第三章專題研究導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

專題研究導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用授人以漁題型一導(dǎo)數(shù)與不等式例1

(2010·安徽)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a＞ln2－1且x＞0時(shí)，ex＞x2－2ax＋1.【解析】

(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)單調(diào)遞減↘2(1－ln2＋a)單調(diào)遞增↗故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知當(dāng)a＞ln2－1時(shí)，g′(x)最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)＞0.于是對(duì)任意x∈R，都有g(shù)′(x)＞0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增．于是當(dāng)a＞ln2－1時(shí)，對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)＞g(0)．而g(0)＝0，從而對(duì)任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.探究1

①本題是將不等式證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了函數(shù)與不等式之間的聯(lián)系．②借助函數(shù)單調(diào)性、最值、恒成立等知識(shí)證明函數(shù)不等式是近幾年高考熱點(diǎn)．題型二導(dǎo)數(shù)與方程當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)、g(x)的變化情況如下表：探究2討論方程根的個(gè)數(shù)或函數(shù)的零點(diǎn)，關(guān)鍵根據(jù)題意，畫(huà)出函數(shù)圖象的走勢(shì)規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析解決．(2)若函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，在x＝1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的范圍．【解】

f′(x)＝3x2－3a∵f(x)在x＝－1處取得極值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.由(Ⅰ)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3.∵直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(－3,1)．題型三導(dǎo)數(shù)與最優(yōu)化問(wèn)題探究3生活中求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題稱之為優(yōu)化問(wèn)題．導(dǎo)數(shù)是解決