理論力學(I)-第十四章課件(第7版-哈爾濱工業(yè)大學)分析

第十四章動靜法本章介紹動力學的一個重要原理——達朗伯原理。應用這一原理，就將動力學問題從形式上轉化為靜力學問題，從而依據(jù)關于平衡的理論來求解。這種解答動力學問題的方法，因而也稱動靜法。動力學2§14–1質(zhì)點的動靜法

§14–2質(zhì)點系的動靜法§14–3剛體慣性力系的簡化

§14–4剛體定軸轉動時軸承動反力的概念達朗伯原理的應用

第十四章動靜法§14-1質(zhì)點的動靜法動力學力是由于小車具有慣性，力圖保持原來的運動狀態(tài)，對于施力物體(人手)產(chǎn)生的反抗力。稱為小車的慣性力。一、慣性力的概念人用手推車，人給小車一個力，而反過來小車也給人手一個力，由牛頓第三定律，（作用力與反作用力定律）；由牛頓第二定律所以4動力學[注]質(zhì)點慣性力不是作用在質(zhì)點上的真實力，它是質(zhì)點對施力體反作用力的合力。加速運動的質(zhì)點，對迫使其產(chǎn)生加速運動的物體的慣性反抗的總和。

定義：質(zhì)點慣性力5動力學非自由質(zhì)點M，質(zhì)量m，受主動力，約束反力，合力質(zhì)點的動靜法二、質(zhì)點的動靜法6動力學即：質(zhì)點在隨意瞬時，除作用的主動力和約束反力外，如再假想地加上慣性力，則這些力在形式上將組成一平衡力系。7動力學該方程對動力學問題來說只是形式上的平衡，并沒有變更動力學問題的實質(zhì)。接受動靜法解決動力學問題的最大優(yōu)點，可以利用靜力學供應的解題方法，給動力學問題一種統(tǒng)一的解題格式。8動力學[例1]列車在水平軌道上行駛，車廂內(nèi)懸掛一單擺，當車廂向右作勻加速運動時，單擺左偏角度，相對于車廂靜止。求車廂的加速度。9動力學選單擺的擺錘為探討對象虛加慣性力

角隨著加速度的變化而變化，當不變時，角也不變。只要測出角，就能知道列車的加速度。這就是擺式加速計的原理。解：由動靜法,有解得10動力學§14-2質(zhì)點系的動靜法對整個質(zhì)點系，主動力系、約束反力系、慣性力系形式上構成平衡力系。這就是質(zhì)點系的動靜法。可用方程表示為：設有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成，對每一個質(zhì)點，有11動力學注意到 ,將質(zhì)點系受力按內(nèi)力、外力劃分,則表明：對整個質(zhì)點系來說，動靜法給出的平衡方程，只是質(zhì)點系的慣性力系與其外力的平衡，而與內(nèi)力無關。12動力學對平面隨意力系：對于空間隨意力系：實際應用時,同靜力學一樣隨意選取探討對象,列平衡方程求解。用動靜法求解動力學問題時，13動力學

§14-3剛體慣性力系的簡化簡化方法就是采用靜力學中的力系簡化的理論。將虛擬的慣性力系視作力系向任一點O簡化而得到一個慣性力和一個慣性力偶。無論剛體作什么運動，慣性力系主矢都等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。14動力學一、剛體作平動向質(zhì)心C簡化：剛體平動時慣性力系合成為一過質(zhì)心的合慣性力。翻頁請看動畫15動力學16動力學空間慣性力系—>平面慣性力系（質(zhì)量對稱面）O為轉軸z與質(zhì)量對稱平面的交點，向O點簡化：二、定軸轉動剛體先探討具有垂直于轉軸的質(zhì)量對稱平面的簡潔狀況。O直線i:平動，過Mi點，17動力學主矩：主矢：18動力學向O點簡化：向質(zhì)點C點簡化：作用在C點作用在O點19動力學探討：①剛體作勻速轉動，轉軸不通過質(zhì)點C。20動力學探討：②轉軸過質(zhì)點C，但0，慣性力偶（與反向）21動力學探討：③剛體作勻速轉動，且轉軸過質(zhì)心，則（主矢、主矩均為零）22動力學假設剛體具有質(zhì)量對稱平面，并且平行于該平面作平面運動。此時，剛體的慣性力系可先簡化為對稱平面內(nèi)的平面力系。剛體平面運動可分解為隨基點（質(zhì)點C）的平動：繞通過質(zhì)心軸的轉動：

作用于質(zhì)心三、剛體作平面運動23動力學24動力學對于平面運動剛體：由動靜法可列出如下三個方程：實質(zhì)上：25動力學[例1]均質(zhì)桿長l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿由與平面成0角位置靜止落下。求起先落下時桿AB的角加速度及A點支座反力。選桿AB為探討對象虛加慣性力系：解：依據(jù)動靜法，有26動力學27動力學用動量矩定理+質(zhì)心運動定理再求解此題：解：選AB為探討對象由得：由質(zhì)心運動定理：28動力學

[例2]牽引車的主動輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動，設車輪所受的主動力可簡化為作用于質(zhì)心的兩個力及驅(qū)動力偶矩M，車輪對于通過質(zhì)心C并垂直于輪盤的軸的回轉半徑為，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f,試求在車輪滾動而不滑動的條件下，驅(qū)動力偶矩M之最大值。取輪為探討對象虛加慣性力系：解：O29動力學由(1)得O由動靜法，得：30動力學由(2)得N=P+S，要保證車輪不滑動，必需F<fN=f(P+S)(5)可見，f越大越不易滑動。Mmax的值為上式右端的值。把(5)代入(4)得：O31動力學§14-4剛體定軸轉動時軸承動反力的概念

一、剛體的軸承動反力剛體的角速度，角加速度（逆時針）主動力系向O點簡化:主矢,主矩慣性力系向O點簡化:主矢,主矩32動力學33動力學依據(jù)動靜法：其中有五個式子與約束反力有關。設AB=l,OA=l1,OB=l2可得34動力學由兩部分組成，一部分由主動力引起的，不能消退，稱為靜反力；一部分是由于慣性力系的不平衡引起的，稱為附加動反力，它可以通過調(diào)整加以消退。使附加動反力為零，須有靜反力附加動反力動反力35動力學當剛體轉軸為中心慣性主軸時，軸承的附加動反力為零。對z軸慣性積為零，z軸為剛體在O點的慣性主軸；過質(zhì)心36動力學

靜平衡：剛體轉軸過質(zhì)心，則剛體在僅受重力而不受其它主動力時，不論位置如何，總能平衡。

動平衡：轉動為中心慣性主軸時，轉動時不產(chǎn)生附加動反力。二、靜平衡與動平衡的概念37動力學[例1]質(zhì)量不計的剛性軸以角速度勻速轉動，其上固結著兩個質(zhì)量均為m的小球A和B。指出在圖示各種狀況下，哪些是靜平衡的？哪些是動平衡的？靜平衡：(b)、(d)動平衡：(a)38動力學動平衡的剛體，確定是靜平衡的；反過來，靜平衡的剛體，不確定是動平衡的。[例2]兩個相同的定滑輪如下圖示，開始時都處于靜止，問哪個角速度大？(a)繩子上加力G(b)繩子上掛一重G的物體OO39動力學依據(jù)達朗伯原理，以靜力學平衡方程的形式來建立動力學方程的方法，稱為動靜法。應用動靜法既可求運動，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知運動，求質(zhì)點系運動時的動約束反力。應用動靜法可以利用靜力學建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以隨意選取，二矩式，三矩式等等。因此當問題中有多個約束反力時，應用動靜法求解它們時就便利得多。達朗伯原理的應用40動力學①選取探討對象。原則與靜力學相同。②受力分析。畫出全部主動力和外約束反力。③運動分析。主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標出方向。應用動靜法求動力學問題的步驟及要點：④虛加慣性力。在受力圖上畫上慣性力和慣性力偶，確定要在正確進行運動分析的基礎上。熟記剛體慣性力系的簡化結果。41動力學

⑤列動靜方程。選取適當?shù)木匦暮屯队拜S。

⑥建立補充方程。運動學補充方程（運動量之間的關系）。

⑦求解求知量。

[注]的方向及轉向已在受力圖中標出，建立方程時，只需按 代入即可。42動力學

[例1]質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對于轉軸O的轉動慣量為I，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運動，求鼓輪的角加速度。取系統(tǒng)為探討對象解：方法1用達朗伯原理求解43動力學虛加慣性力和慣性力偶：由動靜法：列補充方程： 代入上式得：44動力學方法2用動量矩定理求解依據(jù)動量矩定理：取系統(tǒng)為探討對象45動力學取系統(tǒng)為探討對象，任一瞬時系統(tǒng)的方法3用動能定理求解46動力學兩邊除以dt，并求導數(shù)，得47動力學[例2]在圖示機構中，沿斜面對上作純滾動的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為P和Q，半徑均為R，繩子不行伸長，其質(zhì)量不計，斜面傾角，如在鼓輪上作用一常力偶矩M，試求：(1)鼓輪的角加速度？(2)繩子的拉力？(3)軸承O處的支反力？(4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計滾動摩擦）？48動力學解：方法1用達朗伯原理求解取輪O為探討對象，虛加慣性力偶列出動靜方程：取輪A為研究對象，虛加慣性力和慣性力偶MQC如圖示。49動力學列出動靜方程：運動學關系：，將MQ，RQ，MQA及運動學關系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得：50動力學代入(2)、(3)、(5)式，得：51動力學方法2用動力學普遍定理求解(1)用動能定理求鼓輪角加速度。取系統(tǒng)為探討對象52動力學兩邊對t求導數(shù)：53動力學(2)用動量矩定理求繩子拉力（定軸轉動微分方程）取輪O為探討對象，由動量矩定理得54動力學(3)用質(zhì)心運動定理求解軸承O處支反力取輪O為探討對象，依據(jù)質(zhì)心運動定理：55動力學(4)用剛體平面運動微分方程求摩擦力取圓柱體A為探討對象，依據(jù)剛體平面運動微分方程方法3：用動能定理求鼓輪的角加速度

用達朗伯原理求約束反力（繩子拉力、軸承O處反力和及摩擦力）。56動力學[例3]均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，無滑動地沿傾斜平板由靜止自O點起先滾動。平板對水平線的傾角為，試求OA=S時平板在O點的約束反力。板的重力略去不計。解：(1)用動能定理求速度，加速度圓柱體作平面運動。在初始位置時，處于靜止狀態(tài)，故T1=0；在末位置時，設角速度為，則vC=R,動能為：P57動力學主動力的功：由動能定理得對t求導數(shù)，則：(2)用達朗伯原理求約束反力取系統(tǒng)為研究對象，虛加慣性力和慣性力偶MQCP58動力學列出動靜方程：59動力學[例4]繞線輪重P，半徑為R及r，對質(zhì)心O轉動慣量為IO，在與水平成角的常力T作用下純滾動，不計滾阻，求：(1)輪心的加速度；(2)分析純滾動的條件。解：用達朗伯原理求解繞線輪作平面運動（純滾動）由達朗伯原理，得將RQ、MQO代入上式，可得60動力學純滾動的條件：F≤fN

61動力學1.物體系統(tǒng)由質(zhì)量均為m的兩物塊A和B組成，放在光滑水平面上，物