2023屆高考數(shù)學二輪復習第一部分專題篇專題五解析幾何第二講橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì)課時作業(yè)理

PAGEPAGE62022屆高考數(shù)學二輪復習第一局部專題篇專題五解析幾何第二講橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程與性質(zhì)課時作業(yè)理1．雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的離心率等于eq\f(\r(3),3)b，那么該雙曲線的焦距為()A．2eq\r(5) B．2eq\r(6)C．6 D．8解析：設雙曲線的焦距為2c.由得eq\f(c,2)＝eq\f(\r(3),3)b，又c2＝4＋b2，解得c＝4，那么該雙曲線的焦距為8.答案：D2．(2022·高考全國Ⅱ卷)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)與C交于點P，PF⊥x軸，那么k＝()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：根據(jù)拋物線的方程求出焦點坐標，利用PF⊥x軸，知點P，F(xiàn)的橫坐標相等，再根據(jù)點P在曲線y＝eq\f(k,x)上求出k.∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)與C交于點P，PF⊥x軸，∴P(1,2)．將點P(1,2)的坐標代入y＝eq\f(k,x)(k＞0)得k＝2.應選D.答案：D3．(2022·湖南模擬)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，以F1、F2為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4)，那么此雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1解析：由可得交點(3,4)到原點O的距離為圓的半徑，那么半徑r＝eq\r(32＋42)＝5，故c＝5，a2＋b2＝25，又雙曲線的一條漸近線y＝eq\f(b,a)x過點(3,4)，故3b＝4a，可解得b＝4，a＝3，應選C.答案：C4．(2022·廣東五校聯(lián)考)雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的右焦點與拋物線y2＝12x的焦點重合，那么該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于()A.eq\r(5) B．4eq\r(2)C．3 D．5解析：由題易得拋物線的焦點為(3,0)，∴雙曲線的右焦點為(3,0)，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，∴雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(\r(5),2)x，即eq\r(5)x－2y＝0，∴所求距離為d＝eq\f(|3\r(5)|,\r(5＋4))＝eq\r(5).答案：A5．(2022·高考全國Ⅰ卷)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，那么C的焦點到準線的距離為()A．2 B．4C．6 D．8解析：設出拋物線和圓的方程，將點的坐標代入，聯(lián)立方程組求解．設拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，圓的方程為x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，拋物線的準線方程為x＝－eq\f(p,2)，∴不妨設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5))).∵點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圓x2＋y2＝r2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,p2)＋8＝r2，,\f(p2,4)＋5＝r2，))∴eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，∴p＝4(負值舍去)．∴C的焦點到準線的距離為4.答案：B6．(2022·鄭州模擬)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與橢圓交于A，B兩點，假設△F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，那么橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(2),2) B．2－eq\r(3)C.eq\r(5)－2 D.eq\r(6)－eq\r(3)解析：設|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，假設△ABF1是以A為直角頂點的等腰直角三角形，那么|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝eq\r(2)m.由橢圓的定義可得△ABF1的周長為4a，即有4a＝2m＋eq\r(2)m，即m＝(4－2eq\r(2))a，那么|AF2|＝2a－m＝(2eq\r(2)－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－eq\r(2))2a2＋4(eq\r(2)－1)2a2，即有c2＝(9－6eq\r(2))a2，即c＝(eq\r(6)－eq\r(3))a，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(6)－eq\r(3)，應選D.答案：D7．(2022·西安模擬)過雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，那么|AB|＝________.解析：雙曲線的右焦點為F(2,0)，過F與x軸垂直的直線為x＝2，漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，將x＝2代入y＝±eq\r(3)x，得y＝±2eq\r(3)，∴|AB|＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)8．(2022·高考北京卷)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點．假設正方形OABC的邊長為2，那么a＝________.解析：根據(jù)圖形分析出半焦距長、實半軸長與虛半軸長之間的關(guān)系，進而求解．不妨令B為雙曲線的右焦點，A在第一象限，那么雙曲線如下圖．∵四邊形OABC為正方形，|OA|＝2，∴c＝|OB|＝2eq\r(2)，∠AOB＝eq\f(π,4).∵直線OA是漸近線，方程為y＝eq\f(b,a)x，∴eq\f(b,a)＝tan∠AOB＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.答案：29.拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，拋物線上橫坐標為eq\f(1,2)的點到拋物線頂點的距離與其到準線的距離相等．(1)求拋物線的方程；(2)設過點P(6,0)的直線l與拋物線交于A，B兩點，假設以AB為直徑的圓過點F，求直線l的方程．解析：(1)由題意知eq\f(1,2)＋eq\f(p,2)＝eq\r(\f(1,4)＋p)，解得p＝2或p＝0(舍去)．∴拋物線的方程為y2＝4x.(2)由題意可知，直線l不垂直于y軸，可設直線l：x＝my＋6，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋6，))可得y2－4my－24＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－24.))∵以AB為直徑的圓過點F，∴FA⊥FB，即eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝0.可得(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，∴(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋5m(y1＋y2)＋25＝－24(1＋m2)＋20解得m＝±eq\f(1,2)，∴直線l的方程為x＝±eq\f(1,2)y＋6，即2x±y－12＝0.10.如圖，橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的下頂點為B，右焦點為F，直線BF與橢圓E的另一個交點為A，eq\o(BF,\s\up6(→))＝3eq\o(FA,\s\up6(→)).(1)求橢圓E的離心率；(2)假設點P為橢圓上的一個動點，且△PAB面積的最大值為eq\f(2\r(3)＋2,3)，求橢圓E的方程．解析：(1)∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝3eq\o(FA,\s\up6(→))，B(0，－b)，F(xiàn)(c,0)，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)c，\f(1,3)b)).代入橢圓方程可得eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4c,3)))2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,3)))2,b2)＝1，得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，即離心率e＝eq\f(\r(2),2).(2)由(1)可得a＝eq\r(2)c，b＝c，可得kAB＝1，所以直線AB的方程為y＝x－c.可得點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)c，\f(1,3)c))，B(0，－c)，|AB|＝eq\f(4\r(2),3)c.當△PAB面積取最大值時，動點P離直線AB的距離最遠．設直線l：y＝x＋m(m>0)為橢圓E的一條切線，且l∥AB.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,2c2)＋\f(y2,c2)＝1))?3x2＋4mx＋2m2－2c2＝0，由Δ＝0?m＝eq\r(3)c.故l：y＝x＋eq\r(3)c，此時直線l與直線AB之間的距離d，即為動點P到直線AB的最遠距離．又直線AB的方程為y＝x－c，由兩平行線間距離公式得d＝eq\f(\r(3)＋1c,\r(2)).此時S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)·eq\f(4\r(2),3)c·eq\f(\r(3)＋1c,\r(2))＝eq\f(2\r(3)＋2,3)c2＝eq\f(2\r(3)＋2,3)，所以c＝1，a＝eq\r(2)，b＝1，因此橢圓E的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.11．(2022·昆明模擬)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右頂點分別為A，B，其離心率e＝eq\f(1,2)，點M為橢圓上的一個動點，△MAB面積的最大值是2eq\r(3).(1)求橢圓的方程；(2)假設過橢圓C右頂點B的直線l與橢圓的另一個交點為D，線段BD的垂直平分線與y軸交于點P，當eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝0時，求點P的坐標．解析：(1)由題意可知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,2)×2ab＝2eq\r(3)，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以橢圓方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)知B(2,0)，設直線BD的方程為y＝k(x－2)，D(x1，y1)，把y＝k(x－2)代入橢圓方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，所以2＋x1＝eq\f(16k2,3＋4k2)?x1＝eq\f(8k2－6,3＋4k2)，那么Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2－6,3＋4k2)，\f(－12k,3＋4k2)))，所以BD中點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2,3＋4k2)，\f(－6k,3＋4k2)))，那么直線BD的垂直平分線方程為y－eq\f(－6k,3＋4k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8k2,3＋4k2)))，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2k,3＋4k2))).又eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝0