《排列數(shù)》示范公開課教學(xué)設(shè)計【高中數(shù)學(xué)人教A版】

環(huán)節(jié)二《排列數(shù)》教學(xué)設(shè)計【公式引入】問題1：在前面解決排列問題的時候，我們是根據(jù)計數(shù)原理和列舉數(shù)數(shù)的方式得到排列的個數(shù)，但隨著元素個數(shù)的增加，這樣的方法就越來越頻瑣了，是否有計算排列個數(shù)的公式，從而能便捷地求出排列的個數(shù)？答案：我們把從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，并用符號An追問１：用排列數(shù)符號表示從３個元素中取出２個元素的排列數(shù)，并說明排列數(shù)與排列有何區(qū)別．答案：表示為A32，已經(jīng)算得A32=3×2=6．一個排列是指從n個不同元素中，任取m追問２：用排列數(shù)符號表示從４個元素中取出３個元素的排列數(shù)，它與追問１中的排列數(shù)有什么共同之處？答案：表示為A43，已經(jīng)算得A43=4×3×2=24．兩個追問中的排列數(shù)，都是從n個不同元素中取出m（設(shè)計意圖：結(jié)合上一節(jié)已解決的具體問題，在排列基礎(chǔ)上給出排列數(shù)的定義和表示，并與相似的排列概念作對比，為引入排列數(shù)公式作鋪墊．【公式推導(dǎo)】問題2：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的排列數(shù)Anm（m≤n追問１：我們已經(jīng)知道問題1中追問1的排列數(shù)A32A43=4×3×2=24，那么如何求排列數(shù)A答案：根據(jù)前面求排列數(shù)A32的經(jīng)驗，求排列數(shù)An2．解決問題的關(guān)鍵是：假定有排好順序的兩個空位，從接下來來計算有多少種填法.完成“填空”這件事可以分為兩個步驟完成：第1步，填第1個位置的元素，可以從這個不同元素中任選1個，有種選法；第2步，填第2個位置的元素，可以從剩下的個元素中任選1個，有種選法．利用分步乘法計數(shù)原理計算填法的種數(shù)，得到An按照同樣的方法，發(fā)現(xiàn)求排列數(shù)An3，可以按依次填3個空位來考慮，得出追問2：你能類比求排列數(shù)An2和An答案：根據(jù)前面求排列數(shù)An2和An3的經(jīng)驗，得到：求排列數(shù)假定有排好順序的個空位如圖，從n個不同元素中取出個元素去填空，一個空位填上一個元素，每一種填法就對應(yīng)一個排列．因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù).填空可以分為個步驟完成：第1步，從n個不同元素中任選1個填在第1位，有n種選法；第2步，從剩下的個元素中任選1個填在第2位，有種選法；第3步，從剩下的個元素中任選1個填在第3位，有種選法；……第步，從剩下的個元素中任選1個填在第位，有種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，個空位的填法種數(shù)為.這樣，我們就得到公式A問題1答案：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的排列數(shù)Anm（m≤n）是設(shè)計意圖：通過利用計數(shù)原理求出具體問題的排列數(shù)，從特殊到一般，將具體排列數(shù)的結(jié)果歸納為一般形式，從而得排列數(shù)公式．【公式辨析】問題3：觀察公式的右邊，共有幾個因數(shù)？各因數(shù)的大小有什么規(guī)律？答案：排列數(shù)Anm的排列數(shù)公式右邊有m個因數(shù)，各因數(shù)從追問1：你能利用排列數(shù)公式，直接計算出A52，A8答案：根據(jù)排列數(shù)公式，我們可以得到：A52=5×4=20An特別地，我們把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列．這時，排列數(shù)公式中，即有．也就是說，將n個不同的元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積．正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用表示，于是，n個元素的全排列數(shù)公式可以寫成．另外，我們規(guī)定，．設(shè)計意圖：通過辯析公式，把握公式的特點，以便更好地記憶公式，加深對公式的理解，并給出階乘的概念，規(guī)定0！=1．【公式應(yīng)用】例1計算（1）A73；（2）A74；（3）A問題4：利用排列數(shù)公式求排列數(shù)A73時，n和答案：利用排列數(shù)公式求排列數(shù)A73時，n的值為7，m解：根據(jù)排列數(shù)公式，可得

（1）A7（2）A7（3）A7（4）A6追問1：觀察例題的計算結(jié)果，從中發(fā)現(xiàn)它們的共性了嗎？能否將它們進(jìn)行推廣？通過觀察發(fā)現(xiàn)，A7A64×A推廣可得：．因此，排列數(shù)公式還可以寫成．設(shè)計意圖：通過利用公式求排列數(shù)，以把握公式的結(jié)構(gòu)，加深對公式的理解．并通過對所求結(jié)果共性的歸納總結(jié)，得到公式的另一種形式．課堂練習(xí)１先計算，然后用計算工具檢驗：（1）A124；（2）A88；（3）A解：根據(jù)排列數(shù)公式，可得

（1）A12（2）A8（3）A15（4）A12課堂練習(xí)2求證：（1）Anm=n證明：（1）Anm=n!即An（2）A8即A8設(shè)計意圖：選擇合適的排列數(shù)公式進(jìn)行運算和證明，促進(jìn)學(xué)生把握公式的特征，并掌握公式的使用條件.例2用0-9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？問題5：這是不是一個排列問題？答案：在0-9這10個數(shù)字中，選擇三個不同的數(shù)字并對其進(jìn)行排列，是一個排列問題．追問1：在數(shù)字的選擇上，百位上的數(shù)字有什么特殊要求嗎？十位和個位上的數(shù)字呢？答案：百位做為最高位，百位上的數(shù)字不能為0，十位和個位上的數(shù)字沒有特殊要求．解：如圖所示，由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0，所以可以分兩步完成：第1步，確定百位上的數(shù)字，可以從1-9這9個數(shù)字中取出1個，有A91第2步，確定十位和個位上的數(shù)字，可以從剩下的9個數(shù)字中取出2個，有A92根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個數(shù)為A9追問2：除了上面的方法，還有其他的方法可以解決這個問題嗎？答案：有，還可以采用分類加法計數(shù)原理進(jìn)行求解．解法2：如圖所示，符合條件的三位數(shù)可以分成三類：第1類，每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)，可以從1~9這9個數(shù)字中取出3個，有A9第2類，個位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個數(shù)字中取出2個放在百位和十位，有A92第3類，十位上的數(shù)字是0的三位數(shù)，可以從剩下的9個數(shù)字中取出2個放在百位和個位，有A92根據(jù)分類加法計數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個數(shù)為A9我們還可以利用間接法進(jìn)行求解：解法3：從0~9這10個數(shù)字中選取3個的排列數(shù)為A103，其中0在百位上的排列數(shù)為A10總結(jié)：求排列問題的方法可以歸納為以下幾步：①判斷排列問題；②根據(jù)計數(shù)原理給出用排列數(shù)符號表示的運算式子；③利用排列數(shù)公式求出結(jié)果．設(shè)計意圖：通過應(yīng)用公式解決問題，及時鞏固排列數(shù)公式，形成解決排列問題的一般方法.課堂練習(xí)3一個火車站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火車，現(xiàn)要停放4列不同的火車，共有多少種不同的停放方法？解：先放第一列火車，有8種不同的的方法；再放第二列火車，可以在剩下的7股岔道中進(jìn)行選擇，有7種不同的方法；第三列火車，再剩下的6股岔道中進(jìn)行選擇，有6種不同的放法；z最后放第四列火車，有5種不同的放法，綜上，由分步乘法計數(shù)原理，可得：A84設(shè)計意圖：通過應(yīng)用，進(jìn)一步鞏固公式，熟悉解決排列問題的一般方法，提高分析和解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).【課堂小結(jié)】回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，回答下列問題；（1）提出一個排列問題，并結(jié)合問題說明排列與排列數(shù)的區(qū)別.（2）排列數(shù)公式是如何推導(dǎo)的？（3）如何解決排列問題？答案:(1)在10名同學(xué)中，選擇兩名同學(xué)，參加個不同的活動，即為排列問題，這個問題中，排列問題是從10個不同元素中取出2個元素并進(jìn)行排序，而排列數(shù)，是從10個不同元素中取出2個元素進(jìn)行排序一共有多少排法種數(shù).（2）求排列數(shù)Anm可以按依次填假定有排好順序的m個空位如圖，從n個不同元素中取出m個元素去填空，一個空位填上一個元素，每一種填法就對應(yīng)一個排列．因此，所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)An填空可以分為m個步驟完成：第1步，從n個不同元素中任選1個填在第1位，有n種選法；第2步，從剩下的個元素中任選1個填在第2位，有種選法；第3步，從剩下的個元素中任選1個填在第3位，有種選法；……第步，