北京市石景山區(qū)2021屆高三高考一模數(shù)學試卷(含詳解)

石景山區(qū)2021年高三統(tǒng)一練習

數(shù)學

本試卷共8頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘.請務必將答案答在答題卡上，在試卷上

作答無效，考試結束后上交答題卡.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合4={1,3,5},B={x|X2-16<0},則AA8=()

A.{1,3}B.{3,5}C.{1,3,5)D.(0,4)

2.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期7=)的是()

A./(x)=-B.f(x)=x3C./(x)=2sinxcosxD./(x)=sinx

X

?1

3.復數(shù)絲二在復平面上對應的點位于第一象限，則實數(shù)。的取值范圍是()

i

A.(―oo,-1)B.(—8,0)C.(0,4-oo)D.(l,+oo)

4.一幾何體的直觀圖和主視圖如圖所示，下列給出的四個俯視圖中正確的是()

直觀圖主視圖

5."直線/與平面a內(nèi)無數(shù)條直線垂直"是"直線/與平面a垂直"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不必要也不充分條件

6.已知菱形ABCD的邊長為a,NABC=60°,則而?①=

.33「3t3

A.—ci2B.—ci2C.—aD.—ci2

2442

7.過拋物線：/=4x的焦點F的直線交拋物線于A8兩點，若尸是線段AB的中點，貝U|AB|=()

A.1B.2C.3D.4

8.“回文數(shù)”是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22,121,3443等.那么在四位數(shù)中，回文數(shù)共

有()

A.81個B.90個C.100個D.900個

了2—2x0

9.已知/(x)=<，若|/(x)|.?辦在1,1]上恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

3x-2,x>011

A(i,-l]UO+8)B.[0,1]C.[-1,0]D.(-1,0)

10.瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線

被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作△A6C,AB=4C=4,點8(—1,3),點C(4,-2),

且其“歐拉線”與圓加：。一。)2+(丫-。+3)2=,相切.則圓〃上的點到直線%一丁+3=0的距離的最小值

為()

A.272B.3亞C.4夜D.6

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

22

11.雙曲線二-匕=1的離心率為

169

12.已知函數(shù)/（x）=|lnx|,若.=b=c=f（2）,則a,方,c從小到大排序為.

13.如圖，如果每個橫行上兩數(shù)字之和相等，每個豎列上兩個數(shù)字之和相等，請寫出一組滿足要求的不全

14.在銳角△A6C中，a=3\/3,c=5,a=2bsinA,則3=,b-.

15.海水受日月的引力，會發(fā)生潮汐現(xiàn)象.在通常情況下，船在漲潮時駛入航道，進入港口，落潮時返回海

洋.某興趣小組通過4技術模擬在一次潮汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實驗：首先，設定水深y（單位：米）隨

jr

時間X（單位：小時）的變化規(guī)律為y=0.8sin的+2（。eR）,其中噫如一；然后，假設某貨船空載時

co

吃水深度（船底與水面的距離）為0.5米，滿載時吃水深度為2米，卸貨過程中，隨著貨物卸載，吃水深度

以每小時0.4米的速度減小；并制定了安全條例，規(guī)定船底與海底之間至少要有0.4米的安全間隙.在此次模

擬實驗中，若貨船滿載進入港口，那么以下結論正確的是.

7T

①若。二:，貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留4個小時；

6

7T

②若啰=2,貨船進入港口后，立即進行貨物卸載，則該船港口至多能停留4個小時；

③若。=1,貨船于x=l時進入港口后，立即進行貨物卸載，則X=g時，船底離海底的距離最大；

2萬

④若。=1,貨船于x=l時進入港口后，立即進行貨物卸載，則》=—時，船底離海底的距離最大.

3

三、解答題

16.如圖，在五面體ABC0E/中，面A8CO為正方形，面ABEED面CDEF=￡尸，ADLED，

CDLEA.

(1)求證：CD〃平面ABFE；

(2)若EF=ED，CD=2EF=2,求平面A￡>E與平面BC/7所成的銳二面角的大小.

17.已知有限數(shù)列｛4｝共有30項，其中前20項成公差為。的等差數(shù)列，后11項成公比為q的等比數(shù)列，

記數(shù)列的前〃項和為S,,.從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為己知，求：

(1)4"的值；

(2)數(shù)列僅“｝中的最大項.

條件①：%=4,$5=30,%=20;

條件②：53=0,a20=-36,a22=-9；

條件③：S尸48，⑸=20,%=160.

18.某大型連鎖超市的市場部為了比較線下、線上這兩種模式的銷售情況，從某地區(qū)眾多門店中隨機抽取8

家門店，對其線下和線上這兩種銷售模式下的日營業(yè)額(單位：萬元)進行調(diào)查.調(diào)查結果如下：

門店I門店2門店3門店4門店5門店6門店7門店8

線下

96.5199.514516.520.512.5

日營業(yè)額

線上

11.591217192321.515

日營業(yè)額

若某門店一種銷售模式下的日營業(yè)額不低于15萬元，則稱該門店在這種銷售模式下的日營業(yè)額達標；否則

就稱該門店在此種銷售模式下的日營業(yè)額不達標.若某門店的日營業(yè)總額(線上和線下兩種銷售模式下的

日營業(yè)額之和)不低于30萬元，則稱該門店的日營業(yè)總額達標；否則就稱該門店的日營業(yè)總額不達標.(各

門店的營業(yè)額之間互不影響)

(1)從8個樣本門店中隨機抽取3個，求抽取的3個門店的線下日營業(yè)額均達標的概率；

(2)若從該地區(qū)眾多門店中隨機抽取3個門店，記隨機變量X表示抽到日營業(yè)總額達標的門店個數(shù).以

樣本門店的日營業(yè)總額達標的頻率作為一個門店的日營業(yè)總額達標的概率，求X的分布列和數(shù)學期望；

(3)線下日營業(yè)額和線上日營業(yè)額樣本平均數(shù)分別記為從和〃2,線下臼營業(yè)額和線上日營業(yè)額的樣本

方差分別記為和S；.試判斷從和出的大小，以及S：和的大小.(結論不要求證明)

22

19.已知橢圓C:*+==l(a>8>0)的右焦點為尸(1,0),且經(jīng)過點力(一2,0)和點8(2,0).

(I)求橢圓C的方程;

（2）”和N是橢圓C上兩個不同的點，四邊形AM3N是平行四邊形，直線40、AN分別交>軸于點P

和點。，求四邊形APFQ面積的最小值.

20.已知函數(shù)/'（無）=上竺（aeR）.

e

（1）當。=一1時，求/（X）在x=O處的切線方程；

（2）已知/（x）”1對任意xeR恒成立，求。的值.

21.由加個正整數(shù)構成的有限集M={4，出，6，…，％,}（其中q<4<%<…<%），記

尸（加）=4+出+…+a,“，特別規(guī)定P（0）=O,若集合“滿足：對任意的正整數(shù)ZWP（M）,都存在集

合"的兩個子集A8,使得Z=P（A）-P（6）成立，則稱集合"為“滿集”.

（1）分別判斷集合={1,2}與A/2={2,3}是否為“滿集”，請說明理由；

（2）若集合M為“滿集”，求生的值；

（3）若《,4，4，…，金是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，判斷集合M是否為“滿集”，并說明理由.

石景山區(qū)2021年高三統(tǒng)一練習

數(shù)學

本試卷共8頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘.請務必將答案答在答題卡上，在試卷上

作答無效，考試結束后上交答題卡.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合4={1,3,5},B={x|X2-16<0},則AA8=()

A.{1,3}B,{3,5}C.{1,3,5)D.(0,4)

【答案】A

【解析】

【分析】算出集合5,再求交集即可.

【詳解】因為B=(T,4),所以An3={l,3}

故選：A

2.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期T=萬的是()

A./(%)=—B./(%)=x3C./(x)=2sinxcosxD./(x)=sinx

x

【答案】C

【解析】

【分析】畫出函數(shù)/(x)=L,/(x)=r的圖象，由圖象判斷AB；利用定義證明/(x)=2sinxcosx為奇

X

函數(shù)，再求周期，從而判斷CD.

【詳解】由下圖可知，函數(shù)/(x)=L,/(x)=%3都不是周期函數(shù)，故AB錯誤：

X

f(x)=2sinxcosx—sin2x,f(—x)—sin(—2%)=—sinlx--/(%)

即函數(shù)/(x)=2sinxcosx為奇函數(shù)，且周期7=m=萬，故C正確；

一2萬

對于D項，周期7=了=2%，故D錯誤；

故選：C

3.復數(shù)絲二在復平面上對應的點位于第一象限，則實數(shù)a的取值范圍是()

i

A(-oo,-l)B.(-oo,0)C.(0,+oo)D.(l,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】化簡復數(shù)即可判斷.

【詳解】==

ii2-1

因為對應的點位于第一象限，所以a>0

故選：C.

4.一幾何體的直觀圖和主視圖如圖所示，下列給出的四個俯視圖中正確的是()

【答案】B

【解析】

【分析】通過幾何體結合三視圖的畫圖方法，判斷選項即可.

【詳解】幾何體的俯視圖，輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可見線段，所以C、D不正確，幾何體的上

部的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確

故選：B.

5.”直線/與平面a內(nèi)無數(shù)條直線垂直"是"直線/與平面a垂直”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不必要也不充分條件

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)充分必要條件定義即可判斷.

【詳解】設命題直線/與平面a內(nèi)無數(shù)條直線垂直，

命題4：直線/與平面a垂直，

則Q，但4=所以。是9的必要不充分條件.

故選：B

【點睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷，涉及線面垂直的定義和性質(zhì)，屬于中檔題.

6.已知菱形ABC。的邊長為“，ZABC=60°,則防①=

323323

AA.—aBn.—ci2C.—aD.-ci2

2442

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：由題意得，設麗=色豆e=B,根據(jù)向量的平行四邊形法則和三角形法則，可知

__________3

Bb*CD=(a+b)a=a2+a-b=a2+?xaxcos60°=—a2,故選D.

2

考點：向量的數(shù)量積的運算.

7.過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A8兩點，若尸是線段的中點，則|AB|=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】依據(jù)題意可知線段AB為拋物線的通徑可得結果.

【詳解】由題可知：線段4B為拋物線的通徑

所以|AB|=4

故選：D

8.“回文數(shù)''是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22,121,3443等.那么在四位數(shù)中，回文數(shù)共

有()

A.81個B.90個C.100個D.900個

【答案】B

【解析】

【分析】依據(jù)題意可知該數(shù)中間兩個數(shù)字是一樣的，兩端的數(shù)字是一樣的，簡單計算可得結果.

【詳解】由題可知：回文數(shù)中間兩個數(shù)字是一樣的，兩端的數(shù)字是一樣的

所以共有：CCo=9O

故選：B

%2—2x0

9.已知f(x)=，若.?依在1,1]上恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是()

3x-2,x>0

A.B.[0,1]C.[-1,0]D.(-1,0)

【答案】c

【解析】

【分析】作出y=Y(x)|,y=以在[-1,1]上的圖象，當y=/(x)|的圖象在丁=?的圖象的上方時，分

析此時a的取值范圍即可.

【詳解】作出y=|/(x)|,y=ar在［-1,1］上的圖象如下圖所示:

因為|/(x)|..亦在上恒成立，所以y=|/(x)|的圖象在y=的圖象的上方(可以部分點重合)，

且|/(7)|=卜2|=1,令3x_2=0,所以x=1,所以A(—

根據(jù)圖象可知：當>=仆經(jīng)過點A(—1,1)時，。有最小值，amin=-1,

當了=辦經(jīng)過點時，。有最大值，amm=0,

綜上可知。的取值范圍是[—1,0],

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是采用數(shù)形結合思想解決問題，通過數(shù)與形的相互轉化能使問題轉

化為更簡單的問題，常見的圖象應用的命題角度有：

(1)確定方程根的個數(shù)；

(2)求參數(shù)范圍；

(3)求不等式解集；

(4)研究函數(shù)性質(zhì).

10.瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線

被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中作△ABC,AB=AC=4,點8(-1,3),點C(4,-2),

且其“歐拉線”與圓M:(x—a)2+(y—a+3)2=/相切.則圓M上的點到直線x-y+3=0的距離的最小值

為()

A.272B.3&C.4X/2D.6

【答案】A

【解析】

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得8。邊上的高線，垂直平分線和中線合一，其“歐拉線”為AABC邊6c的

垂直平分線，運用中點坐標公式和兩直線垂直的關系，求得邊上的垂直平分線方程，再由點到直線的

距離公式結合圓的對稱性得出答案.

【詳解】解：因為在AABC中，AB=AC=4

所以8C邊上的高線、垂直平分線和中線合一，則其“歐拉線''為AABC邊8C的垂直平分線AO

因為點3(—1,3),點為(4,一2),所以。■

3+2

因為直線BC的斜率為--=-1,所以8C的垂直平分線的斜率為1

-1-4

|3

所以BC的垂直平分線方程為y—5=x—萬，即x―y-l=O

因為“歐拉線”與圓M:(x-a)?+(y-a+3尸=/相切

所以可得圓心(a,a-3)至U“歐拉線''的距離為/——一乙

V2

|ci—a+3+31

圓心(a,a-3)到直線x-y+3=0的距離為=3&

V2

由圓的對稱性可知，圓M上的點到直線x-y+3=0的距離的最小值為3后-收=2J5

故選：A

【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵在于利用距離公式得出圓心到直線x-y+3=0的距離，再由對稱性

得出最小值.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

22

11.雙曲線工-￡=1的離心率為___________.

169

【答案】I

4

【解析】

【分析】依據(jù)題意可得",b,c，然后根據(jù)離心率公式可得結果.

【詳解】由題可知：。=42=3,由0=行了=5

C5

所以離心率0=一二一

a4

故答案為：-

4

12.已知函數(shù)/(x)=|lnM，若a=c=/(2),則a,6,c從小到大排序為.

【答案】c<h<a

【解析】

【分析】直接代入計算簡單判斷即可.

【詳解】由題可知：a=In：=ln8,0==ln4,c=/(2)=|ln2|=ln2

由函數(shù)y=lnx在定義域中是單調(diào)遞增的，所以c<6<a

故答案為：c<b<a

13.如圖，如果每個橫行上兩數(shù)字之和相等，每個豎列上兩個數(shù)字之和相等，請寫出一組滿足要求的不全

【答案】(1).1(2).2(3).2(4).1

【解析】

【分析】由題意列出方程組，得出弓2=。21，61=。22，進而得出答案.

a

【詳解】+。|2=2l+。22

6Z|?+=。12+。22

兩式相加、相減得出《2=。21，。“=。22

不防取4]=1，。[2=2,%I=2,%2=1

故答案為：1；2；2；1

14.在銳角△ABC中，a—3^3,c=5,a=2bsinA?則8=，b—.

【答案】（1）.y（2）.不

6

【解析】

【分析】由。=2匕sinA,利用正弦定理可得8,然后使用余弦定理可得匕

【詳解】由題可知：在銳角AABC中，a=2hsinA

所以sinA=2sin3sinA,因為sinAwO,所以sin5=—

2

又Be］。,?，所以B=看

又。*="+0?—2accosB，a=3A/3,C=5

所以從=7,則》=近

故答案為：—,V7

6

15.海水受日月的引力，會發(fā)生潮汐現(xiàn)象.在通常情況下，船在漲潮時駛入航道，進入港口，落潮時返回海

洋.某興趣小組通過AI技術模擬在一次潮汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實驗：首先，設定水深y（單位：米）隨

TT

時間X（單位：小時）的變化規(guī)律為y=O.8sin@x+2（0eR）,其中噫如一；然后，假設某貨船空載時

G）

吃水深度（船底與水面的距離）為0.5米，滿載時吃水深度為2米，卸貨過程中，隨著貨物卸載，吃水深度

以每小時0.4米的速度減?。徊⒅贫税踩珬l例，規(guī)定船底與海底之間至少要有04米的安全間隙.在此次模

擬實驗中，若貨船滿載進入港口，那么以下結論正確的是.?

TT

①若。=:，貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留4個小時；

6

7T

②若0=二,貨船進入港口后，立即進行貨物卸載，則該船在港口至多能停留4個小時；

③若。=1,貨船于x=l時進入港口后，立即進行貨物卸載，則x=W時，船底離海底的距離最大；

2

27r

④若3=1,貨船于x=l時進入港口后，立即進行貨物卸載，則尤=—時，船底離海底的距離最大.

3

【答案】①④

【解析】

【分析】根據(jù)船離海底距離為丁-2=丁=0.8sin0x20.4,解三角不等式可判斷①；由船離海底距離

^（x）=0.8sin-x+0.4x,利用導數(shù)判斷單調(diào)性即可判斷②；船離海底距離

力（x）=0.8sinx+0.4（x—1）,利用導數(shù)求出最值即可判斷③、④

【詳解】①不卸貨，則吃水恒為2米，

船離海底為y-2=y=0.8sin@x=/（x）,

當工（x）2:0.4時，sin—x>—,則0史,

解得1WXW5,所以最多停留時間為5-1=4小時，故①正確；

②立即卸貨，，吃水深度也=2-0.4x,且2-0.4x20.5,

解得

4

此時船離海底力（x）=y-4=0.8sin—x+0.4%,

（x）=-^-cos—x+0.4>0,0<x<—,

2V71564

所以右（x）在0,9上單調(diào)遞增，且當x=l時，力⑴=0.8>0.4,

157171

由,<x46,y=0.8sin-X+2-0.5=0.8sin-X+1.5>1.5-0.8=0.7>0.4,

4-66

此段時間都可以停靠，

又力（1）=0.8>0.4,.?.6-1=5>4,故②錯誤；

③與④，y=O.8sinox+2（0eR）,%=2-0.4（x-l）,（lWxW乃），

?.力（x）=0.8sinx+0.4（x—1）,力（x）=0.8cosx+0.4=0，解得x=^-，

-2萬~|（17i1

當xch—時,f3（x）>0；當乃時,人

27r

所以當x=—時，船底離海底的距離最大.

3

故答案為：①④

【點睛】關鍵點點睛：本題考查了三角函數(shù)的應用、導數(shù)的應用，解題的關鍵是表示出船離海底距離的關

系式，此題綜合性比較強，考查了知識的應用能力以及計算能力.

三、解答題

16.如圖，在五面體ABCO防中，面A8C。為正方形，面ABFEfl面。?！陸?防，ADA.ED，

CDLEA.

（1）求證：CD〃平面ABFE；

⑵若EF=ED，CD=2EF=2,求平面ADE與平面8CF所成的銳二面角的大小.

【答案】（1）證明見解析；（2）

4

【解析】

【分析】（1）由CO〃A8結合線面平行的判定定理證明即可；

（2）先證明平面ADE，進而建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角即可.

【詳解】解：（1）在五面體A6C。所中，

因為四邊形ABCD是正方形，所以CEV/AB

又因為ABu平面COZ平面ABEE，所以8〃平面A3EE.

（2）因為四邊形A8CO是正方形，所以COLAO

又因為COJ.AE，又ADcAE=A,ARAEu面ADE,所以CD1平面AOE

又因為DEu平面AOE，所以CO1QE.

又因為AO1OE，所以以點O為坐標原點，DA,DC,￡>E分別為x,>,z軸，如圖建立空間直角

坐標系.

因為CD=2EF=2,EF=ED

￡>(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,l).

由(1)CO〃平面A3EE,。。<=平面8萬戶，平面CD砂n平面=

___1___c

所以CD〃EF,所以EF=]0C.可得尸(0,1,1).

由題意知平面ADE的法向量為DC=（0,2,0）

設平面BCF的法向量為n=（x,y,z）.

\n-BC=Qf-2x=0

由一得n

-FC=o[y-z=o

令3=1,得z=l,x=0,所以'=（0,1,1）

設平面ADE與平面BCF所成銳二面角為6.

八\DC-n\2a

8S”阿前運一

所以平面ADE與平面BCF所成銳二面角為-

4

【點睛】關鍵點睛：解決問題二的關鍵在于建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角.

17.已知有限數(shù)列｛%｝共有30項，其中前20項成公差為d的等差數(shù)列，后11項成公比為夕的等比數(shù)列,

記數(shù)列的前〃項和為從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求：

（1）4g的值；

（2）數(shù)列｛q』中的最大項.

條件①：%=4醺=30,%=20;

條件②：S3=0,420=-36,a22=-9；

條件③：5,=48,%=20,%=160.

【答案】答案見解析.

【解析】

【分析】（1）分別選擇一個條件，利用等差、等比數(shù)列的通項公式以及前〃項和公式計算即可.

（2）根據(jù)（1）所得到的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)數(shù)列等差部分、等比部分的單調(diào)性簡單判斷即可.

【詳解】選擇條件①：%=4,$5=30,%=20

解：（1）因為｛《,｝的前20項成等差數(shù)列，生=4,Ss=30,

q+d=4,

所以《

5《+竽d=30,

4=2,

解得

d=2

所以生。=2+19x2=40.

因為數(shù)列｛4｝后11項成公比為4的等比數(shù)列,

所以4=&

a

202

綜上，d=2,q=—.

2

(2)｛4｝的前20項成等差數(shù)列,d>0.

所以前20項為遞增數(shù)列.

即：前20項的最大項為%,=40.

數(shù)列｛%｝的后11項成等比數(shù)列，q=g

所以后11項是遞減數(shù)列.

即：后11項最大項為％o=4O

綜上，數(shù)列｛4｝的最大項為第20項，其值為40.

選擇條件②：53=0,%>=-36,a22=-9

解：⑴因為3｝前20項成等差數(shù)列，S3=0,O20=-36,

3al+3d-0,

所以<

q+19a——36,

q=2,

所以《

d=—2.

因為數(shù)列｛4｝后11項成公比為《的等比數(shù)列,

“20=-36,又因為。22=-9，

八四」

。204

所以9=±(.

綜上，d=-2,q=±—.

2

(2)伍〃｝的前20項成等差數(shù)列，d<0.

所以前20項為遞減數(shù)列.

前20項的最大項為q=2.

因為q=±g.

1(\Y-20

i.當4=]時，a?=-36l-I(20</W3()且“GN*),

所以當20<〃430時，a?<0.

此時，數(shù)列｛4｝的最大項為第1項，其值為2；

ii.當4=一萬時，anI(20W”W30且〃eN*),

后11項的最大項為%=18.

此時，數(shù)列｛〃“｝的最大項為第21項，其值為18

綜上，當q=g時，數(shù)列｛%｝的最大項為第1項，其值為2；

當夕=-；時，數(shù)列｛%｝的最大項為第21項，其值為18.

選擇條件③：S,=48,%=20,a24=160

解：(1)因為數(shù)列｛4｝后11項成公比為q的等比數(shù)列，%=20,電4=160,

所以八"=8,

%]

解得4=2.

所以"20=&'二⑹

q

又因為｛4｝的前20項成等差數(shù)列，6=4=48,

所以“=儂二5=—2.

20-1

綜上，d=-2,q=2.

(2)｛4｝的前20項成等差數(shù)列，d<0.

所以前20項為遞減數(shù)列.

前20項的最大項為％=48.

｛q｝的后11項成等比數(shù)列，而出0=1°，4=2,

fl2

an=10-2-°(20WnW30且〃GN*),

所以后11項為遞增數(shù)列.

后11項的最大項為%o=10240

綜上，數(shù)列｛《,｝的最大項為第30項，其值為10240.

18.某大型連鎖超市的市場部為了比較線下、線上這兩種模式的銷售情況，從某地區(qū)眾多門店中隨機抽取8

家門店，對其線下和線上這兩種銷售模式下的日營業(yè)額（單位：萬元）進行調(diào)查.調(diào)查結果如下：

門店1門店2門店3門店4門店5門店6門店7門店8

線下

96.5199.514.516.520.512.5

日營業(yè)額

線上

11.591217192321.515

日營業(yè)額

若某門店一種銷售模式下的日營業(yè)額不低于15萬元，則稱該門店在這種銷售模式下的日營業(yè)額達標；否則

就稱該門店在此種銷售模式下的日營業(yè)額不達標.若某門店的日營業(yè)總額（線上和線下兩種銷售模式下的

日營業(yè)額之和）不低于30萬元，則稱該門店的日營業(yè)總額達標；否則就稱該門店的日營業(yè)總額不達標.（各

門店的營業(yè)額之間互不影響）

（1）從8個樣本門店中隨機抽取3個，求抽取的3個門店的線下日營業(yè)額均達標的概率；

（2）若從該地區(qū)眾多門店中隨機抽取3個門店，記隨機變量X表示抽到的日營業(yè)總額達標的門店個數(shù).以

樣本門店的日營業(yè)總額達標的頻率作為一個門店的日營業(yè)總額達標的概率，求X的分布列和數(shù)學期望；

（3）線下日營業(yè)額和線上日營業(yè)額的樣本平均數(shù)分別記為從和出，線下日營業(yè)額和線上日營業(yè)額的樣本

方差分別記為和S；.試判斷從和4的大小，以及S：和的大小.（結論不要求證明）

13

【答案】（1）—；（2）分布列見解析，-；（3）“<〃2，S：=S；.

562

【解析】

【分析】（1）依據(jù)題意線下銷售達標的有3家，然后簡單計算即可.

（2）由二項分布的概率公式運算即可得解；

（3）根據(jù)數(shù)據(jù)進行計算然后直接判斷即可.

【詳解】（I）由題可知：線下銷售達標的有3家，分別是：門店3,門店6,門店7

C31

所以所求的概率為T=K

（2）由題意，日營業(yè)總額達標的概率為

2

X的所有可能取值為：0,1,2,3,

所以p(x=o)=c“TW，P(x=i)=c；｛3U=|'

尸==尸(x=3)=C；［；］=(，

所以X的分布列為

X0123

233￡

P

8888

二3/二

所以E(x)

22

9+6.5+19+9.5+14.5+16.5+20.5+12.5.

⑶“二------------------------------------=13.5

8

11.5+9+12+17+19+23+21.5+15”

二-------------------------------------------------------------------------------=16

8

2

(9-13.5)2+(6.5-13.5)2Q(9.5-13.5)2+(14.5-13.5)2+(16.5-13.5)2+(20.5-13.5)2+(12.5-13.5)2

+9^135)+

所以s：=粵

O

(11.5-16丫+(9-16)2+(12-16)2+(17-16)2+(19-16)2+(23-16)2+(21.5-16)2+(15-16)2

S;

8

所以貨=空17S5

所以〃?<〃2，S：=S；

19.已知橢圓C:占+其=l(a>8>0)的右焦點為尸(1,0),且經(jīng)過點A(—2,0)和點5(2,0).

a2b2

(1)求橢圓。的方程；

(2)"和N是橢圓。上兩個不同的點，四邊形4WBN是平行四邊形，直線AM、AN分別交>軸于點P

和點Q，求四邊形APFQ面積的最小值.

22

【答案】(1)土+匕=1；(2)33.

43

【解析】

【分析】(1)題目告訴了橢圓焦點和頂點，即知道了。工，再由廿=/_。2,即可求解;

(2)由對稱性可設設MO,,y),則N(-%,-y),通過表示直線AM,AN的方程，求得P,Q的坐標，從而

表示出面積，再根據(jù)點M在橢圓上，得到玉與M的關系以及y的范圍，即可求解.

【詳解】(1)由已知〃=2,c=l,

所以￡=〃2一。2=3.

22

所以橢圓。的方程為2-+匕=1.

43

(2)因為四邊形是平行四邊形，

所以A8與MN的中點重合，所以例、N關于原點對稱.

設MQ,%),則N(-±,-y).(百r±2且y產(chǎn)0)

直線AM的方程為'=~^—(x+2),

Xj+2

令x=(),得丁=用彳，即P(0,3、)，

%+2XI+2

又"AN='°，

X—2

直線AN的方程為y=(X+2),

X)-2

令x=o,得曠=用\,即。(。,衛(wèi)、).

Xj-2Xj-2

13

四邊形APFQ面積為-AFWPQ|=1|PQ|,

\PQ\=\-^~-^L：\=]4h--\.

X|+2玉-2Xj-4

因為點M在橢圓上，

22

所以號+1之，-bWyWgRyHO.

所以犬-4=-正

所以|尸。|=|9|.

y

所以當乂=±也時，|PQImm=2g

所以四邊形APFQ面積的最小值為3后.

【點睛】

關鍵點點睛：本題的關鍵是把面積用一個量表示出來，再去尋求這一個量的取值范圍，從而求出面積的取

值范圍.

20.已知函數(shù)/(幻=-----(fle/?).

e

(1)當。=一1時，求f(x)在x=O處的切線方程；

(2)已知/(X),,1對任意xeR恒成立，求"的值.

【答案】(1)y=-2x+l；(2)1.

【解析】

【分析】(1)將a=-l代入，然后求導，并得到/(0),/'(0),最后可得結果.

(2)計算f(x),然后按照。=0,?<0,。>0進行分類討論，并研究原函數(shù)的單調(diào)性，利用/(x)nBX=l

計算即可.

【詳解】解：(1)當Q=—1時，/(幻=一，/(幻=一，

ee

所以/(0)=1,廣(0)=-2

切線/的斜率為％=r(o)=-2.

所以/(X)在x=()處的切線方程為y=—2x+l.

(2)依題意，“X)W1對任意xtR恒成立,

.、(1+ax)'e'—(1+a￥)(e')'—ox4-(7—1

"rtX)=--------旃--------—

當。=0時，f\x)=~,由于e，>0,則/'(x)<o恒成立，

e

所以/(幻在R內(nèi)單調(diào)遞減，

因為/(0)=1,

故當無<0時，/(x)>l,不符合題意.

當4聲0時，令/'(x)=0,Wx=l--

a

當a<0時，x=l-->0,因為/(0)=1,那么x,7'(x),/(x)的變化情況如下表：

a

11

X(-00』)(l--,+oo)

aaa

f,(x)—0+

fM單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以結合/（X）的單調(diào)性知：當x<0時，〃力>1,不符合題意.

當a>0時，x,f'（x）,f（x