點(diǎn)相異),當(dāng)直線M4MB的斜率存在時(shí),直線MA,MB的斜率之和為定值?
若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】解:(1)設(shè)動(dòng)圓圓心為P(x,y),動(dòng)圓圓心P到點(diǎn)Q(2,0)的距離與到直線x=-1距離差
為定圓半徑1,即動(dòng)點(diǎn)P到頂點(diǎn)(2,0)的距離等于到定直線x=-2的距離,
根據(jù)圓拋物線的定義,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以定點(diǎn)(2,0)為焦點(diǎn),直線》=-2為準(zhǔn)線的拋物線,圓
心P的軌跡為曲線C的方程為:y2=8x.
(2))假設(shè)在曲線C上存在點(diǎn)M滿足題設(shè)條件,
不妨設(shè)M(xo,y()),BQ2,,2):
yi-y。_8=%一出_8
,
yi+yox2-x0及+%;
8_8d+為+2為)
+=—+,①
yi+yoy?+yoyo+(%+力)%+力力
顯然動(dòng)直線2的斜率非零,故可設(shè)其方程為%=ty-2,(tG/?),
聯(lián)立V=8x,整理得V-sty+16=0,
64t+16y
yi+丫丫丫力y2>代入式得目出0
2=8t,12=16,J-Lyj(J)4+據(jù)+8ty()+16'
顯然為H0?于是出為(%4+々MB)-64]t+*MB+kMA)(yQ+16)—16yo=0,②,
^yoC^MA+AMB)—64=0
欲使②式對(duì)任意teR成立,必有
+fcMB)Oo+16)-16y0=O'
1
???kMA+kMB=V=yi+16即據(jù)=16,%±4,
將此代入拋物線C的方程可求得滿足條件的M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),(2,-4),
綜上所述,存在點(diǎn)M(與A,B兩點(diǎn)相異),其坐標(biāo)為為(2,4),(2,-4),直線MA、MB的斜率
之和為定值.
【解析】本題考查拋物線的定義以及直線與拋物線的位置關(guān)系,運(yùn)算能力,屬于綜合題.
(1)據(jù)圓錐曲線的定義,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以定點(diǎn)(2,0)為焦點(diǎn),直線x=-2為準(zhǔn)線的拋物線;
(2)假設(shè)在曲線C上存在點(diǎn)P滿足題設(shè)條件,不妨設(shè)M(g,y。),4(xdi),B(x2,y2)^kMA=
。2-。0_88801+為+2'0)
=k,得AMA+I<MB—+,顯然動(dòng)
XI-XQyi+yMB力+yo-yo+(yi+y2)yo+yiy2
0X2-X0yz+%yi+yo
直線l的斜率非零,故可設(shè)其方程為芯=?一2,(t€R),聯(lián)立y2=8x,整理得y2—8ty+
16=0,利用韋達(dá)定理求解.
44.已知函數(shù)/'(x)=frtx+*(aeR),且a=/:sinxdx.
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若方程f(x)=m有兩個(gè)根為%i,x2)且<x2>求證:+x2>1.
【答案】解:(1)函數(shù)/'(X)的定義域:(0,+8),
因?yàn)閍=Jj1sinxdx=(—cosx)|g=2.
1
尤)=Inx+為:?f'(x)=i2X-1
令(。)<0,解得故f(x)在(0*)上是單調(diào)遞減;
令/'(K)>0,解得X>],故/(X)在G,+8)上是單調(diào)遞增.
故/(X)在(0,}上是單調(diào)遞減;在G,+8)上是單調(diào)遞增.
(2)由X1,次為函數(shù)/'(X)=zn的兩個(gè)零點(diǎn),得+土=m,,n%2+圭=m,
兩式相減,可得In%-伍叼+專一《=0,即皿2=矢乎,x”2=普,
出一
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