云南省昆明市某中學(xué)教育集團2022屆高二升高三診斷性考試(期末考試)數(shù)學(xué)(理)試題

絕密＊啟用前

云南省昆明市第一中學(xué)教育集團

2020-2021學(xué)年2022屆高二升高三診斷性考試（期末考試）

數(shù)學(xué)（理）試題

一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）．

1.已知集合A={O,L2}，集合B={xlx-l~O}，則AnB的真子集個數(shù)為（)

A.1B.2C.3D.4

2.若~=2+i，則復(fù)數(shù)z=()

1-i

A.1-iB.2-iC.3-2iD.3-i

3.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：一個大于2的偶數(shù)都

可以寫成兩個質(zhì)數(shù)（素數(shù)）之和，也就是我們所謂的“1+1"問題．它是1742

年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫

猜想的證明中都做出了相當(dāng)好的成績．若將8拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的

和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為()

21-441

ABc一D一

.7一..7.2

1

4.已知sinx-cosx＝一，則sin2.x=()

2

3311

A.B.C.--

-4--42D．一2

5.一個體積為二12的正三尸棱柱的三視圖如圖所示，則這個三棱柱的高為（)

勹i

俯視圖

硒

AB.2森C.花D.2

3

6.已知M為直線y=x+l上的動點，N為圓x2+y2+2.x+4y+4=0上的動點，則IMNl

的最小值是（)

A.丑B.2－拉C.1D.'1/2-1

lnlx+ll,,

7.函數(shù)f(x)=x+1)的大致圖象為（

y

III^

A.B.

C.D.

X

8.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為S,？，若2Sn=Sn+1+S11+2(nEN勹，且a1=I,a2=2,則

Ss=()

A.-11B.-9C.9D.11

9.已知正四棱錐S-ABCD的所有頂點都在球0的球面上，且SA=,J飛，AB=2,則

球0的表面積為()

A.3兀B.9亢C.12nD.16n

10.在空間直角坐標系0-入:yz中，經(jīng)過點P(xo,yo,zo)，且法向量為點＝（A,B,C)

的平面方程為A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0,經(jīng)過點PCxo,Yo，如

且一個方向向量為;=(μ,V,(I))(μV(I)-/=o:的直線l方程為

二＝二＝二紅．已知：在空間直角坐標系0-xyz中，平面a的方程為

μV(I)

x+2y+3z=O,經(jīng)過P(O,O,0)的直線l方程為玉~=z,則直線l與平面a所

23

成角的正弦值為（)

A.-5B.2mC.對D.且

771414

22

11.已知雙曲線C：王＿立＿＝1(a>O,b>O)的左、右焦點分別為F1(-C,0)'

22

ab

F2(c,0),P是雙曲線C右支上一點，且IPF2l=IF1F2|．若直線P凡與圓x2+y2

=a2相切，則雙曲線的離心率為（)

45

A.3B.-3C.2D.3

12.已知定義在R上的函數(shù)y=J(x)滿足：函數(shù)y=J(x)-2021為奇函數(shù)，且

對XE(-00,十oo),2f(x)>J(x)恒成立(f(x)是函數(shù)J(x)的導(dǎo)函數(shù)），

則不等式f(~)<2021ex的解集為（)

2

A.(0,+00)B.(0,2021)

C.(l,2021)D.(-2021,2021)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.糖水不等式：上＜上竺(a>b>O)成立的實數(shù)c是有條件限制的，使糖水不等

aa+c

1_/1+c

式：－＜——(c=f.-2)不成立的c的值可以是（只需填滿足題意的一個

2·2+c

值即可）．

14.在叢ABC中，C=90°,飛和＝5,|石|＝4,則忒·麗＝.

2TT2TT

15.已知f(x)=sin（一x-f7）和g(x)=cos（一x七一），則函數(shù)f(x)的圖象與g(x)

3633

的圖象的對稱軸之間的最短距離為

16.設(shè)拋物線C：滬＝2px(p>O)的焦點為F,準線為l,點A為C上一點，以F

為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交l千B,D兩點，若LFBD=30°,6.ABD的面積為

石，則拋物線C的方程為

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知.6.ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,且3cosB(acosB+bcosA)

=c.

(1)求cosB;

(2)若AB=2,sinA=sinB,求6.ABC的面積．

18.某科技公司對其主推產(chǎn)品在過去5個月的月科技投入x八百萬元）和相應(yīng)的銷

售額y/（百萬元）進行了統(tǒng)計，其中i=l,2,3,4,5,對所得數(shù)據(jù)進行整理，

繪制散點圖并計算出一些統(tǒng)計量如下：

55555

區(qū)xi=6.8,區(qū)wi=10.3,Lyi=15.8,Lxiyi=22.76,匯wiyi=34.15,

i=li=li=ll.i=li=1

55

i(xi云）2=0.46,i(wi元）2=3.56,其中wi=xf,i=l,2,3,4,5.

i=li=l

(1)根據(jù)散點圖判斷，y=bx+a與y=c:>?+d哪一個適宜作為月銷售額y，關(guān)千月

科技投入Xi的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及題中所給數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并據(jù)

此估計月科技投入300萬元時的月銷售額．

^^

附：對于一組數(shù)據(jù)(sl,tl),（s2，心，…，（s,l,切，其回歸直線

t=a+13s

n

匯(si-s)(ti-t)

--;;--i=l

的斜率和截距的最小二乘估計分別為B-

n-2'a=i-13;·

L(si-s)

i=l

＂月蚋售·yf百萬元.

?

3..

2

。月科技役人瓦厄萬元

2

0.5I.S

19.已知數(shù)列{a,1}各項均為正數(shù)，a1=1,a2=3,且an+3-a11+2=a11+I-an對任意nEN*

恒成立．

(1)若a3=6，求a5的值；

(2)若a3=5,CD證明：數(shù)列｛心｝是等差數(shù)列；＠在數(shù)列{an}中，若a2,am,

ak(m,kEN*,2<rn<k)構(gòu)成等比數(shù)列求符合條件的一組(m,k)的值（滿足

題意的一組值即可），說明理由．

20.已知點C在圓(x+1)2+y2=16上，A,B的坐標分別為(-L0),(L0),

線段BC的垂直平分線交線段AC于點M

(1)求點M的軌跡E的方程；

(2)設(shè)圓f+y2＝戶與點M的軌跡E交千不同的四個點D,E,F,G，求四邊形DEFG

的面積的最大值及相應(yīng)的四個點的坐標．

21.如圖在四棱錐