華東師大初中數(shù)學(xué)八年級上冊勾股定理全章復(fù)習(xí)與鞏固(基礎(chǔ))知識講解

勾股定理全復(fù)習(xí)與鞏固基礎(chǔ)）【習(xí)標1.了勾股定理的歷史，掌握勾定理的證明方法；2.理并掌握勾股定理及逆定理內(nèi)容；3.能用勾股定理及逆定理解決關(guān)的實際問.【識絡(luò)【點理【清堂勾定全復(fù)知識點要一勾定1.勾定：直角三角形兩直角邊b的平方和等于斜邊c的方.（即：

22

）2.勾定的用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系直角三角形的重要性質(zhì)之一主應(yīng)用是：（）知直角三角形的兩邊，求第三邊；（）用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（）作長度為

的線段要二勾定的定1.原題逆題如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命，那么另一個叫做它的逆命.2.勾定的定勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長

a、、滿足a

22

，那么這個三角形是直角三角.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：（）先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長為；（）證

2與是否具有相等關(guān)系，若22

，eq\o\ac(△,則)ABC是以∠為直角的直角三角形，反之，則不是直角三角3.勾數(shù)

滿足不定方程

x

2y22

的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)顯然，以

、、

為三邊長的三角形一定是直角三角.常見的勾股數(shù)：345；②51213；81517；72425；94041.如果(

a、、

)是勾股數(shù)，當t為整數(shù)時，以

at、、

為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長的直角邊與對應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個數(shù)分別為

、、，a

，那么存在

2

成立.（例如④中存在

2＝＋、

＝40＋等）要三勾定與股理定的別聯(lián)區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系勾定理與其逆定理的題和結(jié)論正好相反者互為逆定理都與直角三角形有關(guān).【型題類一勾定及定的單用1、已知直角三角形的兩邊長分為6和，求第三邊的長．【案解】解：設(shè)第三邊為．當為邊時，由勾股定理得

22

．所以

6

3664100

．當

為直角邊時，由勾股定理，得

22

．所以

82

28

．所以這個三角形的第三邊為10或

．【結(jié)華題中未明第三邊是直角邊還是斜邊應(yīng)分類討論本容易誤認為所求第三邊為斜邊．舉反：【變式】在中，AB＝15，＝，高AD＝12求的周長．【案解：在eq\o\ac(△,Rt)ABD和eq\o\ac(△,Rt)中由勾股定理，得

22AD2

．∴

81

．

同理

CDAD2

．∴

CD

．①當∠ACB＞°，＝－CD－5＝．∴△的長為：AB＋BC＋＝15＋＋＝32．②當∠ACB＜°，＝＋CD＋5＝14∴△的長為：AB＋BC＋＝15＋141342．綜上所述：ABC的長為32或．2、如圖所示，中∠ACB90°，ACCBM為AB上點．求證：

AM

22

．【路撥證的等式中出現(xiàn)了、、，然想到了用勾股定理證明，因此需要作CD⊥AB．【案解】證明：過點C作CD⊥于D．∵AC＝，⊥，∴AD＝．∵∠ACB＝°∴CD＝＝．∴

AM

22

DM

AD2DM22(DM)

2

2

DM

2

)在eq\o\ac(△,Rt)CDM中

，∴

AM

2CM2

．【結(jié)華欲證明段平方關(guān)系問題先聯(lián)想勾股定理從圖中尋找或作垂線構(gòu)造含所證線段的直角三角形，利用等量代換和代數(shù)中的恒等變換進行論證．舉反：【變式】已知，ABC中AB＝，BC任一點，求證：

AB

2AD

BD

.

222222222222222【案解：如圖，作AM⊥BC于M，∵ABAC，BM＝CM,則在eq\o\ac(△,Rt)ABM中AB

2

AM

2

2

……①在eq\o\ac(△,Rt)ADM中2AMDM

2

……②由①－②得

22

＝（＋＝CD·類二勾定及定的合用2016益陽）在ABC中AB=15，BC=14，，ABC的積．某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流下面的解題思路按他們的解題思路完成解答過程．【路撥根據(jù)題意正確表示出AD的值是解題關(guān)鍵【案解】解：如圖，在△ABC中AB=15BC=14AC=13，設(shè)BD=x，則CD=14﹣x，由勾股定理得：AD﹣=15﹣，=AC﹣=13﹣﹣），故﹣x=13﹣﹣），解之得：x=9．∴．∴eq\o\ac(△,S)ABC=BC×1412=84

【結(jié)華此題主要是要讀懂解題思路后找到解決問題的切入點題能迎刃而.舉反：【變式】如圖所示，已知ABC中B22.5°，AB垂直平分線交BC于D，＝AE⊥于E，求AE的長

6

，【案解：連接AD．∵DF是線AB的垂直平分線∴AD＝BD＝

6

，∴∠＝B＝22.5°又∵∠ADE＝B＋∠BAD＝45°，AEBC，∴∠DAE＝°∴AE＝DE由勾股定理得：

AE

2DE2AD

，∴

2AE

，∴

AE

．4、如圖①所示，分別以直角三形ABC三邊直徑向外作三個半圓，其面積分別用、、S12

3

表示，則不難證明

1

3

．如②，分別以直角三角形ABC三為邊向外作三個正方形，其面積分別用、、S12

3

表示，那么

S、S1

3

之間有什么關(guān)系(不必證明)(2)如③，分別以直角三角形ABC三為邊向外作三個正三角形，其面積分別用、、S12

3

表示，請你確定

S、S1

3

之間的關(guān)系并加以證明．

231231【案解】解：設(shè)eq\o\ac(△,Rt)的邊、、AB的長別為

、、，

22

．(1)(2)

11

33

；．證明如下：顯然，

1

33，S，b444

2

，所以

2

3(2)244

．【結(jié)華本題可以在直角三角形外的三個圖形推及為等腰直角三角形、正五邊形等．5、如果ΔABC的邊分別為

a、、

，且滿足

22250ac

，判斷ABC的形.【案解】解：由

22250ac

，得：

2b2

∴

3)bc0∵

a

222

∴

3,c∵∴

2222

,.由勾股定理的逆定理得eq\o\ac(△,：)是直角三角形【結(jié)華勾股定理的逆定理是通過量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系,在證明中經(jīng)常要用到.

類三勾定的際用6如①一螞蟻在長方體木的一個頂點食物在這個長方體上和螞蟻相對的頂點B處，螞蟻急于吃到食物，所以沿著長方體的表面向上爬，請你計算它從A處爬到B處最短路線長為多?【路撥將長方表面展開由螞蟻是沿長方體木塊的表面爬行且長方體木塊面是正方形，故它爬行的路徑有兩種情況．【案解】解：如圖②③所示．因為兩點之間線段最短，所以最短的爬行路程就是線段AB的度．在圖②中，由勾股定理，得

AB2130

．在圖③中，由勾股定理，得

AB

22

100

．因為130＞，以圖③中的AB的長最短，為10

，即螞蟻需要爬行的最短路線長為

．【結(jié)華解本題的關(guān)鍵是正確畫出立體圖形的展開圖立圖形上的折轉(zhuǎn)化為平面圖形上的直線，再運用勾股定理求解．舉反：【變式】我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地'高二丈周三尺，