廣西防城港市防城中學2021屆高三上學期10月月考數(shù)學（理）試卷含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精廣西防城港市防城中學2021屆高三上學期10月月考數(shù)學（理）試卷含答案防城中學2020年秋季期10月高三數(shù)學（理科）月考試題一．選擇題（共12小題）1．設(shè)集合M＝{x｜x2＝x},N＝｛x|lgx≤0},則M∪N＝（)A．[0,1］ B．（0，1] C．［0，1） D．（﹣∞，1]2．若復數(shù)(i為虛數(shù)單位），則|z|＝（）A．2 B．1 C． D．3．等比數(shù)列｛an｝中，，則a4與a8的等比中項是(）A．±4 B．4 C． D．4．△ABC中,AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，則cosC＝（）A． B． C． D．5．已知向量與，則“k＝±2”是“共線且方向相反"的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．按如圖所示的程序框圖運行后,輸出的結(jié)果是63，則判斷框中的整數(shù)M的值是（）A．5 B．6 C．7 D．87．在空間中，a、b、c是三條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列命題中的真命題是（）A．若a⊥c，b⊥c，則a∥b B．若a?α，b?β，α⊥β，則a⊥b C．若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b D．若α∥β，a?α，則a∥β8．甲、乙、丙、丁四位同學站成一排照相，則甲．乙兩人中至少有一人站在兩端的概率為（）A． B． C． D．9．函數(shù)f（x）＝x?ln｜x｜的圖象可能是(）A． B． C． D．10．已知a＝30。2,b＝log64，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a11．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(）A． B． C． D．12．定義在R上的奇函數(shù)f（x)滿足f（2﹣x）＝f（x），且在［0，1）上單調(diào)遞減，若方程f（x)＝﹣1在[0，1)上有實數(shù)根，則方程f（x）＝1在區(qū)間[﹣1，11]上所有實根之和是（）A．30 B．14 C．12 D．6二．填空題（共4小題)13．在（x﹣)6的展開式中,x2的系數(shù)為．14．若x，y滿足則z＝x+2y的最大值為．15．已知函數(shù)f（x）＝ax3+x+1的圖象在點（1，f（1））處的切線過點（2，7）,則a＝．16．已知f（x）＝,若不等式f(x﹣2）≥f（x）對一切x∈R恒成立,則a的最大值為．三．解答題（共7小題)17．已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a，b，c,已知△ABC的面積為．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ)若a＝2，D為BC的中點,，求△ABC的面積．18．手機運動計步已經(jīng)成為一種新時尚．某單位統(tǒng)計了職工一天行走步數(shù)（單位：百步),繪制出如下頻率分布直方圖：（1）求直方圖中a的值,并由頻率分布直方圖估計該單位職工一天步行數(shù)的中位數(shù)；（2）若該單位有職工200人，試估計職工一天行走步數(shù)不大于13000的人數(shù)；（3）在（2)的條件下，該單位從行走步數(shù)大于15000的3組職工中用分層抽樣的方法選取6人參加遠足拉練活動，再從6人中選取2人擔任領(lǐng)隊，求這兩人均來自區(qū)間（150,170]的概率．19．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB,AC＝AB＝4，AA1＝6,點E，F(xiàn)分別為CA1與AB的中點．（1）證明：EF∥平面BCC1B1；（2）求B1F與平面AEF所成角的正弦值．20．已知橢圓C：+＝1(a＞b＞0)的離心率為，且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為2．（1）求橢圓C的方程;（2）斜率為k的動直線I與橢圓C交于A、B兩點，點S(﹣，0）在直線l上，求證無論直線l如何轉(zhuǎn)動,以AB為直徑的圓恒過點T（1，0）．21．設(shè)函數(shù)f（x)＝lnx﹣ax2+a（a∈R）．（1)討論f（x）單調(diào)性;(2）若；對于任意的x∈（1，+∞），使得f(x）＜g（x）恒成立，求a的取值范圍．22．在直角坐標系a中，點P(1，0），直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ2+8ρcosθ﹣3＝0．（Ⅰ)求圓C的直角坐標系下的標準方程;（Ⅱ）已知l與圓C交于A，B兩點，且,求l的普通方程．23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣1|+m|x+2|．（1）m＝2時,求不等式f（x）≥5的解集；（2）若函數(shù)f（x)的圖象恒在直線y＝x的圖象的上方（無公共點），求實數(shù)m的取值范圍．

防城中學2020年秋季期10月高三數(shù)學(理科)月考試題參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題)1．設(shè)集合M＝｛x｜x2＝x}，N＝{x|lgx≤0｝，則M∪N＝(）A．[0，1] B．（0,1] C．[0,1） D．（﹣∞，1]【分析】求解一元二次方程化簡M，求解對數(shù)不等式化簡N，然后利用并集運算得答案．【解答】解：由M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x｜lgx≤0}＝（0,1],得M∪N＝{0，1}∪（0，1］＝［0，1]．故選:A．【點評】本題考查了并集及其運算，考查了對數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．2．若復數(shù)(i為虛數(shù)單位），則｜z|＝（）A．2 B．1 C． D．【分析】根據(jù)復數(shù)的運算性質(zhì)計算即可．【解答】解：＝＝i,故｜z｜＝，故選：C．【點評】本題考查了復數(shù)的運算，復數(shù)求模問題，熟練掌握復數(shù)的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．等比數(shù)列{an}中，，則a4與a8的等比中項是（）A．±4 B．4 C． D．【分析】利用等比數(shù)列的通項公式可得a6．再利用a4a8＝,即可得出a4與a8的等比中項．【解答】解：∵，∴a6＝a2×q4＝×24＝4．又a4a8＝＝16．∴a4與a8的等比中項是±4．故選：A．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與性質(zhì)、等比中項，考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題．4．△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，則cosC＝(）A． B． C． D．【分析】由已知及正弦定理可得sinC＝＝，又AB＜AC,利用大邊對大角可得C為銳角，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求得cosC得值．【解答】解：∵AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，∴由正弦定理可得：sinC＝＝＝，又∵AB＜AC，C為銳角，∴cosC＝＝．故選：D．【點評】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解三角形中的應用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題．5．已知向量與，則“k＝±2”是“共線且方向相反”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】由向量共線的坐標運算可得，k＝±2，得到共線，方向相同或相反；反之，共線且方向相反,得到k＝﹣2，則k＝±2．【解答】解：由，，且共線,得k2﹣4＝0，解得k＝±2．當k＝2時，，，共線且方向相同；當k＝﹣2時，，＝，共線且方向相反．∴“k＝±2”是“共線且方向相反”的必要不充分條件．故選：B．【點評】本題考查充分必要條件的判定，考查向量共線的坐標運算，是基礎(chǔ)題．6．按如圖所示的程序框圖運行后,輸出的結(jié)果是63,則判斷框中的整數(shù)M的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由圖知，每次進入循環(huán)體后,S的值被施加的運算是乘以2加上1，由此運算規(guī)律進行計算,經(jīng)過運算后輸出的結(jié)果是63，從而得解．【解答】解:由圖知運算規(guī)則是對S＝2S+1，執(zhí)行程序框圖,可得A＝1，S＝1滿足條件A≤M,第一次進入循環(huán)體后S＝2×1+1＝3，滿足條件A≤M，第二次進入循環(huán)體后S＝2×3+1＝7,滿足條件A≤M，第三次進入循環(huán)體后S＝2×7+1＝15,滿足條件A≤M，第四次進入循環(huán)體后S＝2×15+1＝31，滿足條件A≤M，第五次進入循環(huán)體后S＝2×31+1＝63，由于A的初值為1，每進入一次循環(huán)體其值增大1，第五次進入循環(huán)體后A＝5．故判斷框中的整數(shù)M的值應為5，這樣就可保證循環(huán)體只能被運行五次．故選：A．【點評】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，已知運算規(guī)則與最后運算結(jié)果，求運算次數(shù)的一個題．是算法中一種常見的題型，屬于基礎(chǔ)題．7．在空間中，a、b、c是三條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列命題中的真命題是()A．若a⊥c，b⊥c，則a∥b B．若a?α,b?β，α⊥β,則a⊥b C．若a∥α，b∥β,α∥β,則a∥b D．若α∥β,a?α,則a∥β【分析】由空間中直線與直線的位置關(guān)系判定A；由空間中平面與平面垂直的定義及性質(zhì)判斷B；由直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)判斷C；由平面與平面、直線與平面平行的定義判斷D．【解答】解:對于A,若a⊥c，b⊥c，則a∥b或a與b相交或a與b異面，故A錯誤；對于B,若a?α，b?β，α⊥β，則a∥b或a與b相交或a與b異面,故B錯誤；對于C，若a∥α，b∥β，α∥β，則a∥b或a與b異面，故C錯誤；對于D,若α∥β，a?α,則a∥β，故D正確．故選：D．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及其應用，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．8．甲、乙、丙、丁四位同學站成一排照相，則甲．乙兩人中至少有一人站在兩端的概率為（）A． B． C． D．【分析】基本事件總數(shù)n＝，甲、乙兩人中至少有一人站在兩端包含的基本事件個數(shù)m＝＝20，由此能求出甲．乙兩人中至少有一人站在兩端的概率．【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四位同學站成一排照相，基本事件總數(shù)n＝，甲、乙兩人中至少有一人站在兩端包含的基本事件個數(shù)m＝＝20，∴甲．乙兩人中至少有一人站在兩端的概率為：P＝＝．故選：A．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．函數(shù)f（x)＝x?ln｜x|的圖象可能是（）A． B． C． D．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性排除選項，利用特殊點的位置排除選項即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x?ln|x｜是奇函數(shù)，排除選項A,C；當x＝時，y＝，對應點在x軸下方，排除B；故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的奇偶性以及特殊點的位置是判斷函數(shù)的圖象的常用方法．10．已知a＝30.2，b＝log64，c＝log32,則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】a＝30。2＞1，利用換底公式可得：b＝log64＝，c＝log32＝，由于1＜log26＜log29，即可得出大小關(guān)系．【解答】解：∵a＝30。2＞1,b＝log64＝，c＝log32＝＝，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，則a＞b＞c，故選：B．【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題．11．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＝1(a＞b＞0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上,△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為（)A． B． C． D．【分析】求得直線AP的方程：根據(jù)題意求得P點坐標，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率．【解答】解：由題意可知：A（﹣a，0），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）,直線AP的方程為：y＝（x+a)，由∠F1F2P＝120°，｜PF2|＝|F1F2|＝2c,則P（2c，c），代入直線AP：c＝(2c+a），整理得：a＝4c,∴題意的離心率e＝＝．故選：D．【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，直線方程的應用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．12．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2﹣x）＝f(x），且在[0,1）上單調(diào)遞減，若方程f（x）＝﹣1在[0,1）上有實數(shù)根，則方程f（x)＝1在區(qū)間［﹣1，11]上所有實根之和是（）A．30 B．14 C．12 D．6【分析】根據(jù)條件可得出f（x）的圖象關(guān)于x＝1對稱，f（x）的周期為4，從而可考慮f(x）的一個周期，利用[﹣1，3]，根據(jù)f（x）在[0，1）上是減函數(shù)可得出f(x)在（1，2]上是增函數(shù)，f（x）在（﹣1，0)上是減函數(shù)，在[2，3）上是增函數(shù)，然后根據(jù)f（x）＝﹣1在[0,1）上有實數(shù)根,可判斷該實數(shù)根是唯一的．并可判斷f（x）＝﹣1在一個周期[﹣1，3］內(nèi)有兩個實數(shù)根,并得這兩實數(shù)根和為2,從而得出f（x）＝﹣1在區(qū)間［﹣1，11］這三個周期內(nèi)上有6個實數(shù)根，和為30．【解答】解：由f（2﹣x）＝f（x）知函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱,∵f(2﹣x）＝f（x),f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（﹣x）＝f(x+2）＝﹣f（x)，∴f（x+4）＝f（x）,∴f（x）的周期為4,考慮f（x)的一個周期，例如[﹣1,3］，由f（x）在[0，1)上是減函數(shù)知f（x）在(1，2］上是增函數(shù)，f（x）在（﹣1，0］上是減函數(shù),f(x）在[2，3）上是增函數(shù)，對于奇函數(shù)f（x）有f（0）＝0，f（2)＝f(2﹣2)＝f（0）＝0，故當x∈(0,1)時，f（x）＜f（0）＝0,當x∈（1，2）時，f（x）＜f（2)＝0，當x∈(﹣1，0)時，f(x）＞f(0）＝0，當x∈（2，3）時，f（x）＞f（2）＝0，方程f(x）＝﹣1在［0，1）上有實數(shù)根，則這實數(shù)根是唯一的，因為f(x）在（0,1）上是單調(diào)函數(shù),則由于f（2﹣x)＝f（x）,故方程f(x）＝﹣1在（1，2)上有唯一實數(shù)，在(﹣1，0)和（2，3）上f（x)＞0,則方程f（x）＝﹣1在（﹣1,0）和(2，3）上沒有實數(shù)根，從而方程f（x）＝﹣1在一個周期內(nèi)有且僅有兩個實數(shù)根，當x∈[﹣1，3］,方程f(x）＝﹣1的兩實數(shù)根之和為x+2﹣x＝2，當x∈［﹣1，11］，方程f（x）＝﹣1的所有6個實數(shù)根之和為x+2﹣x+4+x+4+2﹣x+x+8+2﹣x+8＝2+8+2+8+2+8＝30．故選：A．【點評】本題考查了由f（2a﹣x）＝f（x)可判斷f（x）關(guān)于x＝a對稱,周期函數(shù)的定義，增函數(shù)和減函數(shù)的定義，考查了計算和推理能力，屬于難題．二．填空題（共4小題）13．在（x﹣）6的展開式中,x2的系數(shù)為．【分析】在二項展開式的通項公式中,令x的冪指數(shù)等于2，求出r的值，即可求得x2的系數(shù)．【解答】解：（x﹣）6的展開式的通項公式為Tr+1＝?（x)6﹣r?（﹣）r＝(﹣）r??x6﹣2r，令6﹣2r＝2,解得r＝2，∴展開式中x2的系數(shù)為×＝，故答案為：．【點評】本題主要考查二項式定理的應用,二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．14．若x,y滿足則z＝x+2y的最大值為2．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，由直線方程可知，要使z最大，則直線在y軸上的截距最大，結(jié)合可行域可知當直線z＝x+2y過點B時z最大，求出B的坐標,代入z＝x+2y得答案．【解答】解：由足約束條件作出可行域如圖,由z＝x+2y，得y＝﹣+．要使z最大,則直線y＝﹣+的截距最大,由圖可知，當直線y＝﹣+．過點A時截距最大．聯(lián)立，解得，∴A(0，1），∴z＝x+2y的最大值為0+2×1＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，解答的關(guān)鍵是正確作出可行域,是中檔題．15．已知函數(shù)f（x）＝ax3+x+1的圖象在點（1,f（1））處的切線過點（2，7），則a＝1．【分析】求出函數(shù)的導數(shù),利用切線的方程經(jīng)過的點求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝ax3+x+1的導數(shù)為:f′(x）＝3ax2+1，f′（1)＝3a+1，而f（1)＝a+2，切線方程為：y﹣a﹣2＝（3a+1)（x﹣1)，因為切線方程經(jīng)過（2，7），所以7﹣a﹣2＝（3a+1）（2﹣1），解得a＝1．故答案為：1．【點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用,切線方程的求法，考查計算能力．16．已知f（x）＝，若不等式f（x﹣2）≥f(x）對一切x∈R恒成立，則a的最大值為﹣．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式，分別討論x的取值范圍，利用參數(shù)分離法求出a的范圍即可得到結(jié)論．【解答】解:∵不等式f（x﹣2）≥f（x)對一切x∈R恒成立，∴若x≤0，則x﹣2≤﹣2．則不等式f(x﹣2）≥f(x）等價為,﹣2（x﹣2）≥﹣2x，即4≥0,此時不等式恒成立,若0＜x≤2，則x﹣2≤0,則不等式f（x﹣2）≥f(x）等價為，﹣2（x﹣2)≥ax2+x，即ax2≤4﹣3x，則a≤＝﹣,設(shè)h（x)＝﹣＝4(﹣)2﹣，∵0＜x≤2，∴≥，則h（x）≥﹣,∴此時a≤﹣,若x＞2，則x﹣2＞0,則f（x﹣2)≥f（x）等價為，a(x﹣2)2+(x﹣2)≥ax2+x,即4a（1﹣x）≥2，∵x＞2，∴﹣x＜﹣2，1﹣x＜﹣1，則不等式等價，4a≤＝﹣即2a≤﹣則g（x）＝﹣在x＞2時，為增函數(shù)，∴g（x）＞g（2）＝﹣1,即2a≤﹣1,則a≤﹣,故a的最大值為﹣，方法2：作出函數(shù)f（x）和f（x﹣2）的圖象，當a≥0時，f（x﹣2)≥f（x）對一切x∈R不恒成立,當a＜0時，f(x)＝﹣2x，x≤0，f（x﹣2)＝﹣2（x﹣2），則f（x﹣2過定點（2，0)，當x＞0時，f（x）＝ax2+x的兩個零點為x＝0和x＝﹣，要使不等式f（x﹣2）≥f（x）對一切x∈R恒成立，則只需要﹣≤2，得a≤﹣，即a的最大值為﹣,故答案為:﹣【點評】本題主要考查不等式恒成立問題，利用分類討論的數(shù)學思想，結(jié)合參數(shù)分離法進行求解即可．三．解答題（共7小題）17．已知△ABC的內(nèi)角A,B，C所對的邊分別為a，b，c,已知△ABC的面積為．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ)若a＝2，D為BC的中點，,求△ABC的面積．【分析】（Ⅰ）由已知及三角形的面積公式可得，,結(jié)合正余弦定理進行化簡可求A(Ⅱ）由∠ADB+∠ADC＝π，可得cos∠ADC+cos∠ADB＝0，然后結(jié)合余弦定理可求bc，然后代入三角形的面積公式可求．【解答】解：（Ⅰ）依題意得，，由正弦定理得，abc＝a（b2+c2﹣a2)，即bc＝b2+c2﹣a2，由余弦定理得，，又因為A∈（0，π），所以．（6分)（Ⅱ）∵∠ADB+∠ADC＝π，∴cos∠ADC+cos∠ADB＝0，∴,∴,又b2+c2﹣2bccosA＝a2,b2+c2﹣bc＝4，∴,∴．（12分)【點評】本題主要考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面積公式等知識的綜合應用．18．手機運動計步已經(jīng)成為一種新時尚．某單位統(tǒng)計了職工一天行走步數(shù)(單位：百步),繪制出如下頻率分布直方圖：（1)求直方圖中a的值,并由頻率分布直方圖估計該單位職工一天步行數(shù)的中位數(shù)；（2）若該單位有職工200人,試估計職工一天行走步數(shù)不大于13000的人數(shù)；（3)在（2)的條件下，該單位從行走步數(shù)大于15000的3組職工中用分層抽樣的方法選取6人參加遠足拉練活動,再從6人中選取2人擔任領(lǐng)隊，求這兩人均來自區(qū)間(150，170]的概率．【分析】（1）由頻率和為1，列方程求出a的值,再利用中位數(shù)兩邊頻率相等，求出中位數(shù)的值；（2）由頻率×樣本容量求出對應的頻數(shù)即可；(3)根據(jù)分層抽樣原理抽取6人,利用列舉法求出基本事件數(shù),計算所求的概率值．【解答】解:（1)由題意，得0.002×20+0.006×20+0.008×20+a×20+0。010×20+0。008×20+0。002×20+0。002×20＝1，解得a＝0。012；設(shè)中位數(shù)為110+x，則0.002×20+0。006×20+0.008×20+0。012x＝0。5，解得x＝15，所以中位數(shù)是125；(2)由200×（0。002×20+0.006×20+0。008×20+0.012×20）＝112，所以估計職工一天步行數(shù)不大于13000步的人數(shù)為112人；（3）在區(qū)間(150，170］中有200×0。008×20＝32人，在區(qū)間（170，190］中有200×0.002×20＝8人，在區(qū)間（190，210]中有200×0.002×20＝8人，按分層抽樣抽取6人，則從（150，170］中抽取4人,(170,190]中抽取1人,（190，210]中抽取1人；設(shè)從（150，170］中抽取職工為a、b、c、d,從（170，190］中抽取職工為E，從(190，210］中抽取職工為F,則從6人中抽取2人的情況有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15種情況，它們是等可能的，其中滿足兩人均來自區(qū)間（150,170]的有ab、ac、ad、bc、bd、cd共有6種情況,所以P＝＝；所以兩人均來自區(qū)間（150，170］的概率為．【點評】本題考查了頻率分布直方圖與古典概型的概率計算問題，是基礎(chǔ)題．19．如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC⊥AB，AC＝AB＝4，AA1＝6，點E，F(xiàn)分別為CA1與AB的中點．（1）證明：EF∥平面BCC1B1；(2)求B1F與平面AEF所成角的正弦值．【分析】(1）連結(jié)AC1，BC1，推導出EF∥BC1，由此能證明EF∥平面BCC1B1．（2）以A1為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出B1F與平面AEF所成角的正弦值．【解答】解:（1）證明：如圖，連結(jié)AC1，BC1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴E為AC1的中點,∵F為AB的中點，∴EF∥BC1，∵EF?平面BCC1B1，BC1?BCC1B1，∴EF∥平面BCC1B1；（2）解:以A1為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0，0，6),B1（0，4,0)，E（2，0，3），F(xiàn)（0，2，6），∴＝（0，﹣2，6），＝（2，0，﹣3)，＝（0,2，0），設(shè)平面AEF的法向量＝（x，y，z），則，取x＝3，得＝（3,0,2），設(shè)B1F與平面AEF所成角為θ，則B1F與平面AEF所成角的正弦值為：sinθ＝＝．【點評】本題考查線面平行的證明,考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力,是中檔題．20．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的離心率為，且橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為2．（1）求橢圓C的方程；（2）斜率為k的動直線I與橢圓C交于A、B兩點,點S(﹣,0)在直線l上，求證無論直線l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過點T（1,0)．【分析】（1）根據(jù)題意，列式即可得a＝，c＝1，根據(jù)b2＝a2﹣c2＝1,進而解得橢圓方程；（2）根據(jù)題意，可得直線l的方程為:y＝k（x+），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，通過?＝0，進而證明無論直線l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過點T（1，0)．【解答】解：（1）由題可知，解得，∵b2＝a2﹣c2＝1，∴橢圓C的方程為：+x2＝1．(2）證明：由題，直線l的方程為：y＝k（x+），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則代入橢圓方程+x2＝1，整理得（k2+2)x2+k2x+＝0．∵點S（﹣,0)在橢圓內(nèi),此方程必有兩個實根，,∴?＝（x1﹣1,y1)?(x2﹣1，y2）＝（x1﹣1）(x2﹣1）+k（x1+）?k(x2+）＝(k2+1）x1x2+（k2﹣3）（x1+x2）+（k2+9）＝［（k2+1）(k2﹣18）﹣2k2（k2﹣3）+（k2+9)(k2+2）]＝0,∴⊥，∴以AB為直徑的圓恒過點T（1，0）．【點評】本題主要考查直線與橢圓的綜合應用,向量法與橢圓的結(jié)合應用,考查學生轉(zhuǎn)化的思想與計算能力,屬于綜合題．21．設(shè)函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax2+a（a∈R）．（1）討論f（x)單調(diào)性;（2）若;對于任意的x∈（1,+∞），使得f（x）＜g(x）恒成立，求a的取值范圍．【分析】（1）求導，分a≤0及a＞0兩種情況討論即可；（2)構(gòu)造函數(shù)，依題意，h(x）＞0在x∈(1，+∞)恒成立,求導利用導數(shù)轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）,，當a≤0時，1﹣2ax2＞0，f′(x）＞0，故f(x)在（0,+∞）上遞增，當a＞0時，令f′（x)＝0，解得，易知，當時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當時，f′（x)＜0,f（x）單調(diào)遞減；（2）f（x）＜g（x）恒成立，即恒成立,即恒成立，令，則，∵h(1）＝0，h(x）的定義域為（1，+∞），若h′（1）＜0，則必存在x0∈(1，+∞）,使得h（x0）＜h（1）＝0，不合題意，∴必須h′(1）＝2a﹣1≥0,解得，,令，，∴k（x）在（1,+∞)遞增,∴k(x)＞k（1）＝0，故h（x)＞0滿足題意，∴實數(shù)a的取值范圍為．【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及不