線性方程組解的結(jié)構(gòu)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)1第一頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日§4.1線性方程組解的存在性定理在前面的章節(jié)學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)研究的關(guān)于線性方程組的求解問(wèn)題，本章將在整理前面知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，深入研究解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。2第二頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日(4-1)(矩陣形式)(向量形式)(原始形式)3第三頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日非齊次方程組解的存在性定理定理4.1.1對(duì)于非齊次方程組(4-1)向量可由A的列向量組線性表示。4第四頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日定理4.1.2設(shè)的線性方程組的系數(shù)行列式Cramer法則則方程組有唯一解,且解為:(4-2)5第五頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日齊次方程組解的存在性定理(4-3)(矩陣形式)(向量形式)(原始形式)6第六頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日定理4.1.3對(duì)于齊次方程組(1)A的列向量組線性無(wú)關(guān)(2)A的列向量組線性相關(guān)推論1當(dāng)方程的個(gè)數(shù)m小于未知量的個(gè)數(shù)n，則(4-3)必有非零解。7第七頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日定理4.1.4設(shè)的線性方程組有非零解(4-4)學(xué)習(xí)書P.135例28第八頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日第四章線性方程組的解的結(jié)構(gòu)§4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組解的存在性定理9第九頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大無(wú)關(guān)組(又稱為基礎(chǔ)解系)如何求?齊次方程組(假設(shè)有無(wú)窮多解)(1)解集的特點(diǎn)?稱：10第十頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)1：若是(4-3)的解，解空間:的所有解向量的集合S，對(duì)加法和數(shù)乘都封閉，所以構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱為這個(gè)齊次線性方程組的解空間。性質(zhì)2：注：如果(4-3)只有零解，解空間是零空間。如果(4-3)有非零解，解空間是非零空間。性質(zhì)推論1而在解空間中，基的概念我們?cè)谶@里稱為基礎(chǔ)解系。首先回答問(wèn)題(1)11第十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)是的解，滿足線性無(wú)關(guān)；的任一解都可以由線性是的一個(gè)基礎(chǔ)解系?；A(chǔ)解系表示,則稱下面我們用一個(gè)例子回答第(2)和第(3)個(gè)問(wèn)題，同時(shí)也是定理4.2.1的例證。(取任意實(shí)數(shù))從而也是(4-3)的解。12第十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日通過(guò)下面的例子,針對(duì)一般的方程組例1回答所提問(wèn)題.第一步:對(duì)系數(shù)矩陣A初等行變換化行最簡(jiǎn)形B從行最簡(jiǎn)形能得到什么？13第十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日第二步：寫出同解的方程組(保留第一個(gè)未知數(shù)在方程的左邊,其余的都移到右邊.右邊的又叫自由變量)自由變量的個(gè)數(shù)=?第三步:令自由變量為任意實(shí)數(shù)寫出通解，再改寫成向量形式14第十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日是解嗎?線性無(wú)關(guān)嗎?任一解都可由表示嗎?是基礎(chǔ)解系嗎?基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)=?第四步:寫出基礎(chǔ)解系再來(lái)分析一下基礎(chǔ)解系的由來(lái):第二步的同解方程組為第三步的通解為15第十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日就是取代入同解方程組(1)中求得然后再拼成的解向量.類似的……這就啟發(fā)我們,由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)正好等于自由變量的個(gè)數(shù)(這里3個(gè)).只要令為三個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量.代入同解方程組(1)中求得然后再拼成解向量.必然是線性無(wú)關(guān)的,從而也是基礎(chǔ)解系.由此得到解法2.16第十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日第一步:同前第二步:同前第三步:令代入(1)求再拼基礎(chǔ)解系:第四步:寫出通解17第十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)是矩陣，如果則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系存在，且每個(gè)基礎(chǔ)解系中含有個(gè)解向量。定理4.2.1推論2設(shè)是矩陣，如果則齊次線性方程組的任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量均可構(gòu)成基礎(chǔ)解系。18第十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日例2設(shè),是的兩個(gè)不同的解向量,k取任意實(shí)數(shù),則Ax=0的通解是19第十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日設(shè),證明證記則由說(shuō)明都是的解因此移項(xiàng)重要結(jié)論推論320第二十頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日且線性無(wú)關(guān)，則_______是AX=O的基礎(chǔ)解系。(2),(3)則_______可為AX=O的基礎(chǔ)解系。(4)練習(xí)(1)(2)21第二十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日例3證明設(shè),首先證明利用這一結(jié)論證重要結(jié)論22第二十二頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日例4求一個(gè)齊次方程組,使它的基礎(chǔ)解系為記之為AB=O,這相當(dāng)于要解矩陣方程,習(xí)慣把未知的A放在右邊,轉(zhuǎn)置,只需解然后再把這些解拼成的列(A的行)即可.

解得基礎(chǔ)解系設(shè)所求的齊次方程組為,則取即可.解23第二十三頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日第四章線性方程組的解的結(jié)構(gòu)§4.4線性方程組在幾何中的應(yīng)用§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)§4.1線性方程組解的存在性定理第二十四頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日§4.3非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)以下總假設(shè)有解,而其對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系為這里25第二十五頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)(1)設(shè)都是(1)的解,則是(2)的解.(2)設(shè)是(1)的解,是(2)的解,則仍是(1)的解.設(shè)是(1)的一個(gè)解(固定),則對(duì)(1)的任一解x是(2)的解,從而存在使得又形如(3)的向量(任取)都是(1)的解.由此得:(3)注：非齊次方程組的解集不是空間。26第二十六頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日定理4.3.1設(shè)是(1)的任一解,則(1)的通解為例5解27第二十七頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日在對(duì)應(yīng)的齊次方程中取得齊次方程組的基礎(chǔ)解系于是所有通解即得方程組的一個(gè)解28第二十八頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)是非齊次方程組Ax=b的解,則是Ax=0的解是Ax=b的解例6※※29第二十九頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日例7設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3,已知是它的三個(gè)解向量,且求該方程組的通解.解取,則它就是解,從而也是基礎(chǔ)解系.基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)=4–3=1故非齊次方程組的通解為30第三十頁(yè)，共三十三頁(yè)，2022年，8月28日自學(xué)書P.144-145例2、3、5。31第三十一頁(yè)，共三十三頁(yè)，20