五年級三大原理抽屜原理教師版

抽屜原理抽屜原理知識要點最不利原則最不利原則所謂“最不利原則”是指完成某一項工作先從最不利的情況下考慮，然后研究任意情況下可能的結果。由此得到充分可靠的結論。抽屜原理又稱鴿巢原理或Dirichlet原理抽屜原理有時也被稱為鴿籠原理，它由德國數(shù)學家狄利克雷首先明確提出來并用來證明一些數(shù)論中的問題，因此，也被稱為狄利克雷原則。抽屜原理是組合數(shù)學中一個重要而又基本的數(shù)學原理，利用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能夠起到令人驚奇的作用。許多看起來相當復雜，甚至無從下手的問題，在利用抽屜原理后，能很快使問題得到解決。第一抽屜原理：一、將多于SKIPIF1<0件的物品任意放到SKIPIF1<0個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于SKIPIF1<0件；二、將多于SKIPIF1<0件的物品任意放到SKIPIF1<0個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于SKIPIF1<0件。第二抽屜原理：一、將少于SKIPIF1<0件的物品任意放到SKIPIF1<0個抽屜中，其中必有一個抽屜中沒有物體。二、把SKIPIF1<0個物體放入SKIPIF1<0個抽屜，其中必有一個抽屜中至多有SKIPIF1<0個物體。平均值原理：如果SKIPIF1<0個數(shù)的平均值為SKIPIF1<0，那么其中至少有一個數(shù)不大于SKIPIF1<0，也至少有一個不小于SKIPIF1<0。運用抽屜原理求解的較為復雜的組合計算與證明問題．這里不僅“抽屜”與“蘋果”需要恰當?shù)卦O計與選取，而且有時還應構造出達到最佳狀態(tài)的例子．抽屜原理的解題方案抽屜原理的解題方案（一）、利用公式進行解題蘋果÷抽屜＝商……余數(shù)余數(shù)：（1）余數(shù)＝1，結論：至少有（商＋1）個蘋果在同一個抽屜里（2）余數(shù)＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0，結論：至少有（商＋1）個蘋果在同一個抽屜里（3）余數(shù)＝0，結論：至少有“商”個蘋果在同一個抽屜里（二）、利用最值原理解題將題目中沒有闡明的量進行極限討論，將復雜的題目變得非常簡單，也就是常說的極限思想“任我意”方法、特殊值方法．抽屜原理數(shù)學興趣小組共SKIPIF1<0人，有一個同學在某一天對大家宣布一個猜想：“我們中間必定有兩個人生日處在同一個月份”，你知道他是怎么知道的嗎？因為數(shù)學興趣小組的人數(shù)超過了SKIPIF1<0個人，而一年中只有SKIPIF1<0個月份，根據(jù)抽屜原理一，他就可以得出以上結論了。某小學有SKIPIF1<0名學生，證明其中必定有兩名學生是同一天的生日。一年至多是SKIPIF1<0天，把這些不同日期看作是抽屜，將SKIPIF1<0名同學看作是物體，把SKIPIF1<0個物體放在不超過SKIPIF1<0個抽屜里面，至少有一個抽屜的物品不少于SKIPIF1<0個，也就是說這兩個物體所代表的同學就是同一天的生日。有個小朋友特別勤奮，在暑假里每天都會做奧數(shù)題，已知他一共做了SKIPIF1<0道，媽媽說假期中他過生日那天不止做了一道數(shù)學題。問他這個假期最多有多少天？根據(jù)抽屜原理，如果假期里面的每天看作是抽屜，把SKIPIF1<0道題看作是物品，因為知道每個抽屜都有物品并且某個抽屜中放的物品不少于SKIPIF1<0件，所以抽屜數(shù)一定小于SKIPIF1<0，所以抽屜數(shù)至多是SKIPIF1<0，也就是說假期最多有SKIPIF1<0天。SKIPIF1<0個小朋友等著老師派發(fā)蘋果，老師拿著蘋果箱對大家說：“你們其中至少有一個小朋友可以拿到不少于兩個的蘋果”，請問老師至少需要準備多少個蘋果？根據(jù)抽屜原理一，老師準備的蘋果數(shù)必須比小朋友總人數(shù)多，因此至少需要準備SKIPIF1<0個蘋果。媽媽給小明買了SKIPIF1<0個蘋果，要求小明每天都要吃蘋果，已知小明至少有一天吃了不止一個蘋果，問小明最多能吃多少天？根據(jù)抽屜原理知道，只有天數(shù)比蘋果數(shù)少才能保證小明至少有一天可以吃不止一個蘋果，那么小明最多可以吃SKIPIF1<0天。（第九屆“中環(huán)杯”小學生思維能力訓練活動五年級初賽動手動腦題第3題）能否在SKIPIF1<0行SKIPIF1<0列的方格表的每個空格中分別填入SKIPIF1<0這三個數(shù)中的任何一個，使得每行、每列及對角線上的各個數(shù)的和互不相同？為什么？不可能。因為每行每列每對角線上的和最小為SKIPIF1<0，和最大為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0個互不相同的數(shù)，而SKIPIF1<0行、SKIPIF1<0列和兩條對角線上共有SKIPIF1<0個和，根據(jù)抽屜原理，必定有兩個和是相等的。用數(shù)字SKIPIF1<0填滿一個SKIPIF1<0的方格表，如圖所示，每個小方格只填其中一個數(shù)字，將每一個SKIPIF1<0的正方格內(nèi)的四個數(shù)之和稱為這個SKIPIF1<0正方格的“標示數(shù)”。問：能否給出一種填法，使得任意兩個“標示數(shù)”均不相同？如果能，請舉出一例；如果不能，請說明理由。因為SKIPIF1<0的正方格共有SKIPIF1<0個，又因為用數(shù)字SKIPIF1<0填入SKIPIF1<0的正方格中，標示數(shù)只能是SKIPIF1<0這SKIPIF1<0種不同的情況，即有SKIPIF1<0個抽屜，因為共有SKIPIF1<0個標示數(shù)，所以根據(jù)抽屜原理，必定有兩個標示數(shù)是相同的。證明：任意SKIPIF1<0個人中，至少有SKIPIF1<0個人的屬相相同。把SKIPIF1<0個屬相看作是SKIPIF1<0個抽屜，把SKIPIF1<0個人看作是SKIPIF1<0個蘋果，因為SKIPIF1<0，根據(jù)抽屜原理二，至少有一個抽屜有不少于SKIPIF1<0個蘋果，即相應的至少有SKIPIF1<0個人是相同的屬相。一群人參加集體聚會，要想保證至少有SKIPIF1<0個人屬相相同，那么參加聚會的人不得少于多少人？如果把SKIPIF1<0個屬相看作是SKIPIF1<0個抽屜，那么根據(jù)抽屜原理二，至少需要SKIPIF1<0人參加聚會才可以保證有至少SKIPIF1<0個人屬相相同。新年晚會上，老師讓每位同學從一個裝有許多玻璃球的口袋中摸出兩個球，這些球給人的手感相同，只有紅、黃、白、藍、綠五種顏色之分（摸球時看不見顏色），結果發(fā)現(xiàn)總有SKIPIF1<0個人取出的球相同，由此可知，參加取球的至少有幾個人？取出兩個球共有多少種不同的顏色呢？如果兩種球顏色相同，那么共有SKIPIF1<0種方法數(shù)，如果兩種球顏色不同，則共有SKIPIF1<0種方法數(shù)，所以取出兩個球的方法數(shù)是SKIPIF1<0種，即有SKIPIF1<0個抽屜，根據(jù)抽屜原理可知，參加取球的至少有SKIPIF1<0人。一副撲克牌，共SKIPIF1<0張，問至少從中摸出多少張牌才能保證有SKIPIF1<0張牌的花色相同？從最壞的情況考慮：先摸出兩張牌，分別是大王和小王，然后再把四種花色各摸出四張，此時一共摸出SKIPIF1<0張牌，如果再摸一張就會出現(xiàn)至少有SKIPIF1<0張牌的花色相同，即至少需要摸出SKIPIF1<0張牌才可以保證至少有SKIPIF1<0張牌的花色相同。一副SKIPIF1<0張的撲克牌，至少需要摸出多少張，才可以保證所有花色的牌都有？從最壞的情況考慮：先摸出兩張王牌，然后挑選三種花色摸光，此時一共摸了SKIPIF1<0張牌，再摸一張就可以保證所有花色的牌都有。一副SKIPIF1<0張的撲克牌，至少需要摸出多少張，才可以保證有SKIPIF1<0張梅花和SKIPIF1<0張紅桃？從最壞的情況考慮：先摸出兩張王牌，然后摸出所有的方塊和黑桃，共計SKIPIF1<0張牌，接著就是最關鍵也是最容易出錯的地方，那就是什么是最壞的情況。因為要保證有SKIPIF1<0張梅花和SKIPIF1<0張紅桃，所以我們只需要不符合其中一個即可，比如摸到了SKIPIF1<0張梅花和SKIPIF1<0張紅桃就是不符合要求的（想想看為什么SKIPIF1<0張紅桃和SKIPIF1<0張梅花為什么不是最壞的情況？），但是如果再摸一張就必定符合要求了，所以至少需要摸出SKIPIF1<0張。布袋中有編號為SKIPIF1<0的形狀大小完全一樣的小球SKIPIF1<0個，其中編號為SKIPIF1<0的小球有SKIPIF1<0個，SKIPIF1<0，為了保證將取出的球組合出數(shù)字“SKIPIF1<0”，問至少需要取出多少個球？因為要求取出一個“SKIPIF1<0”和三個“SKIPIF1<0”，所以我們考慮最壞的情況，把編號為SKIPIF1<0的所有的球全部取出來，即有SKIPIF1<0個球，此時還是顯然無法滿足題目要求，這個時候再取出九個“SKIPIF1<0”或者兩個“SKIPIF1<0”和一個“SKIPIF1<0”，還是無法滿足要求，如果再取一個就符合要求，即至少需要取出SKIPIF1<0個球。（第七屆中環(huán)杯五年級初賽）一只魔袋里裝有SKIPIF1<0種不同顏色的魔球各SKIPIF1<0只，現(xiàn)在請你閉上眼睛到袋中去摸球，每次限摸SKIPIF1<0只，要使摸出的球至少有三種顏色是不少于SKIPIF1<0只的，那么至少要摸多少次？這題是比較典型的最不利原則的題型，最壞的情況就是有兩種顏色的魔球都取完了，其他SKIPIF1<0種顏色的魔球都去了SKIPIF1<0只，這時只有再取一只球就能湊足有三種顏色是不少于SKIPIF1<0只，所以至少應該摸SKIPIF1<0次。請證明：在SKIPIF1<0中任選SKIPIF1<0個數(shù)，其中至少有不同的兩組數(shù)，其和等于SKIPIF1<0。共SKIPIF1<0個數(shù)分成SKIPIF1<0組如下：SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0個抽屜，從中任意選取SKIPIF1<0個數(shù)，至少有SKIPIF1<0個數(shù)來自前SKIPIF1<0個抽屜，所以至少有SKIPIF1<0個數(shù)取自某兩個抽屜，而屬于同一個抽屜的兩個數(shù)的和是SKIPIF1<0，所以問題得證。從SKIPIF1<0這SKIPIF1<0個數(shù)中任意選取SKIPIF1<0個數(shù)，證明：必有一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。把這SKIPIF1<0個數(shù)分成SKIPIF1<0組，看作是SKIPIF1<0個抽屜，分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，從這SKIPIF1<0個抽屜中選取SKIPIF1<0個數(shù)，則必定有兩個數(shù)在同一個抽屜中，而同一個抽屜中的任意兩個數(shù)都滿足倍數(shù)關系，所以必有一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。學校有SKIPIF1<0個同學參加數(shù)學競賽，已知將參賽同學任意分成四組，則必有一組的女生多于SKIPIF1<0人，又知參賽者中任何SKIPIF1<0人中必定有男生，求參賽的男生人數(shù)是多少？因為參賽者中任何SKIPIF1<0人中必定有男生，所以女生人數(shù)必定不超過SKIPIF1<0人。另一方面，因為任意分成四組，必定有一組女生不少于SKIPIF1<0人，所以女生人數(shù)多于SKIPIF1<0人，于是女生人數(shù)是SKIPIF1<0個，男生人數(shù)是SKIPIF1<0個。平面上給定SKIPIF1<0個點，沒有SKIPIF1<0個點在一條直線上，證明：用這些點做頂點所組成的一切三角形中，一定有一個三角形，它的最大邊是另外一個三角形的最小邊。首先我們先將每一個三角形的最大邊染色成紅色的，將其他所有沒有染色的邊染成藍色的。設這六個點是SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0連出的五條線中必定有三條線顏色相同，假設

SKIPIF1<0顏色相同，如果SKIPIF1<0三個點之間的兩兩連線有顏色與SKIPIF1<0相同的，那么這兩個點和SKIPIF1<0點組成的三角形的邊顏色就相同了，如果SKIPIF1<0三個點之間的兩兩連線的顏色與SKIPIF1<0都不相同，那么SKIPIF1<0三點組成的三角形的顏色就相同了，也就是說在這六個點組成的三角形中必定存在同色三角形，因為這個三角形一定有最大邊，所以這個同色三角形必定是紅色三角形，那么這個三角形的最小邊必定是紅色，從而它必定是另外某一個三角形的最大邊，也就是說這條邊既是某個三角形的最大邊，也是某個三角形的最小邊。平面上有SKIPIF1<0個點，兩兩連線，每條線段染紅、黃、藍三種顏色中的一種，這些線段能構成若干個三角形．證明：一定有一個三角形三邊的顏色相同．從這SKIPIF1<0個點鐘任取一個點SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0點與其它SKIPIF1<0個點相連可以得到SKIPIF1<0條線段，根據(jù)抽屜原理，其中同色的線段至少有SKIPIF1<0條，不妨設為紅色．考慮這SKIPIF1<0條線段的除SKIPIF1<0點外的SKIPIF1<0個端點：

⑴如果SKIPIF1<0個點兩兩之間有SKIPIF1<0條紅色線段，那么就有SKIPIF1<0個紅色三角形符合條件；

⑵如果SKIPIF1<0個點之間沒有紅色線段，也就是全為黃色和藍色，由上面的例題可知，這SKIPIF1<0個點中必有SKIPIF1<0個點，它們之間的線段的顏色相同，那么這樣的三角形就符合條件．

綜上所述，一定存在一個三角形滿足題目要求．復雜的抽屜原理幼兒園買來許多牛、馬、羊、狗塑料玩具，每個小朋友任意選擇兩件，但不能是同樣的，問：至少有多少個小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同？從四種玩具中挑選不同的兩件，所有的搭配有以下SKIPIF1<0組：牛、馬；牛、羊；牛、狗；馬、羊；馬、狗；羊、狗．SKIPIF1<0個。把每一組搭配看作一個“抽屜”，共SKIPIF1<0個抽屜．根據(jù)抽屜原理，至少要有SKIPIF1<0個小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同。體育用品的倉庫里有許多的足球、籃球和排球，有SKIPIF1<0個同學來倉庫拿球，要求每個人至少拿一個，最多拿兩個球，問至少有多少名同學所拿球的種類完全一樣？以拿球配組的方式為抽屜，每人拿一個或者兩個球，所以抽屜有：足，籃，排，足足，籃籃，排排，足籃，足排，籃排共SKIPIF1<0種情況，即有SKIPIF1<0個抽屜，則：SKIPIF1<0，于是至少有SKIPIF1<0個同學所拿球的種類是一樣的。（第九屆中環(huán)杯五年級）能否在SKIPIF1<0行SKIPIF1<0列的方格表的每個空格中分別填入SKIPIF1<0這三個數(shù)中的任何一個，使得每行、每列及對角線上的各個數(shù)的和互不相同？為什么？不可能。因為每行每列每對角線上的和最小為SKIPIF1<0，和最大為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0個互不相同的數(shù)，而SKIPIF1<0行、SKIPIF1<0列和兩條對角線上共有SKIPIF1<0個和，根據(jù)抽屜原理，必定有兩個和是相等的。在邊長為SKIPIF1<0米的正方形中，任意放SKIPIF1<0個點，求證：必定有四個點，以它們?yōu)轫旤c的四邊形的面積不超過SKIPIF1<0平方米。將大正方形分成SKIPIF1<0個邊長為SKIPIF1<0的小正方形，則把SKIPIF1<0個小正方形看作是抽屜，有

SKIPIF1<0，從而必定有SKIPIF1<0個點處于同一個抽屜，也就是這四個點在同一個小正方形里面，由于每個小正方形面積都不超過SKIPIF1<0平方米，所以這四個點組成的四邊形的面積也必定不超過SKIPIF1<0平方米。在邊長為SKIPIF1<0米的正方形中，任意放SKIPIF1<0個每三點都不共線的點，求證：必定有三個點，以它們?yōu)轫旤c的三角形的面積不超過SKIPIF1<0平方米。把正方形分成等分成四個邊長為SKIPIF1<0的小正方形，因為SKIPIF1<0，那么根據(jù)抽屜原理必定有三個點處在同一個小正方形里面，我們來證明這三個點所組成的三角形的面積不超過小正方形面積的一半。如圖所示，如果三角形有一條邊與小正方形的邊平行，那么這個以這個邊為底，作三角形的高，顯然底和高都不超過小正方形的邊長，從而面積必定不超過小正方形面積的一半；如果三角形任意一條邊都不與小正方形的邊平行，那么過其中一個頂點作邊的平行線，與頂點所對應的邊交于一點，以這兩點連線所在線段為底，三角形分成兩個同底的三角形，它們的高加起來不超過正方形的邊長，而這個底也不超過正方形的邊長，所以其面積必定不超過正方形面積的一半。由此我們知道三角形的面積不超過SKIPIF1<0平方米。從SKIPIF1<0這SKIPIF1<0個數(shù)中任意選取SKIPIF1<0個數(shù)，證明：必有一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。把這SKIPIF1<0個數(shù)分成SKIPIF1<0組，看作是SKIPIF1<0個抽屜，分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，從這SKIPIF1<0個抽屜中選取SKIPIF1<0個數(shù)，則必定有兩個數(shù)在同一個抽屜中，而同一個抽屜中的任意兩個數(shù)都滿足倍數(shù)關系，所以必有一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)。從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能選出幾個數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的2倍?（方法一）直接從1開始選1，3，4，5，7，9，11，12，這樣可以選出8個數(shù)；而從2開始選2，3，5，7，8，9，11，12，這樣也是可以選出8個數(shù)．3包含在組內(nèi)，因此只用考慮這兩種情況即可．所以，在滿足題意情況下，最多可以選出8個數(shù)．（方法二）我們知道選多少個奇數(shù)均滿足，有1，3，5，7，9，11均為奇數(shù)，并且有偶數(shù)中4的倍數(shù)，但不是8的倍數(shù)的也滿足，有4，12是這樣的數(shù)．所以，在滿足題意情況下最多可以選出8個數(shù)．（全國小學數(shù)學奧林匹克初賽）從1，3，5，7，…，97，99中最多可以選出多少個數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)?（方法一）因為均是奇數(shù)，所以如果存在倍數(shù)關系，那么也一定是3、5、7等奇數(shù)倍.3×33：99，于是從35開始，1SKIPIF1<099的奇數(shù)中沒有一個是35～99的奇數(shù)倍(不包括1倍)，所以選出35，37，39，…，99這些奇數(shù)即可．共可選出33個數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)．（方法二）利用3的若干次冪與質數(shù)的乘積對這50個奇數(shù)分組．(1，3，9，27，81)，(5，15，45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)，(23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，…，(97)共33組．前11組，每組內(nèi)任意兩個數(shù)都存在倍數(shù)關系，所以每組內(nèi)最多只能選擇一個數(shù)．即最多可以選出33個數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)．1SKIPIF1<02n個自然數(shù)中，任意取出n+1個數(shù)，則其中必定有兩個數(shù)，它們一個是另一個的整數(shù)倍；從2，3．……，2n+1中任取n+2個數(shù)，必有兩個數(shù)，它們一個是另一個的整數(shù)倍；從1，2，3．……3n中任取2n+1個數(shù)，則其中必有兩個數(shù)，它們中一個是另一個的整數(shù)倍，且至少是3倍；從1，2，3，……，mn中任取(m-1)n+1個數(shù)，則其中必有兩個數(shù)，它們中一個是另一個的整數(shù)倍，且至少是m倍(m、n為正整數(shù))。甲、乙二人分別為一個正方形的SKIPIF1<0條棱涂紅、綠SKIPIF1<0種顏色。首先，甲任選SKIPIF1<0條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外SKIPIF1<0條棱并涂上綠色；接著甲將剩下的SKIPIF1<0條棱都涂上紅色。問：甲是否一定能將某一面的SKIPIF1<0條棱全部涂上紅色？如圖將SKIPIF1<0條棱按照兩兩互相異面垂直的SKIPIF1<0條棱分為一組，共分成SKIPIF1<0組：第一組：（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0）；第二組：（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0）；第三組：（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0）；第四組：（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0）。無論甲第一次將哪SKIPIF1<0條棱涂紅，由抽屜原理知SKIPIF1<0組中必有一組的SKIPIF1<0條棱全未涂紅，而乙只要將這組中的SKIPIF1<0條棱涂綠，甲就無法將某一面的SKIPIF1<0條棱全部涂紅了。在一個禮堂中有SKIPIF1<0名學生，如果他們中的每個人都與其中的SKIPIF1<0人相識，那么可能出現(xiàn)這種情況：他們中的任何SKIPIF1<0人中都一定有SKIPIF1<0人不相識（假定相識是互相的）注意到題中的說法“可能出現(xiàn)……”，說明題的結論并非是條件的必然結果，而僅僅是一種可能性，因此只需要設法構造出一種情況使之出現(xiàn)題目中所說的結論即可。將禮堂中的SKIPIF1<0人記為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、……、SKIPIF1<0；將SKIPIF1<0人分為SKIPIF1<0組：第一組：（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、……、SKIPIF1<0）；第二組：（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、……、SKIPIF1<0）；第三組：（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、……、SKIPIF1<0），將SKIPIF1<0組學生作為SKIPIF1<0個抽屜，分別記為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0；并約定SKIPIF1<0中的學生所認識的SKIPIF1<0人只在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中，同時，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中的學生所認識的SKIPIF1<0人也分別只在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中。如果出現(xiàn)這種局面，那么題目中所說情況就可能出現(xiàn)。因為禮堂中任意SKIPIF1<0人可看做SKIPIF1<0個蘋果，放入SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三個抽屜中，SKIPIF1<0，必有SKIPIF1<0人在同一抽屜，即必有SKIPIF1<0人來自同一組，那么他們認識的人只在另SKIPIF1<0組中，因此他們SKIPIF1<0人不相識。SKIPIF1<0位小朋友圍著一張圓桌坐下，在每位小朋友面前都放著一張紙條，上面分別寫著這SKIPIF1<0位小朋友的名字。開始時，每位小朋友發(fā)現(xiàn)自己面前所對的紙條上寫的都不是自己的名字，請證明：經(jīng)過適當轉動桌子，一定能使至少兩個小朋友恰好對準自己的名字。沿順時針方向轉動桌子，每次轉動一格，使每位小朋友恰好對準桌面上的字條，經(jīng)過SKIPIF1<0次轉動，一定可以使每位小朋友恰好對準自己名字的紙條一次，因為小朋友有SKIPIF1<0個，這說明至少有兩個小朋友在某次轉動恰好都對著自己的名字，結論得證。（第六屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽）8個學生解8道題目．(1)若每道題至少被5人解出，請說明可以找到兩個學生，每道題至少被這兩個學生中的一個解出．(2)如果每道題只有4個學生解出，那么(1)的結論一般不成立．試構造一個例子說明這點.(1)先設每道題被一人解出稱為一次，那么8道題目至少共解出5SKIPIF1<08=40次，分到8個學生身上，至少有一個學生解出了5次或5次以上題目，即這個學生至少解出5道題，稱這個學生為A，我們討論以下4種可能：第一種可能：若A只解出5道題，則另3道題應由其他7個人解出，而3道題至少共被解出3SKIPIF1<05=15次，分到7個學生身上，至少有一名同學解出了3次或3次以上的題目(15=2SKIPIF1<07+1，由抽屜原則便知)由于只有3道題，那么這3道題被一名學生全部解出，記這名同學為B．那么，每道題至少被A、B兩名同學中某人解出．第二種可能：若A解出6道題，則另2道題應由另7人解出，而2道題至少共被解出2×5=10次，分到7個同學身上，至少有一名同學解出2次或2次以上的題目(10=1SKIPIF1<07+3，由抽屜原則便知)．與l第一種可能I同理，這兩道題必被一名學生全部解出，記這名同學為C．那么，每道題目至少被A、C學生中一人解出．第三種可能：若A解出7道題目，則另一題必由另一人解出，記此人為D．那么，每道題目至少被A、D兩名學生中一人解出．第四種可能：若A解出8道題目，則隨意找一名學生，記為E，那么，每道題目至少被A、E兩名學生中一人解出，所以問題(1)得證．(2)類似問題(1)中的想法，題目共被解出8SKIPIF1<04=32次，可以使每名學生都解出4次，那么每人解出4道題．隨便找一名學生，必有4道未被他解出，這4道題共被7名同學解出4SKIPIF1<04=16次，由于16=2×7+2，可以使每名同學解出題目不超過3道，這樣就無法找到兩名學生，使每道題目至少被其中一人解出．具體構造如下表，其中漢字代表題號，數(shù)字代表學生，打√代表該位置對應的題目被該位置對應的學生解出．在SKIPIF1<0米的路段上植樹，問：至少要植多少棵樹，才能保證至少有兩棵樹之間的距離小于SKIPIF1<0米？如果在路段的某個端點植樹一棵，然后每隔SKIPIF1<0米植樹一棵顯然一共就植樹SKIPIF1<0棵，而這是不滿足要求有兩棵樹之間距離小于SKIPIF1<0米的。但是如果將路段分成SKIPIF1<0段，第一段長度是SKIPIF1<0米，后面SKIPIF1<0段的長度都是SKIPIF1<0米，那么把SKIPIF1<0棵樹值在這SKIPIF1<0段上，必定有SKIPIF1<0棵樹在同一段中，這兩棵樹的距離就是小于SKIPIF1<0米的，從而至少需要植樹SKIPIF1<0棵才可以滿足要求。在長度是SKIPIF1<0厘米的線段上任意取SKIPIF1<0個點，是否至少有兩個點，它們之間的距離不大于SKIPIF1<0厘米？把長度SKIPIF1<0厘米的線段SKIPIF1<0等分，那么每段線段的長度是SKIPIF1<0厘米（見下圖）．將每段線段看成是一個“抽屜”，一共有SKIPIF1<0個抽屜．現(xiàn)在將這SKIPIF1<0個點放到這SKIPIF1<0個抽屜中去．根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽屜里有兩個或兩個以上的點（包括這些線段的端點）．由于這兩個點在同一個抽屜里，它們之間的距離當然不會大于SKIPIF1<0厘米．所以，在長度是SKIPIF1<0厘米的線段上任意取SKIPIF1<0個點，至少存在兩個點，它們之間的距離不大于SKIPIF1<0厘米．四個人聚會，每人各帶了SKIPIF1<0件禮品，分贈給其余三個人中的二人，試證明：至少有兩對人，每對人是互贈過禮品的。將這四個人用SKIPIF1<0個點表示，如果兩個人之間送過禮，就在兩點之間連上一條線。由于每人送出SKIPIF1<0件禮品，共有SKIPIF1<0條線，由于四個點每兩點之間連一條線，總共也只有SKIPIF1<0條線，這說明必有兩組兩點之間連過SKIPIF1<0條線，這兩組兩點對也就是代表互贈過禮品的。證明：在任意的SKIPIF1<0個人中必有SKIPIF1<0個人，他們或者相互認識，或者相互不認識．把這SKIPIF1<0個人看作SKIPIF1<0個點，每兩點之間連一條線段，兩人相互認識的話將線段涂紅色，兩人不認識的話將線段涂上藍色，那么只需證明其中有一個同色三角形即可．從這SKIPIF1<0個點中隨意選取一點SKIPIF1<0，從SKIPIF1<0點引出的SKIPIF1<0條線段，根據(jù)抽屜原理，必有SKIPIF1<0條的顏色相同，不妨設有SKIPIF1<0條線段為紅色，它們另外一個端點分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，那么這三點中只要有兩點比如說SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的線段是紅色，那么SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0點組成紅色三角形；如果SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點之間的線段都不是紅色，那么都是藍色，這樣SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0點組成藍色三角形，也符合條件．所以結論成立．任意給SKIPIF1<0個整數(shù)，其中必定有SKIPIF1<0個數(shù)，它們的和是SKIPIF1<0的倍數(shù)。設這SKIPIF1<0個數(shù)為SKIPIF1<0，由上面的證明知道五個數(shù)SKIPIF1<0中必定有三個數(shù)的和是SKIPIF1<0的倍數(shù)，不妨設為SKIPIF1<0；同理在SKIPIF1<0中必定有三個數(shù)的和是SKIPIF1<0的倍數(shù)，不妨設SKIPIF1<0；同理在SKIPIF1<0中必定有三個數(shù)的和是SKIPIF1<0的倍數(shù)，不妨設SKIPIF1<0，又因為在SKIPIF1<0中必定有兩個數(shù)的奇偶性相同，不妨設SKIPIF1<0奇偶性相同，那么SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的倍數(shù)，即SKIPIF1<0的和是SKIPIF1<0的倍數(shù)。一課一練（希望杯真題）一個口袋里分別有紅、黃、黑球SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0個，為使取出的球中有SKIPIF1<0個同色，則至少要取小球多少個？如果要保證取到SKIPIF1<0個同色的球，至少要取SKIPIF1<0(個)。有一個布袋里面有SKIPIF1<0種不同顏色的球，每種球都有SKIPIF1<0個，問：一次至少要取出多少個小球，才能保證其中至少有SKIPIF1<0個小球的顏色相同？SKIPIF1<0種顏色看作SKIPIF1<0個抽屜，要保證一個抽屜中至少有SKIPIF1<0個蘋果，最“壞”的情況是每個抽屜里有SKIPIF1<0個“蘋果”，共有SKIPIF1<0，再取一個就能滿足要求，所以一次至少要取出SKIPIF1<0個小球，才能保證其中至少有SKIPIF1<0個小球的顏色相同。有一個布袋中有SKIPIF1<0個相同的小球，其上編上號碼SKIPIF1<0的各有SKIPIF1<0個，問：一次至少要取出多少個小球，才能保證其中至少有SKIPIF1<0個小球的號碼相同？考慮最壞的情況：每種編號的小球剛好取了SKIPIF1<0個，那么最多可以取SKIPIF1<0個小球，如果再取一個，必定就有SKIPIF1<0個小球號碼相同了，因此至少需要取出SKIPIF1<0個球才可以保證其中至少有SKIPIF1<0個小球的號碼相同。從SKIPIF1<0雙不同手套中任意拿出SKIPIF1<0只，證明必定有兩只可以成為一雙。把SKIPIF1<0雙手套看作是SKIPIF1<0個抽屜，SKIPIF1<0只手套放在SKIPIF1<0個抽屜中，必定有兩只放在同一個抽屜，所以這兩只就是可以成為一雙的?；蛘哂梅醋C法，如果沒有可以成雙的手套，那么最多只能拿出SKIPIF1<0只不同的手套，與條件矛盾，所以必定有成雙的手套。某班SKIPIF1<0名同學是在SKIPIF1<0月份出生，能否找到兩個生日是在同一天的小朋友？五月份共有SKIPIF1<0天，如果把SKIPIF1<0天看作是SKIPIF1<0個抽屜，把SKIPIF1<0個小朋友看作是SKIPIF1<0個蘋果，把SKIPIF1<0個蘋果放在SKIPIF1<0個抽屜，那么根據(jù)抽屜原理一，至少有一個抽屜里至少放了兩個蘋果，因此至少有SKIPIF1<0名同學是同一天出生的。如果要求某次聚會上不得有SKIPIF1<0個或SKIPIF1<0個以上的人屬相相同，那么參加聚會的人數(shù)最多是多少？一方面，根據(jù)抽屜原理二，如果SKIPIF1<0個人參加聚會，因為SKIPIF1<0，那么至少有SKIPIF1<0個人屬相相同，所以參加聚會的人數(shù)不得超過SKIPIF1<0人；另一方面，如果參加聚會的SKIPIF1<0個人，剛好每種屬相有SKIPIF1<0人是符合聚會要求的，所以SKIPIF1<0人參加聚會是沒有問題的。綜上所述，參加聚會的人數(shù)最多是SKIPIF1<0人。學校買來歷史、文藝、科普三種圖書若干本，每個學生從中任意借兩本，那么至少多少個學生中一定會有兩個學生所借的圖書屬于同一種？從三種圖書里面任意借兩本圖書的種類數(shù)是SKIPIF1<0，所以至少SKIPIF1<0個學生借書，可以保證至少有兩個學生所借的圖書屬于同一種。某次選拔考試，共有SKIPIF1<0名同學參加，小明說：“至少有SKIPIF1<0名同學來自同一個學?！?，如果他的說法是正確的，那么最多有多少個學校參加這次選拔考試？這道題目的難點在于不知道抽屜有多少個，如果我們采用順向思維，就需要設有SKIPIF1<0個抽屜，并且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是余數(shù)，并且大于SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以當有SKIPIF1<0個學校參加考試的時候，小明的說法就是正確的。同時如果學校數(shù)目超過SKIPIF1<0個，那么是可以使每個學校有不超過SKIPIF1<0名同學參加考試的，因此SKIPIF1<0是參加學校的最大數(shù)目。老師在黑板上出了兩道題，規(guī)定每道題做對得SKIPIF1<0分，不做得SKIPIF1<0分，做錯得SKIPIF1<0分．老師說：“可以肯定全班同學中至少有SKIPIF1<0名同學各題的得分都相同．”那么，這個班至少有多少名同學？以同學做兩道題的得分情況為“抽屜”，由于兩道題各有三種得分情況，所以共有SKIPIF1<0種得分情況，那么共有SKIPIF1<0個抽屜，學生數(shù)量即“蘋果”數(shù)為：SKIPIF1<0(人)。證明：在任意的四個自然數(shù)中，其中必有兩個數(shù)，它們的差能被SKIPIF1<0整除。這類問題屬于按照剩余類構造抽屜的問題。因為任何整數(shù)除以SKIPIF1<0，其余數(shù)只有可能是SKIPIF1<0三種情形，我們將這三種情形看作是三個“抽屜”，一個整數(shù)除以SKIPIF1<0的余數(shù)屬于哪種情形，就將這個整數(shù)歸在哪個“抽屜”里，根據(jù)抽屜原理一，把四個自然數(shù)放在三個抽屜中，至少有一個抽屜里面放了不止一個數(shù)，也就是說這兩個數(shù)除以SKIPIF1<0的余數(shù)是相同的，這兩個數(shù)的差必定能被SKIPIF1<0整除。數(shù)學興趣小組共SKIPIF1<0人，有一個同學在某一天對大家宣布一個猜想：“我們中間必定有兩個人生日處在同一個月份”，你知道他是怎么知道的嗎？因為數(shù)學興趣小組的人數(shù)超過了SKIPIF1<0個人，而一年中只有SKIPIF1<0個月份，根據(jù)抽屜原理一，他就可以得出以上結論了。某小學有SKIPIF1<0名學生，證明其中必定有兩名學生是同一天的生日。一年至多是SKIPIF1<0天，把這些不同日期看作是抽屜，將SKIPIF1<0名同學看作是物體，把SKIPIF1<0個物體放在不超過SKIPIF1<0個抽屜里面，至少有一個抽屜的物品不少于SKIPIF1<0個，也就是說這兩個物體所代表的同學就是同一天的生日。有個小朋友特別勤奮，在暑假里每天都會做奧數(shù)題，已知他一共做了SKIPIF1<0道，媽媽說假期中他過生日那天不止做了一道數(shù)學題。問他這個假期最多有多少天？根據(jù)抽屜原理，如果假期里面的每天看作是抽屜，把SKIPIF1<0道題看作是物品，因為知道每個抽屜都有物品并且某個抽屜中放的物品不少于SKIPIF1<0件，所以抽屜數(shù)一定小于SKIPIF1<0，所以抽屜數(shù)至多是SKIPIF1<0，也就是說假期最多有SKIPIF1<0天。新年晚會上，老師讓每位同學從一個裝有許多玻璃球的口袋中摸出兩個球，這些球給人的手感相同，只有紅、黃、白、藍、綠五種顏色之分（摸球時看不見顏色），結果發(fā)現(xiàn)總有SKIPIF1<0個人取出的球相同，由此可知，參加取球的至少有幾個人？取出兩個球共有多少種不同的顏色呢？如果兩種球顏色相同，那么共有SKIPIF1<0種方法數(shù)，如果兩種球顏色不同，則共有SKIPIF1<0種方法數(shù)，所以取出兩個球的方法數(shù)是SKIPIF1<0種，即有SKIPIF1<0個抽屜，根據(jù)抽屜原理可知，參加取球的至少有SKIPI