矢量分析旋度散度梯度

矢量分析旋度散度梯度第一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日基本要求掌握矢量在正交坐標系中的表示方法掌握矢量的代數(shù)運算及其在坐標系中的物理意義掌握矢量積、標量積的計算了解矢量場散度的定義，掌握其計算方法和物理意義；掌握散度定理的內容，并能熟練運用。了解矢量場旋度的定義，掌握其計算方法和物理意義；掌握斯托克斯公式的內容，并能數(shù)量應用。第二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日了解標量場的梯度的定義，掌握其計算方法和物理意義正確理解標量格林定理和矢量格林定理的內容，并學會應用了解曲面坐標系中矢量的表示方法、三種坐標系的轉換了解曲面坐標系中散度、旋度的表示線元、面積元、體積元的表示正確理解亥姆霍茲定理的內容，并能正確應用。第三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日物理量的表示矢量：大寫黑體斜體字母

A

大寫斜體字母加表示矢量的符號標量：小寫斜體字母

u單位矢量：小寫上加倒勾ex第四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日

若一個矢量在三個相互垂直的坐標軸上的分量已知,這個矢量就確定了。例如在直角坐標系中,矢量A的三個分量模值分別是Ax,Ay,Az,則矢量的模Magnitudeofvector§1.1矢量表示法及其運算1.1.1矢量表示法及其和差第五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日A的單位矢量Unitvector和或差:Vectoradditionorsubtraction則

第六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日圖1-2矢量的相加和相減

第七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日

矢量的相乘有兩種定義:標量積(點乘)和矢量積(叉乘)。它符合交換律:

1.1.2標量積和矢量積定義：標量積A·B是一標量,其大小等于兩個矢量模值相乘,再乘以它們夾角αAB(取小角,即αAB≤π)的余弦:一、標量積Dotproduction

特點：1、第八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影，|A|cosAB是矢量A在矢量B上的投影。B矢量在A矢量上的投影（或者說矢量B在A上的分量）等于A?B/|A|2、第九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日并有互相垂直的兩個矢量的點積為03、4、第十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日

定義：矢量積A×B是一個矢量,其大小等于兩個矢量的模值相乘,再乘以它們夾角αAB(≤π)的正弦,其方向與A,B成右手螺旋關系,為A,B所在平面的右手法向:

1、它不符合交換律。由定義知,二、矢量積Crossproduction

特點：第十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日2、第十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日A×B各分量的下標次序具有規(guī)律性。例如,分量第一項是y→z,其第二項下標則次序對調:z→y,依次類推。并有第十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日圖1-3矢量乘積的說明第十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日矢量的三連乘也有兩種。標量三重積:Scalartripleproduction

矢量三重積:Vectortripleproduction

公式右邊為“BAC-CAB”,故稱為“Back-Cab”法則,以便記憶。

1.1.3三重積

ABC第十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日解：AB在C上的分量為：例：，求

給定兩矢量

和上的分量。

在第十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日如果給定一未知矢量與一已知矢量的標量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設A為一已知矢量，，p和P已知，試求X

解：由P=AX，有AP＝A(AX)=(A·X)A-(A·A)X=pA-

(A·A)X例第十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日作業(yè)P311-11-3第十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日§1.2通量與散度,散度定理

Flux,divergenceofavectorfield,divergencetheorem

矢量場的通量矢量場的空間變化規(guī)律通常用散度和旋度描述

矢量場的通量

定義：若矢量場A分布于空間中，在空間中存在任意曲面S，則為矢量A沿有向曲面S的通量。

若S為閉合曲面

物理意義：表示穿入和穿出閉合面S的矢量通量的代數(shù)和。

在電場中，電位移矢量在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的電通量；在磁場中，磁感應強度在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的磁通量。

第十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日通過閉合面S的通量的物理意義：在直角坐標系中，通量可以寫成

a)若，穿出閉合曲面的通量多于穿入的通量，閉合面內有產(chǎn)生矢量線的正源；例如，靜電場中的正電荷就是發(fā)出電力線的正源；

b)若，穿出閉合曲面的通量少于穿入的通量，閉合面內有吸收矢量線的負源；靜電場中的負電荷就是接受電力線的負源；

c)若，閉合面無源。第二十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日1.2.2散度Divergenceofavectorfield2、散度的物理意義1)矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性；2)矢量場的散度是一個標量；3)矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)；1、定義：當閉合面

S

向某點無限收縮時，矢量

A通過該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場

A

在該點的散度，以

divA表示，即第二十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日3、直角坐標系中散度的表示散度可用算符哈密頓表示為哈密頓拉普拉斯2第二十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日正源負源無源第二十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日

散度的基本運算公式

C為常矢量k為常數(shù)u為標量第二十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日上式稱為散度定理,也稱為高斯公式。1.2.3散度定理The

divergencetheorem既然矢量的散度代表的是其通量的體密度,因此直觀地可知,矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉面的總通量,即從數(shù)學角度可以認為高斯定理建立了面積分和體積分的關系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域

V中的場和包圍區(qū)域

V

的閉合面

S上的場之間的關系。如果已知區(qū)域

V中的場，根據(jù)高斯定理即可求出邊界

S上的場，反之亦然。散度定理：散度定理的物理意義：第二十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日點電荷q在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為求任意點處電通量密度的散度▽·D，并求穿出r為半徑的球面的電通量[解]例第二十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日第二十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日可見，除點電荷所在源點（r=0）外，空間各點的電通量密度散度均為零。這證明在此球面上所穿過的電通量的源正是點電荷q。第二十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日球面S上任意點的位置矢量為試利用散度定理計算解：例：第二十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日

矢量A沿某封閉曲線的線積分,定義為A沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量),記為§1.3環(huán)量與旋度,斯托克斯定理

Curl,circulation,TheStokes’stheorem1.3.1

環(huán)量Curlofavectorfield第三十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日為反映給定點附近的環(huán)量情況,我們把封閉曲線收小,使它包圍的面積ΔS趨近于零,取極限這個極限的意義就是環(huán)量的面密度,或稱環(huán)量強度。由于面元是有方向的,它與封閉曲線l的繞行方向成右手螺旋關系,因此在給定點處,上述極限值對于不同的面元是不同的。為此,引入旋度(curl或rotation):1.3.2旋度的定義和運算1、定義：第三十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日2、旋度的物理意義矢量A的旋度是一個矢量,其大小是矢量A在給定點處的最大環(huán)量面密度,其方向就是當面元的取向使環(huán)量面密度最大時,該面元矢量的方向。它描述A在該點處的旋渦源強度。若某區(qū)域中各點curlA=0,稱A為無旋場或保守場。第三十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日矢量A的旋度可表示為密勒算子與A的矢量積,即

計算▽×A時,先按矢量積規(guī)則展開,然后再作微分運算,得

3、旋度的計算第三十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日第一章矢量分析即

第三十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日4、旋度運算規(guī)則:

在直角坐標系中有

第三十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日任一矢量場A的旋度的散度一定等于零

。任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度。任何旋度場一定是無散場第三十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日一個矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)，而一個矢量場的散度是一個標量函數(shù)；旋度描述的是矢量場中各點的場量與渦旋源的關系，而散度描述的是矢量場中各點的場量與通量源的關系；如果矢量場所在的全部空間中，場的旋度處處為零，則這種場中不可能存在旋渦源，因而稱之為無旋場（或保守場）；如果矢量場所在的全部空間中，場的散度處處為零，則這種場中不可能存在通量源，因而稱之為無源場（或管形場）；在旋度公式中，矢量場的場分量Ax、Ay、Az分別只對與其垂直方向的坐標變量求偏導數(shù)，所以矢量場的旋度描述的是場分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律；在散度公式中，矢量場的場分量Ax、Ay、Az分別只對x、y、z求偏導數(shù)，所以矢量場的散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。

4、旋度與散度的區(qū)別：第三十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日因為旋度代表單位面積的環(huán)量,因此矢量場在閉曲線l上的環(huán)量就等于l所包圍的曲面S上的旋度之總和,即此式稱為斯托克斯(Stokes)定理或斯托克斯公式。

它可將矢量旋度的面積分變換為該矢量的線積分,或反之。1.3.3斯托克斯定理TheStokes’stheorem第三十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日自由空間中的點電荷q所產(chǎn)生的電場強度為

求任意點處(r≠0)電場強度的旋度▽×E。

例第三十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日解：第四十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日可見,向分量為零;同樣,向和向分量也都為零。故

這說明點電荷產(chǎn)生的電場是無旋場。

因第四十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日證明下述矢量斯托克斯定理：式中S為包圍體積V的封閉面。

[證]設C為一任意常矢，則從而有（1-37）例1.4第四十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日根據(jù)散度定理，上式左邊等于于是得由于上式中常矢C是任意的，故式（1-37）必成立。第四十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日§1.4方向導數(shù)與梯度,格林定理標量場φ(x,y,z)在某點沿l方向的變化率稱為φ沿該方向的方向導數(shù)。它的值與所選取的方向有關,設

方向導數(shù)一、方向導數(shù)與梯度第四十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日梯度gradient是一個矢量的模就是在給定點的最大方向導數(shù)方向就是該具有最大方向導數(shù)的方向,亦即的變化率最大的方向。第四十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日梯度運算規(guī)則:

第四十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日2、梯度的物理意義1)、標量場的梯度為一矢量，且是坐標位置的函數(shù)；2)、標量場的梯度表征標量場變化規(guī)律：其方向為標量場增加最快的方向，其幅度表示標量場的最大增加率。任一標量場

的梯度的旋度一定等于零。任一無旋場一定可以表示為一個標量場的梯度任何梯度場一定是無旋場。梯度的重要性質第四十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日將散度定理中矢量A表示為某標量函數(shù)的梯度ψ與另一標量函數(shù)φ的乘積,則有取上式在體積V內的積分,并應用散度定理,得二、格林定理TheGreen’stheorem(1)沿n方向的方向導數(shù)格林(G.Green)第一恒等式

Green’sfirstidentity

第四十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日S是包圍體積V的封閉面,是封閉面S的外法線方向單位矢量。適用于在體積V內具有連續(xù)二階偏導數(shù)的標量函數(shù)φ和ψ(2)說明：把式中的φ與ψ交換位置,有格林第二恒等式

Green’sfirstidentity

第四十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日(1)(2)兩式相減得設矢量函數(shù)P和Q在封閉面S所包圍的體積V內有連續(xù)的二階偏導數(shù),則有矢量格林定理第五十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日矢量格林第二定理:利用上述格林定理,可以將體積V中場的求解問題變換為邊界S上場的求解問題。如果已知其中一個場的分布特性,便可利用格林定理求解另一場的分布特性。第五十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日參看圖1,場點P(x,y,z)與源點P′(x′,y,′z′)間的距離為|R|,試證這里▽′表示對帶撇坐標(x′,y′,z′)作微分運算(將P取為定點,P′為動點):例：第五十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日［證］

第五十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日即同理可得

第五十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例:求P點的電位梯度▽φ。解

：在點電荷q的靜電場中,P(x,y,z)點的電位為第五十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日圖1-8柱坐標系

§1.5曲面坐標系1.5.1圓柱坐標系Cylindricalcoordinatesystem三個單位矢量：矢量P三個坐標分量各物理量的變化范圍：一、坐標系第五十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日

矢量A在柱坐標系中的表示為：

以坐標原點為起點,指向P點的矢量r,稱為P點的位置矢量或矢徑。在柱坐標系中P點的位置矢量是

對任意的增量dρ,dφ,dz,P點位置沿,,方向的長度增量(長度元)分別為三者總保持正交關系,并遵循右手螺旋法則:

位置矢量二、矢量表示及相關物理量的表示長度增量(長度元)第五十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日每個坐標長度增量同各自坐標增量之比,稱為度量系數(shù),又稱拉梅(G.Lame)系數(shù),分別為與三個單位矢量相垂直的三個面積元和體積元分別是度量系數(shù)(拉梅系數(shù))：面積元和體積元：第五十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日圖1-9球面坐標系1.5.2球面坐標系Sphericalcoordinatesystem三個單位矢量：矢量P三個坐標分量各物理量的變化范圍：一、坐標系第五十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日遵循右旋法則:

矢量A在球坐標系中的表示

：二、矢量表示及相關物理量的表示長度增量(長度元)度量系數(shù)：

第六十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日面積元和體積元：

第六十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日圖1-10三種坐標間的變換

1.5.3三種坐標的變換及場論表示式第六十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日直角坐標－柱坐標第六十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日直角坐標－球坐標第六十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日

在柱坐標中三個長度元分別為dρ,ρdφ和dz,因而其算子相應地換為球坐標長度元為dr,rdθ和rsinθdφ,故其▽算子為

算子

第六十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日柱坐標中矢量A的散度和旋度

為了對矢量函數(shù)求導,一個常用的公式是第六十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日球坐標中矢量A的散度和旋度第六十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日在一對相距為l的點電荷+q和-q(電偶極子)的靜電場中,距離r>>l處的電位為求其電場強度E(r,θ,φ)。解

：例1.7第六十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日亥姆霍茲定理的簡化表述如下:若矢量場F在無限空間中處處單值,且其導數(shù)連續(xù)有界,而源分布在有限區(qū)域中,則矢量場由其散度和旋度唯一地確定。并且,它可表示為一個標量函數(shù)的梯度和一個矢量函數(shù)的旋度之和,即§1.6亥姆霍茲定理第六十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日二.矢量場的分類根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進行分類：1)調和場

若矢量場F在某區(qū)域V內，處處有：F=0和F=0

則在該區(qū)域V內，場F為調和場。

注意：不存在在整個空間內散度和旋度處處均為零的矢量場。調和場，有源無旋場，無源有旋場，有源有旋場第七十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日如果，則稱矢量場F為無旋場。無旋場F可以表示為另一個標量場的梯度，即函數(shù)u稱為無旋場F的標量位函數(shù)，簡稱標量位。

無旋場F沿閉合路徑C的環(huán)量等于零，即這一結論等價于無旋場的曲線積分與路徑無關，只與起點P和終點Q有關。標量位u的積分表達式：2)有源無旋場

第七十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日由，有第七十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日函數(shù)A稱為無源場F的矢量位函數(shù)，簡稱矢量位。無源場F通過任何閉合曲面S的通量等于零，即4)有源有旋場一般的情況下，如果在矢量場F的散度和旋度都不為零，即如果，則稱矢量場F為無源場。無源場F可以表示為另一個矢量場的旋度，即3)無源有旋場第七十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日可將矢量場F表示為一個無源場Fs和無旋場Fi

的疊加，即其中Fs和Fi分別滿足

于是

因而，可定義一個標量位函數(shù)u和矢量位函數(shù)A，使得

第七十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日常用的矢量恒等式第七十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日第七十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日矢量分析小結基本內容

矢量場的表示方法和代數(shù)運算和乘積運算矢量場的散度和旋度標量場的梯度曲面坐標系亥姆霍茲方程第七十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日基本要求掌握矢量在正交坐標系中的表示方法掌握矢量的代數(shù)運算及其在坐標系中的物理意義掌握矢量積、標量積的計算了解矢量場散度的定義，掌握其計算方法和物理意義；掌握散度定理的內容，并能熟練運用。了解矢量場旋度的定義，掌握其計算方法和物理意義；掌握斯托克斯公式的內容，并能數(shù)量應用。第七十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日了解標量場的梯度的定義，掌握其計算方法和物理意義正確理解標量格林定理和矢量格林定理的內容，并學會應用了解曲面坐標系中矢量的表示方法、三種坐標系的轉換了解曲面坐標系中散度、旋度的表示線元、面積元、體積元的表示正確理解亥姆霍茲定理的內容，并能正確應用。第七十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日本章重要公式第八十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日第八十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日第八十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例利用直角坐標，證明

證明：第八十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例：給定兩矢量A=2ex+3ey-4ez和B=4ex-5ey+6ez

，求它們之間的夾角和A在B上的分量。解：A與B之間的夾角為

A在B上的分量為

第八十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例：在的方向導數(shù)為求標量函數(shù)＝x2yz的梯度及在一個指定方向的方向導數(shù)，此方向由單位矢量

定出；求點(2,3,1)的方向導數(shù)值解：第八十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日例：利用散度定理及斯托克斯定理證明：1）2）證明:對于任意閉合曲線為邊界的任意曲面，由斯托克斯定理由于曲面S是任意的，故有第八十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日2)對于以任意閉合曲面S為邊界的體積V，由散度定理有

其中S1和S2如圖1所示。由斯托克斯定理，有由題圖1可知C1和C2是方向相反的同一回路，則有第八十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日圖1S1S2C2C1n1n2所以得到

由于體積V是任意的，故有第八十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日習題及答案

已知,求：(b)(c)(d)（a）1-5解：(a)(b)(c)(d)第八十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日1-8設為使，，且，的模B=1，試確定a、b的值。解：，則得，又因即得或第九十頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日應用散度定理計算下述積分：S是和所圍成的半球區(qū)域的外表面解：1-13第九十一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日1-14，在r=1和r=2兩個球面之間的區(qū)域存在矢量場計算：（a）（b）解：（a）第九十二頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日（b）可見散度定理成立。第九十三頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日1-16，證明：證：設所以，第九十四頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日又所以，第九十五頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日1-18，y的積分限為）。并驗證斯托克設，試計算下述面積分：S為x-y平面第一象限內半徑為3的四分之一圓（即x的積分限為斯定理。解：303xyz第九十六頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日所以第九十七頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日又，所以，斯托克斯定理成立。第九十八頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日1-21在靜電場中，電場強度。試求點（2，2，0）處的，設（a）；（b）解：（a）所以；第九十九頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日（b）所以，第一百頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日1-23求在點（2，3，1）處的梯度及沿方向的方向導數(shù)。解：所以，第一百零一頁，共一百一十一頁，2022年，8月28日習題及答案1.1

給定三個矢量、和如下：A=1ex+2ey-3ez，B=3ex+1ey+2ez，C=2ex-1ez求：(1)|A|，|B|，|C|；(2)ea，eb，ec；(3)A·B；(4)AB;(5)(AB)C，(AC)B;(6)