函數(shù)的卷積及其公式的應(yīng)用

-.z.函數(shù)卷積及其應(yīng)用摘要卷積是一個很重要的數(shù)學(xué)概念．它描述了對兩個〔或多個〕函數(shù)之積進(jìn)展變換的運算法則，是頻率分析的最有效的工具之一。本文通過對卷積的概念，性質(zhì)，具體應(yīng)用以及對卷積公式，卷積定理等方面進(jìn)展較為全面和系統(tǒng)的論述和總結(jié)，使得對卷積的內(nèi)涵有更全面更深刻的理解和認(rèn)識。關(guān)鍵詞卷積卷積公式性質(zhì)應(yīng)用1引言卷積是在信號與線性系統(tǒng)的根底上或背景中出現(xiàn)的。狄拉克為了解決一些瞬間作用的物理現(xiàn)象而提出了"沖擊函數(shù)〞這一符號，而卷積的誕生正是為了研究"沖擊函數(shù)〞效勞的；卷積是一種數(shù)學(xué)積分變換的方法，也是分析數(shù)學(xué)中一種重要的運算。卷積在物理學(xué)，統(tǒng)計學(xué)，地震預(yù)測，油田勘察等許多方面有十分重要的應(yīng)用。本文通過對卷積的概念，性質(zhì)，應(yīng)用等方面進(jìn)展較為全面和系統(tǒng)的論述和總結(jié)，使得對卷積的內(nèi)涵有更全面更深刻的理解和認(rèn)識。2卷積的定義和性質(zhì)2.1卷積的定義〔根本內(nèi)涵〕設(shè):是上的兩個可積函數(shù)，作積分:隨著*的不同取值，這個積分就定義了一個新函數(shù)，稱為函數(shù)與的卷積，記為=(或者).注(1)如果卷積的變量是序列，則卷積的結(jié)果：，其中星號*表示卷積。當(dāng)時序n=0時，序列h(-i)是的時序取反的結(jié)果;時序取反使得以縱軸為中心翻轉(zhuǎn)180度，所以這種相乘后求和的計算法稱為卷積和，簡稱卷積.另外，是使位移的量，不同的對應(yīng)不同的卷積結(jié)果.〔2〕如果卷積的變量是函數(shù)和，則卷積的計算變?yōu)椋?，其中是積分變量，積分也是求和，是使函數(shù)位移的量，星號*表示卷積.〔3〕由卷積得到的函數(shù)一般要比都光滑.特別當(dāng)為具有緊致集的光滑函數(shù)，為局部可積時，它們的卷積也是光滑函數(shù).2.2卷積的性質(zhì)性質(zhì)〔交換律〕設(shè),是上的兩個可積函數(shù)，則.證令，則，所以===性質(zhì)〔分配律〕設(shè)是上的三個可積函數(shù)，則.證根據(jù)卷積定義==+性質(zhì)〔結(jié)合律〕設(shè)是上的三個可積函數(shù)，則.證令，，則====令，上式===性質(zhì).證明=.性質(zhì)〔微分性〕設(shè)是上的兩個可積函數(shù)，則.證明即意義卷積后求導(dǎo)和先對其任一求導(dǎo)再卷積的結(jié)果一樣.性質(zhì)〔積分性〕設(shè)，則.意義卷積后積分和先對其任一積分再卷積的結(jié)果一樣.推廣.性質(zhì)〔微積分等效性〕設(shè),是上的兩個可積函數(shù)，則.例2.1設(shè)，，求.解由卷積定義知==例2.2設(shè)函數(shù)試計算其卷積.解由卷積定義知所以=顯然這個積分值與函數(shù)，所取非零值有關(guān)，即與參數(shù)的取值有關(guān).當(dāng)時，因，所以，此時=當(dāng)時，只有時，有，此時=當(dāng)時，因為，所以，此時=綜上所述，有=3.卷積定理3.1時域卷積定理設(shè)兩函數(shù)，的傅里葉變換分別為：則兩函數(shù)卷積的傅里葉變換為：上式稱為時域卷積定理，它說明兩信號在時域的卷積積分對應(yīng)于在頻域中該兩信號的傅立葉變換的乘積.證明====3.2頻域卷積定理設(shè)兩函數(shù)，的傅里葉變換分別為：則兩函數(shù)卷積的傅里葉變換為：上式稱為頻域卷積定理，它說明兩信號在時域的乘積對應(yīng)于這兩個函數(shù)傅氏變換的卷積除以.證明于是例3.1求積分方程的解，其中為函數(shù)，且的Fourier變換都存在.解假設(shè)由卷積定義知現(xiàn)對積分方程兩端取Fourier變換可得解得所以原方程的解為例3.2求常系數(shù)非齊次線性微分方程的解，其中為函數(shù).解設(shè)現(xiàn)對原方程兩端取Fourier變換，并根據(jù)Fourier變換的性質(zhì)可得解得所以原方程的解由卷積定理得=.求微分積分方程的解.其中均為常數(shù).解設(shè)現(xiàn)對原方程兩端取Fourier變換，并根據(jù)Fourier變換的性質(zhì)可得解得，所以原方程的解4.卷積公式及其應(yīng)用與推廣4.1卷積公式設(shè)和的聯(lián)合密度函數(shù)為，則得概率密度為證明的分布函數(shù)是：其中=于是=從而由和的對稱性知。特別地，當(dāng)和獨立時，設(shè)的邊緣密度分別為則上述兩個式子化為………………(1)…(2)(1),(2)式稱為卷積公式.注雖然卷積公式針對的是兩個獨立隨機(jī)變量直接求和的情形，但它一樣可以巧妙地用于計算兩個獨立隨機(jī)變量線性和的概率密度函數(shù).4.2卷積公式在概率論方面的應(yīng)用例設(shè)二維連隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：，令，求.解：經(jīng)過計算知，顯然，對任意的，即獨立.由卷積公式(2)，即注：雖然不是求的分布，而要求的分布，用表示的取值，將看作一個整體，根據(jù)，直接用來表示的取值，從套用卷積公式(2)一樣得到了以上正確答案.例假設(shè)是兩個相互獨立的隨機(jī)變量且均服從正態(tài)分布，求得概率密度.解由卷積公式===令，得到于是服從正態(tài)分布.4.3卷積公式的推廣三重卷積公式及其應(yīng)用定理.1假設(shè)三個隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則的概率密度函數(shù)為.證明隨機(jī)變量的分布函數(shù)及其概率密度函數(shù)分別為，其中由于，因此的概率密度函數(shù)為.推論.1當(dāng)隨機(jī)變量是相互獨立時，有=其中分別是*,Y,Z的概率密度函數(shù).例.1設(shè)*商品一周需要量是一個隨機(jī)變量，其概率密度為，并設(shè)各周的需求量是相互獨立的，求三周的需求量的概率密度.解設(shè)第周的需求量為〔=1,2,3〕，則三周的需求量，由三重卷積公式知：===綜上,我們得到了三個隨機(jī)變量和的概率密度函數(shù)的計算公式,此公式應(yīng)用起來比擬簡便,有一定的實際利用價值.多重卷積公式及其應(yīng)用.1〔重卷積公式〕設(shè)，,…,是個獨立的隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為〔…n〕,則的概率密度為=………證明用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時，由卷積公