2023屆江蘇省南通市區(qū)啟東市通州區(qū)高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023屆江蘇省南通市區(qū)、啟東市、通州區(qū)高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡集合A、B，再利用交集定義即可求得.【詳解】，，則故選：C.2．（????）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)乘法規(guī)則即可求得該式的值.【詳解】，故選：D.3．已知向量，若，則（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量線性運算的坐標(biāo)表示和向量模的坐標(biāo)表示，列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】由，可得，又，則，即，解之得故選：A.4．已知一個正四棱臺形油槽可以裝煤油，若它的上?下底面邊長分別為和，則它的深度約為（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出深度，利用棱臺的體積計算公式即可求解.【詳解】設(shè)深度為，由棱臺的體積計算公式可得：，解得：，故選：B.5．南通地鐵1號線從文峰站到南通大學(xué)站共有6個站點，甲?乙二人同時從文峰站上車，準(zhǔn)備在世紀(jì)大道站?圖書館站和南通大學(xué)站中的某個站點下車，若他們在這3個站點中的某個站點下車是等可能的，則甲?乙二人在不同站點下車的概率為（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出兩人在相同站點下的概率，然后可得答案.【詳解】兩人在相同站點下的概率為：，所以甲?乙二人在不同站點下車的概率為，故選：C.6．已知定義在R上的函數(shù)的圖象連續(xù)不間斷，有下列四個命題：甲：是奇函數(shù)；乙：的圖象關(guān)于點對稱；丙；如果有且僅有一個假命題，則該命題是（????）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】先假設(shè)四個命題全正確，再利用這些條件推出矛盾，進(jìn)而得到唯一的假命題.【詳解】甲正確時，；乙正確時，則，則周期，則由，，可得，則，故丙正確；丁正確時，則的周期為6，這與上面得到的周期互相矛盾.由四個命題有且僅有一個假命題，則丁錯.故選：D.7．已知雙曲線的右焦點為，過點作一條漸近線的垂線，垂足為，若的重心在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】依次求出點、的坐標(biāo)，然后由點在雙曲線上可建立方程求解.【詳解】不妨設(shè)在，令，則有，解得，所以，，因為點在雙曲線上，所以，解得，故選：B.8．已知，則的大小關(guān)系為（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用作差法結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)分析判斷即可.【詳解】解：，∵∴故選：C.二、多選題9．下列說法正確的是（????）A．?dāng)?shù)據(jù)的眾數(shù)和第60百分位數(shù)都為5B．樣本相關(guān)系數(shù)越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強C．若隨機變量服從二項分布，則方差D．若隨機變量服從正態(tài)分布，則【答案】AC【分析】利用眾數(shù)和第60百分位數(shù)的定義判斷A，利用相關(guān)系數(shù)的意義判斷B，利用方差的性質(zhì)判斷C，利用正態(tài)曲線的性質(zhì)判斷D即可求解.【詳解】數(shù)據(jù)中的眾數(shù)為，第6個數(shù)據(jù)為，選項A正確；越大成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強，選項B錯誤；，選項C正確；，選項D錯誤，故選：AC10．已知函數(shù)的最小正周期為，則（????）A．B．點是圖象的一個對稱中心C．在上單調(diào)遞減D．將的圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得到的圖象【答案】AB【分析】將化簡，由其周期求得，判斷A;將代入解析式驗證，判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)圖象的平移變換判斷D.【詳解】由題意知,A正確.，故關(guān)于對稱，B正確.令，則，當(dāng)時，，令，則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，故在上不單調(diào)遞減，C錯誤；將的圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到的圖象,而，D錯，故選：11．過直線上一點作圓的切線,切點分別為,則（????）A．若直線,則B．的最小值為C．直線過定點D．線段的中點的軌跡長度為【答案】BC【分析】根據(jù)題意設(shè)出點坐標(biāo),求出直線方程,若,則,斜率相等,進(jìn)而求出直線方程,進(jìn)而求出弦長即可;根據(jù)直線方程,求出定點即可;由進(jìn)而轉(zhuǎn)化為與的關(guān)系,即圓心到直線的距離與半徑的比值的最值,根據(jù)直線過的定點即可得出選項B正誤;由定點,弦中點,圓心所形成的角為直角,即可判斷線段的中點的軌跡,進(jìn)而求出長度即可.【詳解】解:由題知,設(shè),因為過點作圓的切線,切點分別為,所以在以為直徑的圓上,即在上,因為是切點,所以在上,故是兩圓的交點,故兩圓方程相減可得所在的直線方程,化簡可得,因為在上,所以,故直線;關(guān)于選項A,若,則,解得:所以,故圓心到的距離所以故選項A錯誤;由,即,聯(lián)立,解得:,所以過定點故選項C正確;因為所以由于過定點所以到距離記中點為,則,,故選項B正確;因為為線段的中點,且在上,所以,所以點軌跡為以為直徑的圓,所以周長為故選項D錯誤.故選:BC12．已知在三棱錐中，，，，，設(shè)二面角的大小為，是的中點，當(dāng)變化時，下列說法正確的是（????）A．存在，使得B．存在，使得平面C．點在某個球面上運動D．當(dāng)時，三棱錐外接球的體積為【答案】ACD【分析】取、中點、，連接，，，，，即可得到即為二面角，求出線段、、、、的長度，假設(shè)，求出的值，即可判斷A，假設(shè)平面，即可得到，推出矛盾，即可判斷B，由為定值，即可判斷C，結(jié)合A可得，即可求出三棱錐外接球的半徑，從而求出體積，即可判斷D.【詳解】解：對于A：取、中點、，連接，，，，，因為，所以，又，，所以，所以即為二面角的平面角，又，，所以，所以，則，，若，又，，平面，則平面，因為平面，所以，所以，則，即，即，故A正確；對于B：若平面，平面，則，又，，平面，所以平面，平面，，在中與矛盾，故B錯誤；對于C：，在半徑為的球面上，故C正確；對于D，當(dāng)時，，所以，為三棱錐外接球的球心，外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的體積，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．的展開式中項的系數(shù)是__________.【答案】【分析】根據(jù)二項式的特點，先將分解，然后分兩部分求解，最后求和即可得出結(jié)果.【詳解】因為，展開式第項展開式第項當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以展開式中項為，則的系數(shù)為，故答案為：.14．若拋物線上的一點到坐標(biāo)原點的距離為，則點到該拋物線焦點的距離為__________.【答案】5【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，利用的長度計算出，再利用拋物線的定義即可求解.【詳解】設(shè)點，由題意可知：，解得：，所以，故答案為：.15．已知直線是曲線與的公切線，則__________.【答案】【分析】分別設(shè)兩條曲線上的切點，寫出切線方程，建立方程組，解出切點，計算.【詳解】設(shè)曲線上切點，，切線斜率，切線方程，即同理，設(shè)曲線上切點，，切線斜率，切線方程，即，所以，解得，所以，，.故答案為：.16．已知數(shù)列滿足：，則首項的取值范圍是:______當(dāng)時，記，且，則整數(shù)__________.【答案】????????【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得：，利用即可得到的取值范圍；然后得到，利用裂項相消即可求得，進(jìn)而求解.【詳解】由，可得，所以，即，則，，所以，，，所以，所以，因為，所以，則有，所以，則，故答案為：.四、解答題17．已知數(shù)列滿足：(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用等比數(shù)列定義即可證明是等比數(shù)列；（2）利用分組求和法即可求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）由，得，由，可得，所以，所以，所以是等比數(shù)列，且首項為3公比為2.（2）由（1）得，，即所以18．記中，角所對邊分別為，且(1)求的最小值；(2)若，求及的面積.【答案】(1)(2)5，【分析】（1）先利用題給條件求得，再利用均值定理即可求得的最小值；（2）先求得，再利用正弦定理即可求得及的面積.【詳解】（1）因為，所以，即，因為，所以，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.）所以的最小值為.（2）因為，由（1）得，，因為，所以，所以，由正弦定理，得，所以的面積為.19．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面，平面平面.(1)證明：；(2)若為上的點，當(dāng)與平面所成角的正弦值最大時，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)證得平面，過點A作可證得，再由線面垂直的性質(zhì)證得，進(jìn)而證得平面，進(jìn)而證得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分類討論與時，分別計算線面角的正弦值比較即可.【詳解】（1）如圖，過點A作，垂足為，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面又∵平面，∴.又∵平面，平面,∴.又∵，、平面，∴平面，又∵平面，∴.（2）由（1）知，以A為坐標(biāo)原點，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，∵底面是菱形，且，∴底面為正方形，設(shè)，則，所以，設(shè)，則.設(shè)平面的一個法向量為，則①當(dāng)時，取.設(shè)與平面所成角為，則，當(dāng)時，的最大值為.②當(dāng)時，取，則∴，∴綜述：與平面所成角的正弦值最大時為，此時.20．2022年卡塔爾世界杯決賽于當(dāng)?shù)貢r間12月18日進(jìn)行，最終阿根廷通過點球大戰(zhàn)總比分戰(zhàn)勝法國，奪得冠軍.根據(jù)比賽規(guī)則：淘汰賽階段常規(guī)比賽時間為90分鐘，若在90分鐘結(jié)束時進(jìn)球數(shù)持平，需進(jìn)行30分鐘的加時賽，若加時賽仍是平局，則采用“點球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負(fù).“點球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊各派5名隊員，雙方輪流踢點球，累計進(jìn)球個數(shù)多者勝；②如果在踢滿5輪前，一隊的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊踢滿5輪最多可能射中的球數(shù)，則不需要再踢（例如：第4輪結(jié)束時，雙方“點球大戰(zhàn)”的進(jìn)球數(shù)比為，則不需要再踢第5輪）；③若前5輪“點球大戰(zhàn)"中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝出.(1)假設(shè)踢點球的球員等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門，門將也會等可能地選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也只有的可能性將球撲出.若球員射門均在門內(nèi)，在一次“點球大戰(zhàn)"中，求門將在前4次撲出點球的個數(shù)的分布列期望；(2)現(xiàn)有甲?乙兩隊在決賽中相遇，常規(guī)賽和加時賽后雙方戰(zhàn)平，需要通過“點球大戰(zhàn)”來決定冠軍.設(shè)甲隊每名隊員射進(jìn)點球的概率均為，乙隊每名隊員射進(jìn)點球的概率均為，假設(shè)每輪點球中進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.（i）若甲隊先踢點球，求在第3輪結(jié)束時，甲隊踢進(jìn)了3個球并獲得冠軍的概率；（ii）求“點球大戰(zhàn)”在第7輪結(jié)束，且乙隊以獲得冠軍的概率.【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；（ii）【分析】（1）根據(jù)題意可得門將每次撲中點球的概率，且，進(jìn)而根據(jù)二項分布求解即可；（2）利用獨立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意門將每次撲中點球的概率，的可能取值為，且，；所以的概率分布為01234數(shù)學(xué)期望.（2）（i）甲隊先踢點球，第三輪結(jié)束時甲隊踢進(jìn)了3個球，并獲得冠軍，則乙隊沒有進(jìn)球，所以甲隊獲得冠軍的概率為.（ii）點球在第7輪結(jié)束，且乙隊以獲勝，所以前5輪戰(zhàn)平，且第6輪戰(zhàn)平，第7輪乙隊勝甲隊當(dāng)前5輪兩隊為時，乙隊勝出的概率為當(dāng)前5輪兩隊為時，乙隊勝出的概率為，因為上述兩個事件互斥，所以乙隊勝出的概率為.21．已知橢圓的左?右焦點分別為，過點作直線（與軸不重合）交于兩點，且當(dāng)為的上頂點時，的周長為8，面積為(1)求的方程；(2)若是的右頂點，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】(1);(2)證明見解析.【分析】（1）利用三角形周長求出a，當(dāng)為的上頂點時，求出直線l方程，進(jìn)而求出點的坐標(biāo)，利用三角形面積求出b作答.（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計算推理作答.【詳解】（1）依題意，的周長，解得，則橢圓，令橢圓的半焦距為c，當(dāng)為的上頂點時，直線為：，由消去y得，解得或，于是得點，又的面積為，則，整理得，則有，解得或，有或，因為，則，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，，，直線的方程為，由消去得，設(shè)，則，而，，所以為定值.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．22．已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點，求的范圍，并證明【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為和(2)的范圍是，證明見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令、解不等式可得答案；（2）當(dāng)、討論不符合題意；當(dāng)時求出得在和均單調(diào)遞增，當(dāng)時，由、得在上有一個零點；當(dāng)，，在上有一個零點，所以的范圍是，可得，，再由，得的兩個零點，再利用基本不等式得可得答案.