線性代數(shù)行列式按行列展開

線性代數(shù)課件行列式按行列展開第一頁，共十八頁，2022年，8月28日例

四階行列式D中，我們選定第一、二兩行和第二、四兩列，則得二階子式N。再從D中劃去第一、二兩行和第二、四兩列得余子式M，進(jìn)一步，N的代數(shù)余子式第二頁，共十八頁，2022年，8月28日例：計算下面三階行列式第二列元素的代數(shù)余子式第三頁，共十八頁，2022年，8月28日第四頁，共十八頁，2022年，8月28日下面我們首先觀測三階行列式的展開式與代數(shù)余子式的關(guān)系

3223113321123122133221133123123322113332312322211312113aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD---++==)()()(312232211331233321123223332211aaaaaaaaaaaaaaa-+---=

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131312121111AaAaAa++=

容易看出行列式的值等于第一行元素與它們對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，于是我們可以得到下面的定理。第五頁，共十八頁，2022年，8月28日定理2：n階行列式D等于它的任意一行（列）所有元素與它們對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，或即第六頁，共十八頁，2022年，8月28日例1：計算四階行列式解：可以選任意一行或一列展開，注意到第二行有兩個元素為零，所以展開計算時只需要計算兩個三階代數(shù)余子式，因此選第二行進(jìn)行展開，得第七頁，共十八頁，2022年，8月28日第八頁，共十八頁，2022年，8月28日第i行乘以加到第i+1行每列依次提出公因子，得到第九頁，共十八頁，2022年，8月28日以此類推，可以得到行列式的值第十頁，共十八頁，2022年，8月28日定理3：行列式的某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日推論：如果n階行列式的某兩行（第i行與第j行）對應(yīng)元素相同，則行列式的值等于零。

第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日定理4（Laplace展開定理)：在行列式D中任意取k（1kn－1）行，則由這k

行元素所組成的所有

k階子式與它們的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式D.

第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日例：計算行列式求出它們對應(yīng)的代數(shù)余子式選第一、二兩行，則它們所組成的二階子式共有10個，其中非零子式只有三個，第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日于是，利用Laplace展開定理，得第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日例：計算行列式第十六頁，共十八頁，2022年，8月28日解：把行列式按第一行展開，得再將第二個行列式按第一行展開，可得：注意第一個行列式是n-1階，第二個是n-2階，有：