15高中數(shù)學(xué)教材中的經(jīng)典問題與變式(第三輯)高中數(shù)學(xué)教材中的經(jīng)典問題與變式(15)概率與統(tǒng)計(jì)

高數(shù)教中經(jīng)問與式（15概與計(jì)類1獨(dú)事件時(shí)生概人教A選2-3第頁4）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8，這名射手在次擊中，（1）恰有8次中目標(biāo)的概率）至少有8次中目標(biāo)的概率？變1某人參加一次考試，４道題中解對３道則為及格，已知他的解題正確率為0.4，他能及格的概率為．【解析能格則要解對４道題中解對３道或４道：解對３道的概率為：

()34

，解對道的概率為：

()0.44

4

，且A與B互，他能及格的概率為

()C30.4340.44

4

．變2設(shè)甲已、丙三人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為0.7、0.6和。（）三人各向目標(biāo)射擊一次，求至少有一人命中目標(biāo)的概率及恰有兩人命中目標(biāo)的概率；（）若單獨(dú)向目標(biāo)射擊三次求他恰好命中兩次的概率．【解析）設(shè)A表“第k人中目標(biāo)，，3.這里，，，獨(dú)，且P（）=0.7，（A）=0.6，（A）=0.5.從而，至少有一人命中目標(biāo)的概率為()(A)A)PA)0.9413恰有兩人命中目標(biāo)的概率為(A2321()(A(A)232(P(A)P(A)(PA)P()(AP(A)()12310.50.70.50.44答：至少有一人命中目標(biāo)的概率為0.94恰有兩人命中目標(biāo)的概率為0.44．（II）設(shè)甲每次射擊為一次試驗(yàn)從而該問題構(gòu)成三次重復(fù)獨(dú)立試.又已知在每次試驗(yàn)中事件“命中目標(biāo)”發(fā)生的概率為0.7，故所求率為P3

23

2

(0.3)

答：他恰好命中兩次的概率為0.441.變：2004年雅典奧運(yùn)會中，中國女排與俄羅斯女排“五局三勝”制進(jìn)行決賽，根據(jù)以往戰(zhàn)況，中國女排在每一局贏的概率為

35

,

已知比賽中，俄羅斯女排先勝了每一局，求：(1)中國女排在這種情況下取勝的概率；

32(2)求本場比賽只打四局就結(jié)束的概率分?jǐn)?shù)作答）32【解析】(1)中國女排取勝的情況有兩種，第一種是中國女排連勝三局，第二種是在第2局第局中國女排贏了兩局，第5局國女排贏，∴中國女排取勝的概率為

3()5

3)5

2297.55(2)

2)25

3351)5125變：一質(zhì)地不勻的硬幣拋擲次,面向上恰為次可性不為0,而且與面向上恰為次的概率相同令約分?jǐn)?shù)

ij

為硬幣在5次擲中有3次面上的概,求

ij

.【解析】設(shè)正面向上的概率為P,依題:

C

15

25

2

,1-P=2P,解得:

13

,硬幣在5次擲中有3次面上的概率:

C35

35

1403243

.類2離型隨變的值方人教A版修第77頁例4隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上一面的點(diǎn)數(shù)

X

的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。變：某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率為

.8

，現(xiàn)在連續(xù)射擊４次，求擊中目標(biāo)的次ξ的概率分布．【解析】擊中目標(biāo)的次數(shù)ξ可能為01，，，。當(dāng)時(shí)

4

4

，當(dāng)ξ=1時(shí)，

4

3

，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)

4440.8，4

2

，當(dāng)ξ=3時(shí)，

4

1

，所以ξ的分布列為：ξ

0

1

2

3

4P

C00.24

4

C10.84

3

C224

2

C334

1

44

4變2：袋中有２個(gè)大小規(guī)格相同的球，其中含有２個(gè)紅球，從中任?。硞€(gè)球，求取出的３個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)ξ的率分布．【解析】的有可能的取值為：，1，2．當(dāng)時(shí)

P

CC

，當(dāng)ξ=1時(shí)

P

CCC

，當(dāng)時(shí)

P

C1C

，

10ξ10P

0CC

1CCC

2CC評述：

C12C++C3C12

=

120220

．變3從名生和2名女中任選3人參演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量示選3人女生的人.（）分列）求數(shù)學(xué)期望求“所選3人中女生人數(shù)的概率【解析）

可能取的值為0，，。

P

)

C

4C

,0,2

．所以，分列為

012P

15

35

15（）（的學(xué)期望為

0

1155（）（人女生人數(shù)

”的概率為P(0)

．變：、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的0道試中，甲能答對其中的6題乙能答對其中的8題規(guī)每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題行測試，至少答對2題才合格.（Ⅰ）求甲答對試題ξ的率分布及數(shù)學(xué)期望）甲、乙兩人至少有一人考試合格的.【解析）題意，甲答對試題ξ的率布如下：ξ

0123P

130

12

16甲答對試題數(shù)的學(xué)期望E=0

319+1×+2×+3×=.1025（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為、，則P(A)=

C13C

202CC14==，P(B)=82==.315因?yàn)槭录嗀、B相獨(dú)立，方法一：∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為

221422)(1－)=.P(A)=P()P()=1－15∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為P=1－P(答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.

A

)=1－

=.方法二：∴甲、乙兩人至少有一個(gè)考試合格的概率為P=P(A·

)+P(

A

·B)+P(A·B)=P(A)P(

B

)+P(

A

)P(B)+P(A)P(B)=

114214×+×+×=.：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.15151545類3正分布其質(zhì)人教A版修第86頁B組）若

，求

。變1隨機(jī)量ξ服正態(tài)分布N（0，1果（），（－1<<0）.【解析】∵～N（0，（－ξ）=P（ξ）=（）－（0）－變：投資者在兩個(gè)投資方案中選擇一個(gè)，這兩個(gè)資方案的利潤（萬元）分別服從正態(tài)分布（，

2

）和N（，資要求利潤超過萬的概率盡量地大，那他應(yīng)選擇哪一個(gè)方2【解析】對第一個(gè)方案，有x～N，3是（x>5）=1（≤5）－F）=1（

53

）=1－（）=1－［－（）]=Φ（）對第二個(gè)方案，有x～N（62是（>5－（≤5－F5－（0.5）（）=0.6915.相比之下，“利潤超過5萬元的概率以第一個(gè)方案為好，可選第一個(gè)方.

52

）－－變3：某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中全體參賽學(xué)生的競賽績近似服從正態(tài)分布分以上（含分）的學(xué)生有名

N在（Ⅰ）試問此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少人？（Ⅱ）若該校計(jì)劃獎勵競賽成績排在前名的學(xué)生，問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可查的部）準(zhǔn)態(tài)布

0

0

0

91.21.31.4

0.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90490.90660.90820.90990.91310.91470.91620.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.9306

1.92.02.1

0.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.9854【解析小主要考查正態(tài)分布，對獨(dú)立事件的概念和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查閱，考查運(yùn)用概率計(jì)知識解決實(shí)際問題的能力．【解答）參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為為N(70，100)，由條件知，P(＝－（）1F(90)－

(

907010

)＝－(2)＝1＝0.228.這說明成績在分以上（含分）的學(xué)生人數(shù)占全體參賽人數(shù)的2.28％，因此，參賽總?cè)藬?shù)約為

120.0228

（（Ⅱ）假定設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線為分則P(

x＝1－（

<）＝1－x)－

(

x7050)＝＝0.095110526即

(

x7010

)

＝0.9049，查表得≈1.31，得＝10故設(shè)獎得分?jǐn)?shù)線約為83.1分類4相性檢和歸析教版修2-3第100頁例一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)列于表中，試建立與之的回歸方程。

和溫度有現(xiàn)集了7組測數(shù)據(jù)溫度

x/

23252732

產(chǎn)卵數(shù)

y

個(gè)

2124325變1了對2006年佛山市中考成績進(jìn)行分析60分上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽出8位的數(shù)(已折算為百分制)、物理、化學(xué)分對應(yīng)如下表，學(xué)生編號數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x物理分?jǐn)?shù)y化學(xué)分?jǐn)?shù)z

1607267

2657772

3708076

4758480

5808884

6859087

7909390

8959592

888888356101(1)若定85分(包括85分以為優(yōu)秀，求這位同中數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率；(2)用量y與、的關(guān)系數(shù)說明物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度；888888356101(3)求y與、的線性回歸方程（系數(shù)精確到用關(guān)指數(shù)比較所求回歸型的效.參考數(shù)據(jù)：x

，，z

，

xxi

2

1050，

()i

2

456，i

i

(z)i

550，

i

yi

，

x

i

x)()i

，

(

i

i

)，i

i

i

i

i

i

2

94105032.4,456550.i解答：由表可以看出，所選出的8位學(xué)中，數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的人數(shù)是3人其概率是

.

…………………

分(2)變y與、與的關(guān)系數(shù)分別是r

32.421.4

、r

75523.5

0.99.

…………

分可以看出，物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的成績都是高度正相.

…………

分(3)設(shè)y與、的線性回歸方程分別是

、