專題23導(dǎo)數(shù)單調(diào)性極值討論求參

/34/34/專題23導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值討論求參目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】導(dǎo)函數(shù)圖像判斷極值 1【題型二】原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像互相判斷 3【題型三】原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)圖像解不等式 5【題型四】求函數(shù)最值極值（不含參） 7【題型五】極值求參 9【題型六】單調(diào)性求參 11【題型七】不是單調(diào)函數(shù)求參 13【題型八】存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù) 14【題型九】多個單調(diào)區(qū)間求參 16【題型十】“兩根型”極值點(diǎn)不等式與范圍 17【題型十一】多參型極值求范圍 19培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 21培優(yōu)第二階——能力提升練 25培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 30【題型一】導(dǎo)函數(shù)圖像判斷極值【典例分析】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則極值點(diǎn)的個數(shù)為（????）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)要滿足兩個條件，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象逐個分析即可.【詳解】對于處處可導(dǎo)的函數(shù)，函數(shù)的極值點(diǎn)要滿足兩個條件，一個是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，另一個是該點(diǎn)左、右的導(dǎo)數(shù)值異號，由圖象可知，導(dǎo)函數(shù)與軸有5個交點(diǎn)，因?yàn)樵?附近的左側(cè)，右側(cè)，所以0不是極值點(diǎn)．其余四個點(diǎn)的左、右的導(dǎo)數(shù)值異號，所以是極值點(diǎn)，故極值點(diǎn)的個數(shù)是4.故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律通過導(dǎo)函數(shù)判斷極值：1.導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)。2.零點(diǎn)兩側(cè)異號（穿越零點(diǎn)）；3.導(dǎo)函數(shù)先正后負(fù)對應(yīng)極大值，先負(fù)后正對應(yīng)極小值【變式訓(xùn)練】1.函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（???????）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】觀察函數(shù)在內(nèi)的圖象與軸有四個公共點(diǎn)，利用極小值點(diǎn)的定義分析得解.【詳解】解：由導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象可知，函數(shù)在內(nèi)的圖象與軸有四個公共點(diǎn)，在從左到右第一個交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，它是極大值點(diǎn)；在從左到右第二個交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，它是極小值點(diǎn)；在從左到右第三個交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右正，它不是極值點(diǎn)；在從左到右第四個交點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，它是極大值點(diǎn).所以函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極小值點(diǎn)有個.故選：A.2.如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①x=-2是函數(shù)的極值點(diǎn)；②x=1是函數(shù)的極值點(diǎn)；③的圖象在處切線的斜率小于零；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．則正確命題的序號是（????）A．①② B．②④ C．②③ D．①④【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，與函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合圖象即可作出判斷.【詳解】對于①，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像可知，-2是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，且-2的左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值符號異號，故-2是極值點(diǎn)，故①正確；對于②，1不是極值點(diǎn)，因?yàn)?的左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)符號一致，故②錯誤；對于③，0處的導(dǎo)函數(shù)值即為此點(diǎn)的切線斜率顯然為正值，故③錯誤；對于④，導(dǎo)函數(shù)在恒大等于零，故為函數(shù)的增區(qū)間，故④正確.故選：D3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，的圖象如圖所示，下列說法正確的是(????)A．函數(shù)在上單調(diào)遞減 B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)在處取得極小值 D．函數(shù)共有1個極大值點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可判斷求解．【詳解】對于A，在，>0，f(x)單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B，在，不恒為正或負(fù)，故f(x)不單調(diào)，故B錯誤；對于C，在，恒成立，故f(x)單調(diào)遞增，故x=3不是極值點(diǎn)，故C錯誤；對于D，在，>0，f(x)單調(diào)遞增，在(－1,1)，<0，f(x)單調(diào)遞減，故x=－1是f(x)的極大值點(diǎn)，且是唯一的極大值點(diǎn)，故D正確．故選：D.【題型二】原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像互相判斷【典例分析】設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在同一個直角坐標(biāo)系中，和的圖象不可能是（????）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)常見函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分析，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)為原函數(shù)的切線斜率關(guān)系判斷即可【詳解】對A，和可滿足，故A可能成立；對B，和可滿足，故B可能成立；對C，和可滿足，故C可能成立；對D，因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)為原函數(shù)的斜率函數(shù)，易得若任一一個函數(shù)圖象為導(dǎo)函數(shù)，則原函數(shù)的切線斜率應(yīng)該恒非負(fù)或非正，故不滿足，故D錯誤；故選：D【提分秘籍】基本規(guī)律原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像：原函數(shù)“看增減”，原函數(shù)增減的“拐點(diǎn)”（拐點(diǎn)）是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。導(dǎo)函數(shù)“看正負(fù)”，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，是原函數(shù)增減的“拐點(diǎn)”（極值點(diǎn)）【變式訓(xùn)練】1.在同一坐標(biāo)系中作出三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列可能正確的序號是（????）A．①② B．①③ C．③④ D．①④【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系．把握住導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)變化趨勢選出不恰當(dāng)?shù)膱D象，從而可得出答案．【詳解】解：根據(jù)時，遞增，時，遞減可得，①②中函數(shù)的圖象的增減趨勢與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間是吻合的，可能正確；而③中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不為遞減，故錯誤，④中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不為遞減，故錯誤．故選：A.2.．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，將和的圖象畫在同一直角坐標(biāo)系中，下列不可能正確的是（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的的單調(diào)性之間的關(guān)系，判斷圖象的變化情況，可得答案.【詳解】對于A，如果把作為的圖象，則，原點(diǎn)處取等號，則單調(diào)遞增，故A正確；對于B，如果把作為的圖象，則，則單調(diào)遞增，故B正確；對于C，如果把作為的圖象，則，則單調(diào)遞增，故C正確；對于D，如果把作為的圖象，則，在個別點(diǎn)處取等號，則單調(diào)遞增，與圖中不符；如果把作為的圖象，則在圖象所對應(yīng)的范圍內(nèi)，在個別點(diǎn)處取等號，則單調(diào)遞減，與圖中不符；故D不可能，故選：D3.已知函數(shù)，若是的一個極小值點(diǎn)，則及其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，由題意得，即，再根據(jù)極小值點(diǎn)的定義，采用排除法即可求出答案．【詳解】解：設(shè)，則，由題意得，且在的左側(cè)附近時，，在的右側(cè)附近時，，∴，且在的左側(cè)附近時，，在的右側(cè)附近時，，故排除A，C；而B選項(xiàng)中，函數(shù)在上存在一個極小值點(diǎn)，但由圖可知，在上，恒成立，故排除B；故選：D．【題型三】原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)圖像解不等式【典例分析】已知上可導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集為（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)原函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號之間的關(guān)系，分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法運(yùn)算求解.【詳解】由的圖像可得：x00對于可得：當(dāng)時，則，∴，解得；當(dāng)時，則，故，不合題意，舍去；當(dāng)時，則，∴，解得；當(dāng)時，則，故，不合題意，舍去；當(dāng)時，則，∴，解得；綜上所述：不等式的解集為.故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律解含導(dǎo)函數(shù)的不等式，按照正負(fù)分類討論。【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示.記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（????）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)原函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】對于不等式對，當(dāng)時，，則結(jié)合圖象，知原不等式的解集為；當(dāng)時，，則結(jié)合圖象，知原不等式的解集為．綜上，原不等式的解集為．故選：A2.已知函數(shù)的圖象如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（????）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性，列不等式組求解即可．【詳解】因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，等價(jià)于，或，解得或．故選：B3.函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集（???）A． B．C． D．【答案】A【分析】先通過原函數(shù)的單調(diào)性判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，在判斷的正負(fù)即可【詳解】由函數(shù)的單調(diào)性可得，在上，在上又因?yàn)樵跒樨?fù)，在為正故的區(qū)間為故選：A【題型四】求函數(shù)最值極值（不含參）【典例分析】函數(shù)的極小值為（????）A． B．1 C．2 D．e【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值.【詳解】解：由，得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值為.故選：B.【提分秘籍】基本規(guī)律1.函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值2.函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上一定有最值，但不一定有極值【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)，則該函數(shù)的極小值為（????）A． B．3 C．0 D．1【答案】A【分析】利用函數(shù)的極小值的定義求解.【詳解】解：由題意得，令，得或－1，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以，所以極小值為e．故選：A．2.已知函數(shù)，，則函數(shù)的最大值為______.【答案】0【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可求出最值.【詳解】由得，當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減；因此函數(shù)在處取得極大值，也是最大值；即.故答案為：0.3.設(shè)，其中?，則?的極大值點(diǎn)個數(shù)是（????）A．1009 B．1010 C．2019 D．2020【答案】A【分析】先求出其導(dǎo)函數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值點(diǎn)的概念，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，令，即，解得，所以函數(shù)在遞增，在遞減，故函數(shù)的極大值點(diǎn)為，因?yàn)?，即，?009個.故選：A.【題型五】極值求參【典例分析】已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用多次求導(dǎo)的方法，列不等式來求得的取值范圍.【詳解】的定義域是，，令，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.要使有兩個極值點(diǎn)，則，此時，構(gòu)造函數(shù)，所以在上遞增，所以，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.故選：D【提分秘籍】基本規(guī)律極值求參數(shù)：導(dǎo)函數(shù)有“變號”零點(diǎn)；對于導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，可以分類討論求參，也可以分離參數(shù)數(shù)形結(jié)合求解求導(dǎo)后世一元二次型，則可以用“根的分布”求參【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)存在極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)可以取的一個值為（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得有兩個不等的正根，等價(jià)于的最小值小于0，分別討論、，求得的導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性和最值，解不等式可得m的取值范圍，再結(jié)合選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，由題意可得有兩個不等的正根，則的最小值小于0，又因?yàn)?，，?dāng)時，單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時，由圖象可得，一定有變號的正零點(diǎn)，令的根為，解得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取極小值，且為最小值，所以，化為，由于在上單調(diào)遞增，且時，，所以的解為，則，只有A選項(xiàng)才滿足，故選：A.2.在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則a5＝（????）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知：是方程的兩根，利用韋達(dá)定理和等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?又因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，即是方程的兩根，則有，由為等比數(shù)列可知：，因?yàn)椋?，所以，則有，所以，故選：.3.若函數(shù)在內(nèi)無極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】在在內(nèi)無變號零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定最小值和最大值的范圍即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)無極值，所以在在內(nèi)無變號零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和單調(diào)性知，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以或即可，解得或，故選：C.【題型六】單調(diào)性求參【典例分析】已知函數(shù)，若在上是單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意對恒成立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組求解.【詳解】解：由，得，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，對恒成立，即對恒成立，，解得，的取值范圍是.故選：A.【提分秘籍】基本規(guī)律單調(diào)性求參：單調(diào)增函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)大于0單調(diào)減函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)小于0注意在定義域內(nèi)，求參時是否能取“等”【變式訓(xùn)練】1.已知在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，推出在區(qū)間上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)的最值，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)。則在區(qū)間上恒成立即在區(qū)間上恒成立。設(shè)，函數(shù)在上是減函數(shù)，則所以．故選：D．2.“”是“函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)”的（????）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．即不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)單調(diào)性得到恒成立，計(jì)算得到，根據(jù)范圍的大小關(guān)系得到答案.【詳解】函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)，故恒成立.即恒成立，，故.故“”是“函數(shù)是上的單調(diào)增函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B3.已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，，當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍是（????）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，則每一段都為增函數(shù)，且的右側(cè)的函數(shù)值不小于左側(cè)函數(shù)值求得a的范圍，再根據(jù)時，恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立求解.【詳解】令，則，所以在上遞增，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，解得．又當(dāng)時，恒成立，即，即，當(dāng)時，，顯然成立；當(dāng)時，化簡可得．令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最小值0，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以．綜上可知．故選：C．【題型七】不是單調(diào)函數(shù)求參【典例分析】函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，實(shí)數(shù)的范圍是（????）A．或或 B．或C． D．不存在這樣的實(shí)數(shù)【答案】B【分析】求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，若在區(qū)間上不單調(diào)，故或者計(jì)算即得解.【詳解】由于令或，故在單調(diào)遞增；令，故在單調(diào)遞減.函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故：即或者即故實(shí)數(shù)的范圍是：或故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)；【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）A． B．C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)得，等價(jià)于在區(qū)間的函數(shù)值有正有負(fù)，解不等式組即得解.【詳解】解：，令，由于函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則在區(qū)間的函數(shù)值有正有負(fù)，而二次函數(shù)開口向上，對稱軸為軸，所以在區(qū)間上遞增，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.2.已知函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）A． B．C． D．【答案】D【分析】由于函數(shù)在不是單調(diào)函數(shù)，則在內(nèi)存在極值點(diǎn)，求導(dǎo)即可得結(jié)果．【詳解】由于函數(shù)在不是單調(diào)函數(shù)，則在內(nèi)存在極值點(diǎn)，所以在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解，．故選：D3.已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】把在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有零點(diǎn)，用分離參數(shù)法得到，規(guī)定函數(shù)，求出值域即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，所以在區(qū)間上有解，即在區(qū)間上有解．令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，且?dāng)時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：A【題型八】存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)【典例分析】已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】先把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立，列出不等式求解即可.【詳解】∵函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，∴函數(shù)在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立，，設(shè)，則或，即或，得或，則；故選：A．【提分秘籍】基本規(guī)律函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，使得成立；函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，使得成立.【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)在區(qū)間存在單調(diào)遞減區(qū)間,則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】先求導(dǎo)可得,則可轉(zhuǎn)化問題為在上有解,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,,因?yàn)?則若函數(shù)在區(qū)間存在單調(diào)遞減區(qū)間,即在上有解,即存在,使得成立,設(shè),則,當(dāng)時,,所以,即,故選:B2.已知函數(shù)在上不是單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】或．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，若函數(shù)不是單調(diào)減函數(shù)，說明導(dǎo)函數(shù)有大于零的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】∵函數(shù)，∴導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)在上不是單調(diào)減函數(shù)，則函數(shù)的判別式，即，解得或．3.若函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】求定義域，求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，求出，得到答案.【詳解】定義域?yàn)椋?，，?dāng)時，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，不合題意，舍去；當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)樵趦?nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A【題型九】多個單調(diào)區(qū)間求參【典例分析】若函數(shù)，有6個不同的單調(diào)區(qū)間，則的取值范圍是_______．【答案】【詳解】試題分析：由于的定義域?yàn)?，并且為偶函?shù)，所以要使在上有個不同的單調(diào)區(qū)間，只需在上有個不同的單調(diào)區(qū)間即可，因?yàn)闀r，，則只需，解得，故的取值范圍是．【變式訓(xùn)練】1.已知函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)有兩個不等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)存在三個單調(diào)區(qū)間，可得有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.2.已知函數(shù)，若函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】.【解析】對求導(dǎo)，可得，由函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間，可得有兩個不等實(shí)根，即有兩個不等實(shí)根,令，對其求導(dǎo)，可得其單調(diào)區(qū)間與極值，可得的取值范圍.【詳解】解：由，可得，函數(shù)，若函數(shù)存在三個單調(diào)區(qū)間即0有兩個不等實(shí)根，即有兩個不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為與的圖像有兩個不同的交點(diǎn)令，即，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，所以的范圍為,故答案為：3.函數(shù)恰有個單調(diào)區(qū)間的必要不充分條件是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得，然后對分類討論求出使有兩個不等根的的范圍，結(jié)合充分必要條件的判定方法得答案．【詳解】解：由，得，當(dāng)時，由，解得，函數(shù)有兩個單調(diào)區(qū)間；當(dāng)時，由，解得，即，此時函數(shù)恰有3個單調(diào)區(qū)間；當(dāng)時，，解得，即，此時函數(shù)恰有3個單調(diào)區(qū)間．綜上所述是函數(shù)恰有3個單調(diào)區(qū)間的充要條件，分析可得是其必要不充分條件．故選：．【題型十】“兩根型”極值點(diǎn)不等式與范圍【典例分析】已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則（????）A．或 B．是的極小值點(diǎn) C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則導(dǎo)數(shù)為有兩個根,由單調(diào)性及根與系數(shù)的關(guān)系等逐個判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個極值點(diǎn)，所以有兩個根,所以,,故選項(xiàng)錯誤;因?yàn)橛袃蓚€根,所以,即得,解得或,故選項(xiàng)正確;因?yàn)橛袃蓚€根,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以是的極大值點(diǎn),故選項(xiàng)錯誤;故選:A.【變式訓(xùn)練】1.設(shè)是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)b的最小值為（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意求導(dǎo)，從而可得是方程的兩個根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，，從而可化簡，從而解得．【詳解】解：∵，∴，∴是方程的兩個根，∴，，∵，，∴兩根一正一負(fù)，∴，即，故.設(shè)，設(shè)，對稱軸方程為，所以當(dāng)時，函數(shù).故.故選：B．2.已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，且，則下列說法不正確的是（????）A． B．C． D．有極小值點(diǎn)【答案】C【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，則，當(dāng)時，在上恒成立，所以函數(shù)單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個零點(diǎn)且，對A，則，且，所以，解得，所以A項(xiàng)正確；對B，，且，，故，，所以，所以B正確；對C，由，則，但不能確定，所以C不正確；對D，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為，且，所以D正確；故選：C.3.設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)極值點(diǎn)的分布，求參數(shù)的取值范圍.【詳解】，則，是的兩相異實(shí)根，則解得．故選:D【題型十一】多參型極值求范圍【典例分析】已知關(guān)于的不等式對任意恒成立，則的最大值為（????）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】討論的取值范圍，利用函數(shù)圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而得解.【詳解】設(shè)，，若，對任意恒成立，則，對任意恒成立，當(dāng)時，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，顯然，由圖可知，對任意不恒成立；當(dāng)時，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，由圖可知，臨界條件是直線與曲線的圖象相切時，由，求導(dǎo)，設(shè)，解得，且，∴當(dāng)?shù)那芯€斜率為1時，切點(diǎn)坐標(biāo)為，故，所以即兩邊同除以，，令求導(dǎo)令，得，即當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取到最大值，且故的最大值為故選：C.【變式訓(xùn)練】1.，不等式恒成立，則的最大值是（????）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性，得到，進(jìn)而得到恒成立，求出函數(shù)，的最值，得到答案.【詳解】令，，，顯然，當(dāng)時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，無最小值，舍去；當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，不等式恒成立，所以，所以，恒成立，令，，，?dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以，則的最大值為.故選：D2.．設(shè)，，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（????）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式在上恒成立，令，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求得最大值，轉(zhuǎn)化為，再令，得到，求其最大值即可.【詳解】因?yàn)椴坏仁皆谏虾愠闪?，所以不等式在上恒成立，令，則在上恒成立，令，所以，若，則，在遞增，當(dāng)時，，不等式不成立，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，所以，所以，所以，令，則，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最小值，所以的最小值是故選：D3.已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的取值范圍是（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)為函數(shù)的兩個零點(diǎn)，其中，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，.表示則，再運(yùn)用基本不等式可得，令，求導(dǎo)，得出在所給區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，原函數(shù)的單調(diào)性，可得選項(xiàng).【詳解】不妨設(shè)為函數(shù)的兩個零點(diǎn)，其中，，則，.則，由，，所以，可令，當(dāng)，恒成立，所以.則的最大值為，此時，，所以，時，，.所以的取值范圍是.故選：B.分階培優(yōu)分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1．函數(shù)的最小值是（????）A． B．4 C． D．3【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性并求最值.【詳解】由題意可得，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值是．故選:C.2．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】求導(dǎo)，然后令，可求出結(jié)果.【詳解】，，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（????）A．為的極小值點(diǎn) B．2為的極大值點(diǎn)C．在區(qū)間上，是增函數(shù) D．在區(qū)間上，是減函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合極值點(diǎn)定義判斷即可.【詳解】對AD，在，，單調(diào)遞增；在，，單調(diào)遞減，故為的極大值點(diǎn)，AD錯；對B，在，，單調(diào)遞增；在，，單調(diào)遞減，故2為的極大值點(diǎn)，B對；對C，在，，單調(diào)遞減；在，，單調(diào)遞增，C錯.故選：B4．已知函數(shù)的極值點(diǎn)為，函數(shù)的最大值為，則（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】對求定義域，求導(dǎo)，觀察出導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到，對求定義域，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性和極值，最值，得到，判斷出.【詳解】的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，且，，所以，．的定義域?yàn)椋?，?dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取得極大值，也是最大值，，即．所以．故選：A5．若函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（????）A． B． C． D．【答案】A【分析】求定義域，求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，求出，得到答案.【詳解】定義域?yàn)?，，，?dāng)時，恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，不合題意，舍去；當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)樵趦?nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A6．若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而可知函數(shù)在上為增函數(shù)，利用分段函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解之即可.【詳解】當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由題意可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，則，可得，且有，解得.綜上所述，.故選：B.7．已知是的導(dǎo)函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的為（????）A．與的圖像關(guān)于直線對稱B．與有相同的最大值C．將圖像上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度可得的圖像D．當(dāng)時，與都在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BC【分析】先求得的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)三角函數(shù)圖像平移,根據(jù)函數(shù)的對稱性,根據(jù)求三角函數(shù)的值域，根據(jù)求解三角函數(shù)的單調(diào)性等分別驗(yàn)證ABCD選項(xiàng)的正誤.【詳解】已知的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，，故A選項(xiàng)錯誤；，其中，最大值為，，其中，最大值為，故B選項(xiàng)正確；，.將的圖像向右平移個單位得的圖像，故C選項(xiàng)正確；當(dāng)時，，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，綜上可知和在上單調(diào)性相同，但可能遞增也可能遞減，故D選項(xiàng)錯誤.故選：BC8．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若為偶函數(shù)，，且，則不等式的正整數(shù)解以是（????）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的對稱性、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)、通過構(gòu)造新函數(shù)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以所以為即的對稱軸，即，因?yàn)?，所以，所以為的對稱中心①，，所以，所以在R上單調(diào)遞減，記，即，由①可知，所以，因?yàn)?，所以，所以．故選擇：AB培優(yōu)第二階——能力提升練1．已知函數(shù)，則（????）A．在上單調(diào)遞增 B．無極小值C．無最小值 D．有極小值，極小值為【答案】ABC【分析】求導(dǎo)得，判斷的正負(fù)情況結(jié)合原函數(shù)的定義域和奇偶性可得ABC正確.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)榍覟榕己瘮?shù)，因?yàn)椋?dāng)時，，單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱知在上單調(diào)遞增，則A正確；易知單調(diào)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)無極值和最值，則在和內(nèi)均沒有極值和最值，則B,C正確，D錯誤.故選：ABC.2．已知函數(shù)在處有極值，且極值為8，則（????）A．有三個零點(diǎn)B．C．曲線在點(diǎn)處的切線方程為D．函數(shù)為奇函數(shù)【答案】AC【分析】由條件根據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求，判斷B，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線，判斷C，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷D.【詳解】由題意得，又，又，解得(舍去）或，故B項(xiàng)錯誤；，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又，，，，所以有三個零點(diǎn)，故A項(xiàng)正確；又，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，故C項(xiàng)正確；，故D項(xiàng)錯誤.故選：AC.3．已知函數(shù)，下列命題正確的是（????）A．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則B．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則在上的最小值為C．若在上單調(diào)遞增，則D．若在上恒成立，則【答案】AB【分析】對于A，由可求出a的值，再檢驗(yàn)；對于B，由選項(xiàng)A，可求得，然后利用導(dǎo)數(shù)可求出在上的最小值；對于C，由題意可得，利用分離常數(shù)法得到在上恒成立.令，利用導(dǎo)數(shù)即可求出a的范圍；對于D，將問題轉(zhuǎn)化為即在上恒成立.令，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可.【詳解】對于A，由得.因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，得.此時.所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，所以A正確.對于B：由選項(xiàng)A，可知，則.由，得或；由，得.所以在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，有在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以時，取得最小值.故B正確；對于C：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即，得在上恒成立.令，則，所以在單調(diào)遞增，所以當(dāng)，有，即，所以.故C錯誤.對于D：由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以.所以.故D錯誤.故選：AB4．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（????）A．函數(shù)只有兩個極值點(diǎn)B．方程有且只有兩個實(shí)根，則的取值范圍為C．方程共有4個根D．若，，則的最大值為2【答案】ACD【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值判斷；分析函數(shù)的性質(zhì)，借助圖象判斷；結(jié)合圖象和函數(shù)的零點(diǎn)判斷；由結(jié)合取最大值的x值區(qū)間判斷D作答.【詳解】對于，對求導(dǎo)得：，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，故選項(xiàng)正確；對于，由選項(xiàng)知，作出曲線及直線，如圖，要使方程有且只有兩個實(shí)根，觀察圖象得當(dāng)時，直線與曲線有2個交點(diǎn)，所以方程有且只有兩個實(shí)根，則的取值范圍為，故選項(xiàng)錯誤；對于，由得：，解得，令，則，結(jié)合圖象方程有兩解，，，所以或，因?yàn)?，所以，所以方程有兩解；又因?yàn)椋Y(jié)合圖象可知：也有兩解，綜上：方程共有4個根，故選項(xiàng)正確；對于，因?yàn)椋瘮?shù)在上單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，所以t的最大值為2，故選項(xiàng)正確.故選：CD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個數(shù).5．已知函數(shù)若方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)并畫出圖象，結(jié)合圖象確定的取值范圍，再構(gòu)造函數(shù)，求出最大值，建立不等式求解作答.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，取值集合為，函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)，當(dāng)時，，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，而，在坐標(biāo)平面內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，即直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，不妨令，觀察圖象知，直線必與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，則，，由得：，由知，，即有，，則有，，令函數(shù)，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，，依題意，，因此，解得，綜上得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：6．若函數(shù)在上存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值可以是______.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，函數(shù)的極小值在內(nèi)，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，令得，，?dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，有極小值，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最小值，所以，解得，故答案為：內(nèi)任一值均可.7．已知函數(shù)，，若，，則的最大值為______．【答案】【分析】對已知等式進(jìn)行同構(gòu)可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)遞增，由此可得，從而將所求式子化為；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即為所求最大值.【詳解】由得：；由得：，；，令，，，在上單調(diào)遞增，；令，則，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解多變量的式子最值的問題；解題關(guān)鍵是能夠?qū)τ谝阎仁竭M(jìn)行同構(gòu)變形，將問題轉(zhuǎn)化為某一單調(diào)函數(shù)的兩個函數(shù)值相等的問題，從而確定兩個變量之間的關(guān)系，將所求式子化為單變量的式子來進(jìn)行求解.8．已知關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍是_____．【答案】【分析】設(shè)，令，要使恒成立，即恒成立.求出最小值，令得到，再求出的取值范圍即可.【詳解】設(shè)，令，要使恒成立，即恒成立.，由可得，在上有一個解，即，，又，，因此當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.則，，將代入，得，設(shè)，，令，解得.因此當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.，即的取值范圍是，故的取值范圍是.故答案為：培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．函數(shù)在定義域上的最小值為_________.【答案】【分析】化簡得，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：，令，則，令，則，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，又，則當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，所以.故答案為：.2．若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．【答案】【分析】由有兩個不相等的實(shí)根，即有兩個不相等的實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】由，得，則有兩個不相等的實(shí)根，即有兩個不相等的實(shí)根，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，的增長速率