高中數(shù)學(xué)第一章解三角形第六課時(shí)解三角形應(yīng)用舉例教案(二)蘇教版必修5

第六課時(shí)解三角形應(yīng)用舉例（二）教課目的：進(jìn)一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識(shí)在實(shí)質(zhì)中有著寬泛的應(yīng)用，嫻熟掌握實(shí)質(zhì)問題向解斜三角形種類的轉(zhuǎn)變，經(jīng)過解斜三角形的應(yīng)用的教課，連續(xù)提升運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)質(zhì)問題的能力；經(jīng)過解斜三角形在實(shí)質(zhì)中的應(yīng)用，要修業(yè)生領(lǐng)會(huì)詳細(xì)問題能夠轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄蟮臄?shù)學(xué)識(shí)題，以及數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)，生活實(shí)質(zhì)中所發(fā)揮的重要作用.教課要點(diǎn)：1.實(shí)質(zhì)問題向數(shù)學(xué)識(shí)題的轉(zhuǎn)變；2.解斜三角形的方法.教課難點(diǎn)：實(shí)質(zhì)問題向數(shù)學(xué)識(shí)題轉(zhuǎn)變思路確實(shí)定.教課過程：Ⅰ.復(fù)習(xí)回首上一節(jié)，我們一同學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)三角形問題在實(shí)質(zhì)中的應(yīng)用，認(rèn)識(shí)了一些把實(shí)質(zhì)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榻馊切螁栴}的方法，掌握了必定的解三角形的方法與技巧.這一節(jié)，我們給出三個(gè)例題，要求大家試試用上一節(jié)所學(xué)的方法加以解決.Ⅱ.例題指導(dǎo)［例1］以下圖，為了丈量河對(duì)岸、B兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定A一基線CD，現(xiàn)已測出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，試求AB的長.剖析：以下圖，對(duì)于AB求解，能夠在△ABC中或許是△ABD中求解，若在△ABC中，由∠ACB＝α－β，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解.而AC可在△ACD內(nèi)利用正弦定理求解，BC可在△BCD內(nèi)由正弦定理求解.解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝α，∠ADC＝δ，由正弦定理得＝asinδasinδ0＝ACsin[180－（α＋δ）]sin（α＋δ）在△BCD中，由正弦定理得BC＝sin[180asinβasinβ0－（β＋γ）]＝sin（β＋γ）在△ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又由于∠ACB＝α－β，因此用余弦定2理.就能夠求得AB＝AC＋BC－2AC·BC·cos（α－β）評(píng)論：（1）要修業(yè)生嫻熟掌握正、余弦定理的應(yīng)用；2）注意領(lǐng)會(huì)例1求解過程在實(shí)質(zhì)中間的應(yīng)用.［例2］據(jù)氣象臺(tái)預(yù)告，距S島300km的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30km的速度向北偏西30°的方向挪動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心270km

以內(nèi)的地域?qū)⒂龅脚_(tái)風(fēng)的影響.問：S島能否受其影響?若遇到影響，從此刻起經(jīng)過多少小時(shí)S島開始遇到臺(tái)風(fēng)的影響?連續(xù)時(shí)間多久?說明原因.剖析：設(shè)B為臺(tái)風(fēng)中心，則B為AB邊上動(dòng)點(diǎn)，SB也隨之變化.S島能否受臺(tái)風(fēng)影響可轉(zhuǎn)變?yōu)镾B≤270這一不等式能否有解的判斷，則需表示SB，可設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過t小時(shí)抵達(dá)B點(diǎn)，則在△ABS中，由余弦定理可求SB.解：設(shè)臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過t小時(shí)抵達(dá)B點(diǎn)，由題意，∠SAB＝90°－30°＝60°在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：222SB＝SA＋AB－2SA·AB·cosSAB3002＋（30t）2－2·300·30tcos60°若S島遇到臺(tái)風(fēng)影響，則應(yīng)知足條件|SB|≤270，即

22SB≤270化簡整理得，t2－10t＋19≤0解之得，5－6≤t≤5＋6因此從此刻起，經(jīng)過5－6小時(shí)后影響結(jié)束.

S島開始遇到影響，（5＋

6）小時(shí)連續(xù)時(shí)間：（5＋

6）－（5－

6）＝26小時(shí).答：S島遇到臺(tái)風(fēng)影響，從此刻起，經(jīng)過（5－6）小時(shí)，臺(tái)風(fēng)開始影響S島，且連續(xù)時(shí)間為26小時(shí).評(píng)論：本題為探究性命題，能夠假定命題建立去追求解存在條件，也可假定命題不建立去追求解存在條件.本題求解過程采納了第一種思路.≤270能否有解最后轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)于t的一元二次不等式能否有解，與一SB元二次不等式解法相聯(lián)系.說明：本節(jié)兩個(gè)例題要修業(yè)生在教師指導(dǎo)下自己達(dá)成，以逐漸提升解三角形應(yīng)用題的能力.練習(xí)：1.海中有一小島，四周3．8海里有暗礁，軍艦由西向東航行到，望BA見島在北75°東，航行8海里到C，看見島B在北60°東，若此艦不改變航向連續(xù)行進(jìn)，有無觸礁危險(xiǎn)?答案：不會(huì)觸礁.直線AB外有一點(diǎn)C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽車以80km／h速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50公里的時(shí)速由B向C行駛，問運(yùn)動(dòng)開始幾小時(shí)后，兩車的距離最小.答案：約1.3小時(shí).Ⅲ.課時(shí)小結(jié)經(jīng)過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明確解斜三角形知識(shí)在實(shí)質(zhì)中的寬泛應(yīng)用，嫻熟掌握由實(shí)質(zhì)問題向解斜三角形種類問題的轉(zhuǎn)變，逐漸提升數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力.Ⅳ.課后作業(yè)課本P21習(xí)題4，5，6.解三角形應(yīng)用舉例［例1］某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出求救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，立刻測出該漁船在方向角為45°、距離A為10nmile的C處，并測得漁船正沿方向角為105°的方向，以9nmile／h的速度向某小島B聚攏，我海軍艦艇立刻以21nmile／h的速度前往救援，試問艦艇應(yīng)依據(jù)如何的航向行進(jìn)?并求出湊近漁船所用的時(shí)間.［例2］如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處（3－1）海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，受命以103海里／時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里／時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃跑.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間.［例3］用相同高度的兩個(gè)測角儀AB和CD同時(shí)看見氣球E在它們的正西方向的上空，分別測得氣球的仰角是α和β,已知、D間的距離為a，B測角儀的高度是b，求氣球的高度.［例4］以下圖，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延伸線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊△PCD，且點(diǎn)D與圓心O分別在PC的雙側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值.［例5］以下圖，為了丈量河對(duì)岸、B兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定A一基線CD，現(xiàn)已測出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，試求AB的長.［例6］據(jù)氣象臺(tái)預(yù)告，距S島300km的A處有一臺(tái)風(fēng)中心形成，并以每小時(shí)30km的速度向北偏西30°的方向挪動(dòng)，在距臺(tái)風(fēng)中心270km內(nèi)的地域?qū)⒂龅脚_(tái)風(fēng)的影響.問：S島能否受其影響?若遇到影響，從此刻起經(jīng)過多少小時(shí)S島開始遇到臺(tái)風(fēng)的影響?連續(xù)時(shí)間多久?說明原因.練習(xí)：

以1.海中有一小島B，四周3．8海里有暗礁，軍艦由西向東航行到A，望見島在北75°東，航行8海里到C，看見島B在北60°東，若此艦不改變航向連續(xù)行進(jìn)，有無觸礁危險(xiǎn)?直線AB外有一點(diǎn)C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽車以80km／h速度由A向B行駛，同時(shí)摩托車以50公里的時(shí)速由B向C行駛，問運(yùn)動(dòng)開始幾小時(shí)后，兩車的距離最小.解三角形應(yīng)用舉例1．在△ABC中，以下各式正確的是（）A.a＝sinBB.asin＝csinBbsinACC.asin(A＋B)＝csinAD.c2＝a2＋b2－2abcos(AB)2．已知三角形的三邊長分別為a、b、a2＋ab＋b2，則這個(gè)三角形的最大角是（）A.135°B.120°C.60°D.90°3．海上有A、B兩個(gè)小島相距10nmile，從A島望B島和C島成60°的視角，從B島望A島和C島成75°角的視角，則B、C間的距離是（）A.52nmileB.103nmileC.103nmile6D.56nmile4．以以下圖，為了丈量地道AB的長度，給定以下四組數(shù)據(jù)，丈量應(yīng)該用數(shù)據(jù)A.α、a、bB.α、β、aC.a、b、γD.α、β、γ5．某人以時(shí)速akm向東行走，此時(shí)正刮著時(shí)速akm的南風(fēng)，那么這人感覺的風(fēng)向?yàn)?，風(fēng)速為.6．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，則c＝.7．某船開始看見燈塔在南偏東30°方向，以后船沿南偏東60°的方向航行30nmile后看見燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是.8．甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?00，則甲、乙兩樓的高分別是.9．在塔底的水平面上某點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫棣?，由此點(diǎn)向塔沿直線行走30米，測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再向塔行進(jìn)103米，又測得塔頂?shù)难鼋菫?θ，則塔高是米.10．在△ABC中，求證：cos2Acos2B11a2－b2＝a2－b2.11．欲測河的寬度，在一岸邊選定、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸的標(biāo)志物，測得∠CABAC＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120m，求河寬.（精準(zhǔn)到0.01m）12．甲艦在A處，乙艦在A的南偏東45°方向，距A有9nmile，并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲艦以28nmile/h的速度行駛，應(yīng)沿什么方向，用多少時(shí)間，能趕快追上乙艦？解三角形應(yīng)用舉例答案1．C2．B3．D4．C5．東南2a6．40107．1038．203，20339．1510．在△ABC中，求證：cos2Acos2B11a2－b2＝a2－b2.1－2sin2A1－2sin2B11sin2Asin2B提示：左側(cè)＝a2－b2＝(a2－b2)－2(a2－b2)＝右側(cè).11．欲測河的寬度，在一岸邊選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸的標(biāo)志物C，測得∠CAB45°，∠CBA＝75°，AB＝120m，求河寬.（精準(zhǔn)到0.01m）解：由題意C＝180°－A－B＝180°－45°－75°＝60°ABBC在△ABC中，由正弦定理sinC＝sinA2ABsinA120×sin450120×2∴BC＝sinC＝sin600＝3＝4062S△ABC＝1·sin＝1·h2ABBCB2AB∴h＝BCsinB＝406×6＋23≈94.644＝60＋20∴河寬94.64米.12．甲艦在A處，乙艦在A的南偏東45°方向，距A有9nmile，并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲艦以28nmile/h的速度行駛，應(yīng)沿什么方向，用多少時(shí)間，能趕快追上乙艦？解：設(shè)th甲艦可追上乙艦，相遇點(diǎn)記為C則在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝120°由