導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題

利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根之宇文皓月創(chuàng)作函數(shù)與x軸即方程根的個數(shù)問題解題步伐第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨向圖”即三次函數(shù)的大概趨向“是先增后減再增”仍是“先減后增再減”；第二步：由趨向圖聯(lián)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式（組）即可；1、已知函數(shù)f(x)ex,xR.(Ⅰ)求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(1,0)處的切線方程;(Ⅱ)證明:曲線y=f(x)與曲線y1x2x1有獨一公共點.2【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函數(shù)g(x)lnx,則y=g(x)過點(1,0)的切線斜率k=g'(1).g'(x)1kg'(1)1.過點(1,0)的切線方程為:y=x+1x(Ⅱ)證明曲線y=f(x)與曲線y1x2x1有獨一公共點,過程以下.2h'(x)exx的導(dǎo)數(shù)x且h(0)，，0所以,1,h'(x)h''(x)e1,0h'(0)0,h''(0)所以,曲線y=f(x)與曲線y1x2x1只有獨一公共點(0,1).(證畢)x1a(a22、已知函數(shù)f(x)R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).xe求函數(shù)f(x)的極值;(2)當a1的值時,若直線l:ykx1與曲線yf(x)沒有公共點,求k的最大值.(1)fxa1ex,①當a0時,fx0,fx為,上的增函數(shù),所以函數(shù)fx無極值.②當a0時,令fx0,得exa,xlna.x,lna,fx0;xlna,,fx0.所以fx在,lna上單一遞減,在lna,上單一遞加,1故fx在xlna處獲得極小值,且極小值為flnalna,無極大值.綜上,當a0時,函數(shù)fx無極小值;當a0,fx在xlna處獲得極小值lna,無極大值.(2)當a1時,fxx11ex.直線l:ykx1與曲線yfx沒有公共點,等價于對于x的方程kx1x1R上沒有實數(shù)解,即對于x的方程:1ex在k1x1(*)ex在R上沒有實數(shù)解.①當k1時,方程(*)可化為1x0,在R上沒有實數(shù)解.化為1e②當k1時,方程(*)xex.k1令gxxex,則有g(shù)x1xex.令gx0,得x1,當x更改時,gx的更改狀況以下表:x,111,gx0gx1e當x1時,gxmin1,同時當x趨于時,gx趨于,e進而gx的取值范圍為1.,e所以當11k1,e

時,方程(*)無實數(shù)解,解得k的取值范圍是1e,1.綜上,得k的最大值為1.3、已知函數(shù)f(x)1x3(k1)x2，g(x)1kx，且f(x)在區(qū)間(2,)上為增323函數(shù)．21）務(wù)實數(shù)k的取值范圍；（2）若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個分歧的交點，務(wù)實數(shù)k的取值范圍．解：（1）由題意f(x)x2(k1)x∵f(x)在區(qū)間(2,)上為增函數(shù)，∴f(x)x2(k1)x0在區(qū)間(2,)上恒建立即k1x恒建立，又x2，∴k12，故k1∴k的取值范圍為k1（2）設(shè)h(x)f(x)g(x)x3(k1)x2kx1，323令h(x)①當k②當kxh(x)h(x)

0得xk或x1由（1）知k1，1時，h(x)(x1)20，h(x)在R上遞加，明顯分歧題意1時，h(x)，h(x)隨x的更改狀況以下表：(,k)k(k,1)1(1,)0—0↗極大值k3k21↘k1↗623極小值2因為k10，欲使f(x)與g(x)的圖象有三個分歧的交點，即方程2k3k2h(x)0有三個分歧的實根，故需10，即(k1)(k22k2)0∴623k1，解得k13k22k20綜上，所求k的取值范圍為k134、已知函數(shù)fxlnexa(a為常數(shù))是實數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)gxfxsinx是區(qū)間[一1，1]上的減函數(shù)．求a的值；(II)若gxt2t1在x∈[一1，1]上恒建立，求t的取值范圍．(Ⅲ)議論對于x的方程lnxx22exm的根的個數(shù)。f(x)解：（I）f(x)ln(exa)是奇函數(shù)，則f(0)0恒建立.ln(e0a)0.e0a1,a0.（II）又g(x)在[－1，1]上單一遞減，g(x)maxg(1)sin1,只要sin1t2t1,(t1)t2sin110(此中1)恒建立.令h()(t1)t2sin11(1),3則t10t1sin110,t2tsin10t1.t1t2而t2tsin10恒建立,（III）由（I）知f(x)x,方程為lnxx22exm,lnx,f2(x)x1lnx令f1(x)x22exm，f1(x)，xx2當x(0,e)時,f1(x)0,f1(x)在(0,e]上為增函數(shù)；xe)時,f1xf1(xe上為減函數(shù)，[,( )0,)在[0,)當xe時，f1(x)maxf1(e)1.而f2(x)(xe)2me2，e函數(shù)f1(x)、f2(x)在同一坐標系的大概圖象以下圖，∴①當me21,即me21時，方程無解.②當me2ee時，方程有一個根.③當me21,即me21時，方程有兩個根.ee5、.已知函數(shù)f(x)axsinx3(aR),且在,0,上的最大值為22

1,即me21ee，21）求函數(shù)f(x)的分析式；判斷函數(shù)f(x)在（0，π）內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明。（I）f(x)axsinx33在[0,]上恒建立，且能取到等號222g(x)xsinx在[0,]上恒建立，且能取到等號2a2g(x)sinxxcosx0yg(x)在[0,]上單一遞加2（II）f(x)xsinx3h(x)f(x)sinxxcosx2①當x[0,]時，f(x)0yf(x)在(0,]上單一遞加22f(0)f()33222②當x[2,]時，h(x)

0yf(x)在(0,]上有獨一零點22cosxxsinx0f(x)當x[,]上單一遞減220存在獨一x0(,)使f(x0)0f( )f()2224得：f(x)在[,x0)上單一遞加，(x0,]上單一遞減2得：x[,x0]時，f(x)0，2x[x0,]時，f(x0)f()0，yf(x)在[x0,]上有獨一零點由①②得：函數(shù)f(x)在(0,)內(nèi)有兩個零點。6、已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx在點x0處獲得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)f'(x)0的x的取值范圍為(1,3)，求：1）f(x)的分析式；2）若過點P(1,m)可作曲線yf(x)的三條切線，務(wù)實數(shù)m的取值范圍．解：（1）由題意得：f'(x)3ax22bxc3a(x1)(x3),(a0)∴在(,1)上f'(x)0；在(1,3)上f'(x)0；在(3,)上f'(x)0所以f(x)在x01處獲得極小值4∴abc4①，f'(1)3a2bc0②，f'(3)27a6bc0③a1由①②③聯(lián)立得：b6，∴f(x)x36x29xc9（2）設(shè)切點Q(t,f(t))，yf(t)f,(t)(xt)(3t212t9)xt(2t26t)過(1,m)令g'(t)6t26t126(t2t2)0，求得：t1,t2，方程g(t)0有三個根。需：g(1)023129m0m16g(2)01612249m0m11故：11m16；所以所務(wù)實數(shù)m的范圍為：(11,16)7、已知f(x)x3ax24x（a為常數(shù)）在x2時獲得一個極值，（1）確立實數(shù)t的取值范圍，使函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,2]上是單一函數(shù)；（2）若經(jīng)過點A（2，c）（c8）可作曲線yf(x)的三條切線，求c的取值范圍．解：（1）∵函數(shù)f(x)在x2時獲得一個極值，且f(x)3x22ax4，f(2)124a40，a2f(x)3x24x4(3x2)(x2)．x2或x2時，f(x)0,x2或x2時，f(x)0,2x2時，333f(x)0，f(x)在(2],[2,)上都是增函數(shù)，在[2,,2]上是減函335數(shù)．∴使f(x)在區(qū)間[t,2]上是單一函數(shù)的t的取值范圍是[2,2)3（2）由（1）知f(x)x32x24x．設(shè)切點為P(x0,y0)，則切線的斜率kf(x0)3x024x04，所以切線方程為：y(x032x024x0)(3x024x04)(xx0)．將點A(2,c)代人上述方程，整理得：2x038x028x08c0．