初二講義-角平分線判定與性質(zhì)

第角平分線的判定與性質(zhì)【識與法理角平分的性質(zhì)定理角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。角平分的判定定理一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。角平分的作法（尺作圖）①以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，交、OB于C、D兩點(diǎn)；②分別以C、D為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；③過點(diǎn)P作射線OP，射線即為所求．角分的質(zhì)判1.平分線的質(zhì)：的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．推導(dǎo)已知：OC平分∠MON，P是上任意一點(diǎn)，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為點(diǎn)、點(diǎn)B．求證：PA＝PB．證明：PA⊥OM，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB幾何表：（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）1/6

∵OP平分∠MON（∠1＝∠），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．2角平分線的定到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．推導(dǎo)：已知：點(diǎn)P是∠MON內(nèi)一點(diǎn)，⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求證：點(diǎn)P在∠MON的平分線上．證明：結(jié)OP在Req\o\ac(△,t)PAO和Req\o\ac(△,t)中，∴Req\o\ac(△,t)PAO≌eq\o\ac(△,t)（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即點(diǎn)P在∠MON的平分線上．幾何表：（到的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．）∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON【典題例1eq\o\ac(△,，)中，C=90°是ABC的角平分線⊥AB于EAC上BD=DF，2/6

EDFE求證：CF=EBEDFE例2.知：如圖，、BE△ABC兩條角平分線，AD、BE交于O點(diǎn)

A

求證：O在∠C的平分線上

A例如圖A∥CD＝9°是的中點(diǎn)平分∠ADC，

F

E

D求證：AE平分∠DAB。

例已知：如圖，在ABC中，AD是△ABC的角平分線，、F分別是AB、AC上一點(diǎn)，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．試判DE和DF的大小關(guān)系并說明理由．

CE

D

B

F

【經(jīng)典習(xí)】

B

M

C1如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為，E，BE，CD相交于點(diǎn)O，

B

A

OB＝OC，求證∠BAO＝∠CAO2.如圖，OC∠AOB角平分線，P是一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)，PE⊥OB于點(diǎn)，F(xiàn)上除點(diǎn)P、O外一點(diǎn)，連結(jié)、EF，則DF與EF的關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。3.如圖，在CD上求作一點(diǎn)，使它到OA，OB的距離相等（寫出作法4.要將如圖中的∠MON分，小梅設(shè)計(jì)了如下方案：在射線，ON＝OB，過AC⊥OM于A，交ON于D，過作EB⊥ON于B交OM于E，AD，EB交于點(diǎn)C，過O，C作射線OC即為CMON的平分線，試說明這樣做的理由OBOD5.如圖△ABC中，AD是它的角平分線，且，DE、DF分別垂直AB、AC垂足為E、F，求證：EB=FC6.如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥于E，DF⊥AC于F，△面積是cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，求DE長．7、已知：如圖，∠B＝∠C90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC．（1）求證：AM平分∠DAB（2）猜想AM與DM的位置關(guān)系如何？并證明你的結(jié)論．

A【鞏固習(xí)】基礎(chǔ)訓(xùn)題1.如圖，在Rt△ABC中，∠°，BD是∠ABC的平分線，交AC于點(diǎn)D，若CD=n，AB=m則△ABD的面積是（）

EBD

FCA.m+nB.

12

mn2mn

D./

2.如圖AC平分∠PAQB別在邊上添加一個(gè)條件推出AB=AB′，那么該條件不可以是（）A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠′∠ABC=∠AB′C

D、3如圖⊥AO于⊥BOE下列條件①∠AOB的平分線；②DF=EF∠OFD=∠中能夠證明≌△的條件的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.44.如圖，在ABC中，,E、分別是AB、AC上的點(diǎn)，

AEF=5cm，、分別是∠和∠ACB的角平分線，

E

F且P⊥BCD，P⊥ABE,⊥AC于F,已知PD=4cm則Δ的周長是___________

B

C5.如圖（7）：AC⊥BC，平分∠ABC且交AC于點(diǎn)M，是AB中點(diǎn)且BN=BC。求證：（）MN分∠AMB，（2）∠。6.如圖：eq\o\ac(△,)ABC中，∠B，相鄰的外角的平分線交于

A

點(diǎn)D。求證：點(diǎn)D在∠A的平分線上。7.如圖8AB＝CD，PCD的面積等于△的面積，求

B（圖）

C

證OP平分∠BOD。EDB8.如圖9在△ABC中，∠＝60°，△ABC的角平分線、交于AE+CD＝。A能力提題1.已知如圖∠C＝2∠B∠12求證AB＝。OCD

P

F點(diǎn)，求證2.已知，如2，＝∠P為BN上一點(diǎn)，PD⊥于D，＝，求證：∠BAP+∠BCP＝。

A

A123、如圖，知∠CAD=∠CDA，，在上，

E，求證：AD平分∠BAEABDEC提示:延長AE到得EP=AE,連接CP,證三角形4.如圖已知∥是∠ACD∠CAB的平分AC于E點(diǎn)求之間的距離

BA1

2

B

P

C

O3CDCD與等)線的交點(diǎn)且OE⊥/

ABCD5.如圖，已知⊥ACE，⊥AB于F，、CF交于點(diǎn)D，若BD=CD．求證：AD分∠BAC.課后作業(yè)1.如圖，在RtΔ中，∠＝90°，BD是∠的平分線，交AC于，若CD＝n，＝m，則ΔABD的面積是（）A．

B．

C．mn

D．2mn2.如圖，OP平分∠AOB，PCOA于C，PD⊥OB于D，則PC與PD的關(guān)系是（）A.PC＞PDB.PC＝PDC.PC＜PDD.不能確定3.如圖，點(diǎn)P是∠BAC的平分線AD上一點(diǎn)，PE⊥于點(diǎn)E，已知PE＝3，則點(diǎn)P到AB的距離是A.3B.4C.5D.64.如圖，MP⊥NP，MQ平分∠，MT＝MP，連結(jié)TQ，則下列不正確的是（）A．TQ＝PQ．B.∠MQT＝∠MQP．C.∠QTN＝90°．D.∠NQT＝∠MQT．第2題第3題第4題第5題5.如圖，在△ABC中，AD平分∠，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，M為AD上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.DE＝DF．B.ME＝MF．C.AE＝AF．D.BD＝DC．6.已知如圖3在Rt中＝90著過點(diǎn)B的一條直線BE疊Δ使C點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)D，則∠A的度數(shù)等于____．7.如圖所示AD⊥DC，BC⊥，E是DC上一點(diǎn)，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC求證：AB=AD+AC。8．已知：如圖，⊥ABD，⊥AC于E，、BE于O，∠1＝∠2．

AD求證：＝OC.9.已知：如圖9－，OD分∠，在OP、OQ邊上?。絆B，C在上