世紀金榜2022屆高考數(shù)學(xué)（理科全國）一輪總復(fù)習(xí)課件第五章數(shù)列55

本文格式為Word版，下載可任意編輯——世紀金榜2022屆高考數(shù)學(xué)（理科全國）一輪總復(fù)習(xí)課件第五章數(shù)列55第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用,考向一等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題(2022·濟南模擬)已知{an}是等差數(shù)列,得志a1=3,a4=12,數(shù)列{bn}得志b1=4,b4=20,且{bn-an}是等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式.(2)求數(shù)列{bn}的前n項和.,先求出數(shù)列{an}的公差,再求出數(shù)列{bn-an}的公比,求出bn-an后,再求{bn}的通項公式及前n項和.,(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題意得所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).設(shè)等比數(shù)列{bn-an}的公比為q,由題意得q3==8,解得q=2.所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.從而bn=3n+2n-1(n=1,2,…).,(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1,2,…).數(shù)列{3n}的前n項和為n(n+1),數(shù)列{2n-1}的前n項和為所以,數(shù)列{bn}的前n項和為n(n+1)+2n-1.,1.若本例題條件“{bn-an}是等比數(shù)列”變?yōu)椤皗bn-an}是等差數(shù)列”,其他條件不變,求數(shù)列{bn}的通項公式.,設(shè)等差數(shù)列{bn-an}的公差為d2,由題意得3d2=(b4-a4)-(b1-a1)=(20-12)-(4-3)=7,解得d2=.所以bn-an=(b1-a1)+(n-1)d2從而(n=1,2,…).,2.若本例題條件“b1=4,b4=20,且{bn-an}是等比數(shù)列”變?yōu)椤癮n+2an-1=”,求數(shù)列{bn}的通項公式.由典例解析知an=3n,所以an+2an-1=3n+2·3(n-1)=9n-6,即=9n-6,因此bn=81n2-108n+35.,等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標,確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題,如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差(公比)等,確定解題的依次.,(2)留神細節(jié).在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中,假設(shè)等比數(shù)列的公比不能確定,那么要看其是否有等于1的可能,在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等,這些細節(jié)對解題的影響也是巨大的.指點:在不能使用同一公式舉行計算的處境下要留神分類議論,分類解決問題后還要留神結(jié)論的整合.,(2022·天津模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差和首項都不等于0,且a2,a4,a8成等比數(shù)列,那么=()A.2B.3C.5D.6,選B.由于a2,a4,a8成等比數(shù)列,所以=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),所以a1=d,所以,1.等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列,那么公比q為()A.-2B.1C.-2或1D.2或-1,選A.當q=1時,Sn+1=(n+1)a1,Sn=na1,Sn+2=(n+2)a1,不得志Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列,故q≠1,2Sn=Sn+1+Sn+2??q2+q-2=0?q=-2.,2.(2022·泰安模擬)已知數(shù)列{an}是公差大于零的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式.(2)設(shè)cn=anan+1,求數(shù)列的前n項和Tn.,(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d0),數(shù)列{bn}的公比為q,由已知得:解得或,由于d0,所以d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2×2n-1=2n,即an=2n-1(n∈N*),bn=2n(n∈N*).,(2)由于cn=anan+1=(2n-1)(2n+1),所以,考向二數(shù)列中的圖表問題(1)(2022·德州模擬)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:,12345678910……………按照以上排列的規(guī)律,第n行(n≥3)從左向右的第3個數(shù)為________.,(2)(2022·太原模擬)下表是一個由正數(shù)組成的數(shù)表,數(shù)表中各行依次成等差數(shù)列,各列依次成等比數(shù)列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.,求數(shù)列{an,2}的通項公式.(1)求出第n行(n≥3)從左向右的第3個數(shù)為原數(shù)列的第幾項,再求解.(2)構(gòu)造方程組求出等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比.,(1)由表知前n-1行共有1+2+3+…+(n-1)=項,故第n行(n≥3)從左向右第3個數(shù)為原數(shù)列的第項,即答案:,(2)設(shè)第一行組成的等差數(shù)列的公差是d,各列依次組成的等比數(shù)列的公比是q(q0),那么a2,3=qa1,3=q(1+2d)?q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)?q2(1+d)=8,解得d=1,q=2.a1,2=2?an,2=2×2n-1=2n.,數(shù)列中常見的圖表問題及解題關(guān)鍵(1)分組型:數(shù)列的通項公式已知,將其按照確定的規(guī)矩排列而成.解決這類問題的關(guān)鍵是找出圖表或數(shù)陣中的項在原數(shù)列中的位置.,(2)混排型:圖表或數(shù)陣中的行與列分別對應(yīng)不同的數(shù)列.解決這類問題的關(guān)鍵是找出各個數(shù)列,將所求問題所在行或列的根本量求出.,(3)遞推公式型:圖表或數(shù)陣是按某種遞推關(guān)系得到的,解決這類問題的關(guān)鍵是求出遞推公式,再由遞推公式求出通項公式.,(2022·青島模擬)下面給出了一個三角形數(shù)陣,已知每一列的數(shù)成等差數(shù)列,從第3行起,每一行的數(shù)成等比數(shù)列,每一行的公比都相等.記第i行第j列數(shù)為aij(i,j∈N*),那么a43=______.,由題意,第一列公差所以由第3行得公比q=,所以答案:,1.(2022·北京模擬)已知an=()n,把數(shù)列{an}的各項排列成如下的三角形外形.,a1a2a3a4a5a6a7a8a9………記A(m,n)表示第m行的第n個數(shù),那么A(10,12)=(),選A.由題意知,前9行共有1+3+5+…+17==81個數(shù),因此,第10行的第1個數(shù)是a82,第12個數(shù)是a93,又由于an=()n,所以A(10,12)=a93=()93.,2.(2022·合肥模擬)正整數(shù)按以下方法分組:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,記第n組中各數(shù)之和為An;由自然數(shù)的立方構(gòu)成以下數(shù)組:{03,13},{13,23},{23,33},{33,43},…,記第n組中后一個數(shù)與前一個數(shù)的差為Bn,那么An+Bn=______.,由題意知,前n組共有1+3+5+…+(2n-1)=n2個數(shù),所以第n-1組的結(jié)果一個數(shù)為(n-1)2,第n組的第一個數(shù)為(n-1)2+1,第n組共有2n-1個數(shù),所以根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式可得,=[(n-1)2+n](2n-1),而Bn=n3-(n-1)3,所以An+Bn=2n3.答案:2n3,3.(2022·保定模擬)將數(shù)列{an}中的全體項按每一行比上一行多一項的規(guī)矩排成如下數(shù)表:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10……,記表中的第一列數(shù)a1,a2,a4,a7,…構(gòu)成的數(shù)列為{bn},b1=a1=1.Sn為數(shù)列{bn}的前n項和,且得志=1(n≥2).,(1)證明數(shù)列成等差數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式.(2)上表中,若從第三行起,每一行中的數(shù)按從左到右的依次均構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為同一個正數(shù).當a81=時,求上表中第k(k≥3)行全體項的和.,(1)由已知,當n≥2時,=1,又Sn=b1+b2+…+bn,所以即所以又S1=b1=a1=1,,所以數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,由上可知即Sn=,所以當n≥2時,bn=Sn-Sn-1=因此,bn=,(2)設(shè)表中從第三行起,每行的公比都為q,且q0.由于1+2+…+12==78,所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列{an}的前78項,故a81在表中第13行第三列,因此a81=b13·q2=.,又b13=,所以q=2.記表中第k(k≥3)行全體項的和為S,那么,考向三數(shù)列的實際應(yīng)用問題(2022·日照模擬)某大學(xué)張教授年初向銀行貸款2萬元用于購車,銀行貸款的年利息為10%,按復(fù)利計算(即本年的利息計入次年的本金生息).若這筆款要分10年等額還清,每年年初還一次,并且以貸款后次年年初開頭歸還,問每年應(yīng)還多少元?,10次還款連同利息之和等于本金10年后的本息.,設(shè)每年還款x元,需10年還清,那么各年還款利息處境如下:第10年付款x元,這次還款后欠款全部還清;第9年付款x元,過1年欠款全部還清時,所付款連同利息之和為x(1+10%)元;,第8年付款x元,過2年欠款全部還清時,所付款連同利息之和為x(1+10%)2元;…第1年付款x元,過9年欠款全部還清時,所付款連同利息之和為x(1+10%)9元.10年后應(yīng)還款總數(shù)為20000(1+10%)10.,依題意得:x+x(1+10%)+x(1+10%)2+…+x(1+10%)9=20000(1+10%)10,解得x=≈3255(元).答:每年應(yīng)還3255元.,第1次還款x元之后欠銀行20000(1+10%)-x=20000×1.1-x,第2次還款x元后欠銀行[20000(1+10%)-x](1+10%)-x=20000×1.12-1.1x-x,…,第10次還款x元后,還欠銀行20000×1.110-1.19x-1.18x-…-x,依題意得,第10次還款后,欠款全部還清,故可得20000×1.110-(1.19+1.18+…+1)x=0,解得x=≈3255(元).答:每年應(yīng)還3255元.,解答數(shù)列實際應(yīng)用問題的步驟(1)確定模型類型:理解題意,看是哪類數(shù)列模型,一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡樸的遞推數(shù)列模型.根本特征見下表:,(2)切實解決模型:解模就是根據(jù)數(shù)列的學(xué)識,求數(shù)列的通項、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等,在解模時要留神運算切實.(3)給出問題的回復(fù):實際應(yīng)用問題結(jié)果要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對實際問題的答案,在解題中不要忽略了這點.,易錯指點:解決數(shù)列應(yīng)用問題,要明確問題屬于哪一種類型,即明確是等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題,是求an還是Sn,更加是要弄清項數(shù).,某市2022年新建住房400萬平方米,其中有250萬平方米是中低價房,預(yù)計在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么,到哪一年底,,(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2022年為累計的第一年)將首次不少于4750萬平方米?(2)當年建立的中低價房的面積占該年建立住房面積