任意角（第二課時）象限角及其表示-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊

北師大版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊第一章

三角函數(shù)第2節(jié)

任意角（第二課時）象限角及其表示新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.了解任意角的概念，區(qū)分正角、負角與零角數(shù)學(xué)抽象2.理解并掌握終邊相同的角的概念，能寫出終邊相同的角所組成的集合數(shù)學(xué)抽象3.掌握象限角的概念，并會用集合表示象限角數(shù)學(xué)抽象奧運會賽場上，跳水運動員的優(yōu)美動作引來陣陣喝彩聲．跳水(Diving)是一項優(yōu)美的水上運動，它是從高處通過空中轉(zhuǎn)體，并以特定動作入水的運動．問題如果跳水運動員在空中順時針連續(xù)轉(zhuǎn)體一周半，那么運動員轉(zhuǎn)過的角度是多少？象限角及其表示1．象限角：在平面直角坐標系中，若角的頂點在坐標原點，角的始邊在____軸的非負半軸，那么，角的_________在第幾象限，就說這個角是第幾_________；如果角的終邊在_________，就認為這個角不屬于任何象限．終邊象限角坐標軸上象限角及其表示例如：說出圖中的角是第幾項象限角？

典例剖析

2．終邊相同的角：一般地，給定一個角α，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝

___________________________，即任何一個與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與_________________．{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}周角的整數(shù)倍的和對集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的再理解(1)角α為任意角，“k∈Z”不能省略；(2)k·360°與α中間要用“＋”連接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；(3)相等的角的終邊一定相同，而終邊相同的角不一定相等；終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍．

典例剖析解：在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在y軸上的角有兩個，即90°，270°角因此，所有與90°角終邊相同的角構(gòu)成集合S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z},而所有與270°角終邊相同的角構(gòu)成集合S2={β|β=270°+k·360°，k∈Z},于是，終邊在y軸上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z}={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z}={β|β=90°+n·180°，n∈Z}.

典例剖析例3寫出與60°角終邊相同的角的集合S，并把S中適合-360°≤β<720°的元素β寫出來.

與610°角終邊相同的角表示為(其中k∈Z) (

)A．k·360°＋230°

B．k·360°＋250°C．k·360°＋70°

D．k·180°＋270°B題型二用終邊相同的角求給定范圍的角【例1】已知α＝－315°.(1)把α改寫成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式；解因為－315°＝－360°＋45°.又0°＜45°＜360°，所以把α寫成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式為α＝－360°＋45°.(2)求θ，使θ與α終邊相同，且－1080°＜θ＜－360°.解與－315°終邊相同的角為θ＝k·360°＋45°(k∈Z)，所以當(dāng)k＝－3，－2時，θ＝－1035°，－675°，滿足－1080°＜θ＜－360°.即得所求角θ為－1035°和－675°.|通性通法|在指定條件下，求與角α終邊相同的角時，可先將這樣的角表示為α＋k×360°(k∈Z)的形式，然后用賦值法或解不等式確定k值，從而求出滿足條件的角．

題型二終邊在某條直線上的角的集合【例2】終邊在直線y＝－x上的角可用集合表示為_____________________________．解析在0°～360°范圍內(nèi)終邊在直線y＝－x上的角有兩個：135°，315°.因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．{β|β＝n·180°＋135°，n∈Z}|通性通法|1．若所求角β的終邊在某條射線上，則集合的形式為{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．若所求角β的終邊在某條直線上，則集合的形式為{β|β＝α＋k·180°，k∈Z}．

題型三區(qū)域角的表示【例3】已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍．解

終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．|通性通法|區(qū)域角的求解策略區(qū)域角是指終邊落在坐標系的某個區(qū)域內(nèi)的角．寫出區(qū)域角的集合的策略如下：(1)確定邊界線對應(yīng)的角：確定起始和終止邊界線分別對應(yīng)的一個角α，β，－360°<α<360°，－360°<β<360°；(2)寫出終邊相同的角：邊界線為射線時，終邊相同的角為α＋k·360°，β＋k·360°，k∈Z；邊界線為直線時，終邊相同的角為α＋k·180°，β＋k·180°，k∈Z；(3)寫出角的集合：按逆時針旋轉(zhuǎn)規(guī)則，從小到大寫出角的集合．提醒在書寫集合時，若邊界線是實線，則對應(yīng)的不等式包含等號，若邊界線是虛線，則對應(yīng)的不等式不包含等號；當(dāng)右端對應(yīng)的0°～360°內(nèi)的角小于左端對應(yīng)的0°～360°內(nèi)的角時，左端用負角．

1．若角2α與240°角的終邊相同，則α＝ (

)A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z解析：角2α與240°角的終邊相同，則2α＝240°＋k·360°，k∈Z，則α＝120°＋k·180°，k∈Z.故選B.B

2.如圖所示，寫出頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在陰影部分的角的集合．解：如題圖①所示，以O(shè)B為終邊的角有330°角，可看成是－30°角，∴以O(shè)A，OB為終邊的角的集合分別是：S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}．∴終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|k·360°－30°≤θ≤k·360°＋75°，k∈Z}．如題圖②所示，以O(shè)B為終邊的角有225°角，可看成是－135°角，∴終邊落在陰影部分的角的集合為{θ|－135°＋k·360°≤θ≤135°＋k·360°，k∈Z}．

題型四象限角的判定【例4】

(1)已知α是第二象限角，則180°－α是 (

)A．第一象限角

B．第二象限角C．第三象限角

D．第四象限角解析由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．∴180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)(k∈Z)，即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，∴180°－α為第一象限角．A解∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．當(dāng)k為偶數(shù)時，令k＝2n(n∈Z)，得當(dāng)k為奇數(shù)時，令k＝2n＋1(n∈Z)，得1．(變設(shè)問)在本例(1)的條件下，求角2α的終邊的位置．解：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的終邊在第三、四象限或在y軸的非正半軸上．|通性通法|1．給定一個角判斷它是第幾象限角的思路判斷角α是第幾象限角的常用方法為將α寫成β＋k·360°(其中k∈Z，β在0°～360°范圍內(nèi))的形式，觀察角β的終邊所在的象限即可．2．半角、倍角所在象限的判定思路(1)求解的思維模式應(yīng)是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住內(nèi)在聯(lián)系，確定解題方略；(2)由α的象限確定2α的象限時，應(yīng)注意2α可能不再是象限角，對此特殊情況應(yīng)特別指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．

1．(多選)下列四個角為第二象限角的是

(

)A．－200°

B．100°C．220°

D．420°2．已知α是銳角，那么2α是 (

)A．第一象限角

B．第二象限角C．小于180°的正角

D．第一或第二象限角解析：∵0°<α<