2023屆高考數(shù)學二輪精講三角與向量第8講余弦定理正弦定理有重名 824880

/14/14/第8講余弦定理、正弦定理知識與方法本專題主要借助于向量的運算,探索三角形邊長與角度的關(guān)系.同學們要掌握余弦定理、正弦定理,能用余弦定理、正弦定理解決簡單的解三角形問題.體會邏輯推理、數(shù)學建模及數(shù)學運算素養(yǎng).內(nèi)角和定理:在中,已知,則,可得如下結(jié)論.(1);(3).正弦定理:(其中表示三角形外接圓的半徑).易知在中,.余弦定理:.推論:.3.在中,已知和時,解的情況如下.三角形常用面積公式4設(shè)的面積為,外接圓半徑為,內(nèi)切圓半徑為,半周長為.(1);(2);(3);(4);(5);(6)(海倫公式).三角形中的射影定理在中,.6、應(yīng)用問題:測量距離、高度、角度,計算面積、航海、物理問題等.(1)仰角和俯角:在目標視線和水平視線所成的角中,目標視線在水平視線上方的角叫做仰角;在水平視線下方的角叫做俯角.(2)方位角:指從正北方向按順時針方向轉(zhuǎn)到目標方向線所成的水平角.典型例題【例1】設(shè)銳角三角形的三個內(nèi)角所對的邊分別為,且,則的取值范圍是（）A. B. C. D.【分析】已知三角形某一條邊或角,求其他邊或角的取值范圍,可運用正弦定理或余弦定理,考慮將“邊化角”或“角化邊”.【解析】因為,所以.因為是銳角三角形,所以【點睛】本題的三個內(nèi)角都是銳角,做題時易忽略.【例2】若的內(nèi)角滿足,則的最小值是_____.【分析】求角或某一角的三角函數(shù)值的取值范圍,注意選擇合適的三角函數(shù),結(jié)合三角函數(shù)圖象或單調(diào)性解決.這里已知角的正弦值,先用正弦定理將角化為邊,再用余弦定理求的表達式.【解析】由已知及正弦定理得，則，當且僅當時等號成立.故的最小值是.【點睛】解本題考慮用正弦定理、余弦定理和基本不等式，應(yīng)注意等號成立的條件.如果進一步求解，則可得角C的取值范圍.【例3】如果滿足∠ABC=60°，AB=8，AC=k的△ABC只有兩個，那么k的取值范圍是________.【分析】根據(jù)正弦定理，用k表示出，由∠ABC推出角C的取值范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出的取值范圍，進而求出k的取值范圍.也可用幾何法求解.【解析】解法1：（圖象法）由正弦定理得，即.由題意知，滿足條件的△ABC有兩個，則.解法2：（幾何法）當滿足條件的△ABC有兩個時，需滿足，由此得到k的取值范圍.如圖，，當時，以AC為半徑的圓弧與BC交于點，由于△ABC有兩個，可得.【點睛】由三角形的邊角關(guān)系判斷解的組數(shù)，涉及正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值，要求掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，牢記特殊角的三角函數(shù)值及靈活運用三角形的內(nèi)角和定理這一隱含條件.【例4】在△ABC中，已知，且，試判斷△ABC的形狀.【分析】判斷三角形形狀可以按角分類，也可以按邊分類.本題進行“邊化角”用正弦定理，進行“角化邊”用余弦定理，找出邊或角的關(guān)系.【解析】解法1（從角考慮）由及正弦定理可得，.由得，即，，從而，△ABC為等邊三角形.解法2（從邊考慮）由及余弦定理可得.又，得，即，，從而，△ABC為等邊三角形.【點睛】本題也可同時考慮邊和角，已知條件中既有角的關(guān)系又有邊的關(guān)系，不是用正弦定理就是用余弦定理，要么“邊化角”，要么“角化邊”.結(jié)論一般為特殊的三角形，如等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等.在變形過程中，要注意的范圍對三角函數(shù)值的影響.【例5】在△ABC中，已知“”是“△ABC為銳角三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【分析】本題直接由推斷△ABC的形狀較難，注意到三角形中的三正切關(guān)系，進而分析求解.【解析】若△ABC為銳角三角形，則每個內(nèi)角的正切值都大于0，所以.若，則在△ABC中，存在恒等式，故，所以只能全為正數(shù)或兩負、一正（舍去，否則有兩個鈍角），于是內(nèi)角均為銳角，即△ABC為銳角三角形.綜上可知，“”是“△ABC為銳角三角形”的充要條件.故選C.【點睛】斜三角形中的重要恒等式：.【例6】在△ABC中，設(shè)角所對的邊分別為.已知.（1）求角C的大小.（2）若，求△ABC的面積.【分析】學會利用三角恒等變換和輔助角公式，利用誘導公式進行變形；掌握三角形內(nèi)角和定理、正弦定理以及三角形面積公式中邊角的處理方法.【解析】（1）由題意得，，所以，化為.由得.又，得，即，所以.（2）已知，由正弦定理得，得.由得，從而，故，所以.【點睛】第（1）問可根據(jù)，等降冪公式變形，然后利用輔助角公式將其變形為，寫出兩個正弦值相等的情況，注意，從而求出及角C；第（2）問已知兩個角，一條邊c，先用內(nèi)角和定理和誘導公式求得，再用正弦定理或余弦定理求得邊a，代入面積公式求解.【例7】在△ABC中，設(shè)角所對的邊分別為，已知.（1）證明：.（2）若△ABC的面積，求角A的大小.【分析】本題已知邊與角的關(guān)系式，第（1）問證明，可利用正弦定理化邊為角，需要借助三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式；第（2）問增加△ABC的面積這一條件，求角A，涉及面積公式，得到，利用誘導公式要注意變換角.【解析】（1）因為，所以，即，展開得所以.因為是三角形的內(nèi)角，所以，即.（2）由得，故有.因為，所以.義，所以.當時，；當時，.綜上，或.【點睛】第（1）問先由正弦定理及兩角和的正弦公式得，再判斷的取值范圍，進而可證；第（2）問先由三角形的面積公式及二倍角公式得，再利用三角形的內(nèi)角和可得角A的大小.【例8】在△ABC中，設(shè)角所對的邊分別為，S為△ABC的面積，滿足.（1）求角C的大小.（2）若，求的取值范圍.【分析】本題第（1）問已知條件，求角C的大小，注意到等號左邊可用三角形的面積公式，等號右邊用余弦定理進行變形，得到角C的某一三角函數(shù)值，進而求角.第（2）問在第（1）問的基礎(chǔ)上，已知一條邊，求另兩條邊的和的取值范圍，可考慮運用正弦定理化邊為角的某一三角函數(shù)值，利用輔助角公式求函數(shù)值的取值范圍.【解析】（1）由題意可知，所以.因為，所以.（2）解法1：由正弦定理得，則.因為，所以.又，所以，所以，即的取值范圍是.解法2：因為，所以，即，所以.又，所以，即的取值范圍是.解法3：（數(shù)形結(jié)合）因為，即點C在圓弧上運動，如圖，由圖形的對稱性得，即的取值范圍是.【點睛】由角的某一三角函數(shù)值求角的大小必須注意角的范圍；同樣，由角的范圍求角的某一三角函數(shù)值，也需注意角的范圍.若將條件限定在銳角三角形中，則角A的范圍不是，也不是，應(yīng)為所以.一般求兩邊之和（或周長）的范圍還可以考慮用余弦定理和基本不等式，也可以借助圓來求解.【例9】在銳角角形ABC中，已知.（1）求角C.（2）當時，求的取值范圍.【分析】第（1）問已知，求角C的大小，主要考慮等式兩邊結(jié)構(gòu)，左邊進行“切化弦”，右邊分母利用余弦定理變形為角的某一三角函數(shù)值，進而求角的大小；第（2）問則利用正弦定理、輔助角公式求解函數(shù)值的范圍.【解析】（1）因為，即，所以，得或（舍去）.（2）當時，.所以.又△ABC為銳角三角形，所以且，得.所以，故.【點睛】由角的某一三角函數(shù)值求角的大小必須注意角的范圍；同樣，由角的范圍求角的某一三角函數(shù)值，也需注意角的范圍.【例10】設(shè)△ABC的內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）求B.（2）若，求△ABC面積的最大值.【分析】第（1）問已知，求B的大小，利用正弦定理將已知等式中的邊化為角，求得角的某一三角函數(shù)值，進而求角的大小；第（2）問則利用正弦定理、輔助角公式或余弦定理、基本不等式求解面積函數(shù)值的取值范圍.【解析】（1）解法1已知，由正弦定理得，所以，即.因為，所以，解得.解法2（射影定理）因為，又已知，所以，解得.（2）由余弦定理得，即.由不等式得，即，當且僅當時，取等號.所以△ABC的面積.故△ABC面積的最大值為.【點睛】由角的某一三角函數(shù)值求角的大小必須注意角的范圍；同樣，由角的范圍求角的某一三角函數(shù)值或△ABC面積的最值，也需注意角的范圍.另外，要注意射影定理對簡化解題的作用.【例11】如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準確瞄準目標點P，需計算由點A觀察點P的仰角的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則的最大值是________.（仰角為直線AP與平面ABC所成的角）【分析】本題利用解三角形求最值.利用解三角形還能測量高度、長度、角度等，注意方向角、方位角、仰角、俯角等相關(guān)概念.【解析】因為AB=15m，AC=25m，∠ABC=90°，所以BC=20m.如圖，過點P作，交BC于點，連接，則.設(shè)，則.由∠BCM=30°得.在中，，所以.當時，函數(shù)取得最大值.故答案為.【點睛】求最值范圍問題，要么化為二次函數(shù)求最值，要么化為對勾函數(shù)求最值，也可以利用導函數(shù)的性質(zhì)求解.另外，直線AP與平面ABC所成角的最大值為平面MAC與平面BAC所成的二面角.【例12】在△ABC中，已知∠C=90°，M是BC的中點，若，則sin∠BAC=________.【分析】本題為已知Rt△ABC邊角關(guān)系，求解某一角的三角函數(shù)值，可畫圖分析所求與已知的關(guān)系，通過誘導公式、同角關(guān)系、勾股定理、正弦定理等求解.【解析】1因為，所以.又，即，所以，所以.【解析】2如圖，設(shè).在△ABM中，由正弦定理可得，代入數(shù)據(jù)可得，解得.故.在Rt△ACM中，.故，化簡可得，解得.由勾股定理得，聯(lián)立得.在Rt△ABC中，.【解析】3設(shè)，在△ABM中，由正弦定理得，又，所以.又，聯(lián)立消去得，構(gòu)造二次齊次式，等號兩邊同除以，可得.若，則，解得，易得.【解析】4作，交于點D，設(shè)，由△DMB和△CAB相似解得，則，易得.故答案為.【點睛】對于三角函數(shù)的實際應(yīng)用問題，會依據(jù)實際問題畫出三角形（或多邊形），把已知問題轉(zhuǎn)化為三角形中的邊與角的關(guān)系，然后解三角形.【例13】