中國科學大學隨機過程(孫應飛)復習試題和答案

/設是一個實的零均值二階矩過程,其相關函數為,且是一個周期為的函數,即,求方差函數。解：由定義,有：試證明：如果是一獨立增量過程,且,那么它必是一個馬爾可夫過程。證明：我們要證明：,有形式上我們有： 因此,我們只要能證明在已知條件下,與相互獨立即可。由獨立增量過程的定義可知,當時,增量與相互獨立,由于在條件和下,即有與相互獨立。由此可知,在條件下,與相互獨立,結果成立。設隨機過程為零初值〔的、有平穩(wěn)增量和獨立增量的過程,且對每個,,問過程是否為正態(tài)過程,為什么？解：任取,則有：由平穩(wěn)增量和獨立增量性,可知并且獨立因此是聯合正態(tài)分布的,由可知是正態(tài)過程。設為為零初值的標準布朗運動過程,問次過程的均方導數過程是否存在？并說明理由。解：標準布朗運動的相關函數為：如果標準布朗運動是均方可微的,則存在,但是：故不存在,因此標準布朗運動不是均方可微的。設,是零初值、強度的泊松過程。寫出過程的轉移函數,并問在均方意義下,是否存在,為什么？解：泊松過程的轉移率矩陣為：其相關函數為：,由于在,連續(xù),故均方積分存在。在一計算系統中,每一循環(huán)具有誤差的概率與先前一個循環(huán)是否有誤差有關,以0表示誤差狀態(tài),1表示無誤差狀態(tài),設狀態(tài)的一步轉移矩陣為：試說明相應齊次馬氏鏈是遍歷的,并求其極限分布〔平穩(wěn)分布。解：由遍歷性定理可知此鏈是遍歷的,極限分布為。設齊次馬氏鏈一步轉移概率矩陣如下：〔a寫出切普曼－柯爾莫哥洛夫方程〔C－K方程；〔b求步轉移概率矩陣； 〔c試問此馬氏鏈是平穩(wěn)序列嗎？為什么？解：〔a略〔b〔c此鏈不具遍歷性設,其中為強度為的Poission過程,隨機變量與此Poission過程獨立,且有如下分布：問：隨機過程是否為平穩(wěn)過程？請說明理由。由于：故是平穩(wěn)過程。設,其中與獨立,都服從〔a此過程是否是正態(tài)過程？說明理由?！瞓求此過程的相關函數,并說明過程是否平穩(wěn)。證明：〔a任取,則有：由于與獨立,且都服從,因此可得服從正態(tài)分布,由上式可知隨機向量服從正態(tài)〔高斯分布,所以過程是正態(tài)〔高斯過程。〔b由：由于相關函數不是時間差的函數,因此此過程不是平穩(wěn)過程。設,是零初值、強度的泊松過程?！瞐求它的概率轉移函數；〔b令,說明存在,并求它的二階矩。解：〔a〔b先求相關函數：對任意的,在處連續(xù),故均方連續(xù),因此均方可積,存在。將代入計算積分即可。由,得：設一口袋中裝有三種顏色〔紅、黃、白的小球,其數量分別為3、4、3?，F在不斷地隨機逐一摸球,有放回,且視摸出球地顏色計分：紅、黃、白分別計1、0、-1分。第一次摸球之前沒有積分。以表示第次取出球后的累計積分,〔a,是否齊次馬氏鏈？說明理由。〔b如果不是馬氏鏈,寫出它的有窮維分布函數族；如果是,寫出它的一步轉移概率和兩步轉移概率?！瞔令,求。解：〔a是齊次馬氏鏈。由于目前的積分只與最近一次取球后的積分有關,因此此鏈具有馬氏性且是齊次的。狀態(tài)空間為：?！瞓〔c即求首達概率,注意畫狀態(tài)轉移圖?？疾靸蓚€諧波隨機信號和,其中：式中和為正的常數；是內均勻分布的隨機變量,是標準正態(tài)分布的隨機變量?！瞐求的均值、方差和相關函數；〔b若與獨立,求與的互相關函數。解：〔a,〔b令諧波隨機信號：式中為固定的實數；是內均勻分布的隨機變量,考察兩種情況：〔a幅值為一固定的正實數；〔b幅值為一與獨立,分布密度函數為的隨機變量；試問諧波隨機信號在兩種情況下是平穩(wěn)的嗎？〔a如12題〔b略設是一強度為的Poission過程,記,試求隨機過程的均值和相關函數。解：利用導數過程相關函數與原過程相關函數的關系即可得：研究下列隨機過程的均方連續(xù)性,均方可導性和均方可積性。當均方可導時,試求均方導數過程的均值函數和相關函數?！瞐,其中是相互獨立的二階矩隨機變量,均值為,方差為；〔b,其中是相互獨立的二階矩隨機變量,均值為,方差為。略求下列隨機過程的均值函數和相關函數,從而判定其均方連續(xù)性和均方可微性?！瞐,其中是參數為1的Wienner過程?！瞓,其中是參數為的Wienner過程。解：〔a連續(xù),故均方連續(xù),均方可積?！瞓均方連續(xù),均方可積。討論Wienner過程和Poission過程的均方連續(xù)性、均方可導性和均方可積性。解：略。設有平穩(wěn)隨機過程,它的相關函數為,其中為常數,求〔為常數的自協方差函數和方差函數。解：略。設有實平穩(wěn)隨機過程,它的均值為零,相關函數為,若,求的自協方差函數和方差函數。解：設和是參數分別為和的時齊Poission過程,證明在的任一到達時間間隔內,恰有個事件發(fā)生的概率為：證明：令為的任一到達時間間隔并且,即的分布密度為：由此可知：設隨機振幅、隨機相位正弦波過程,其中隨機變量和相互獨立,且有分布：令：試求過程的均值函數。解：由定義,隨機過程的均值函數為：而由于當時,隨機變量的分布密度為：因此有：即：設有一泊松過程,固定兩時刻,且,試證明證明：由于,有其中所以設為零均值的標準布朗運動,和為兩個待定的正常數〔,問在什么情況下仍為標準的布朗運動？說明理由。解：由為標準布朗運動可知為正態(tài)過程,由正態(tài)分布的性質可知為正態(tài)過程,令,則有因此,要使仍為標準的布朗運動,必須,即：設有無窮多只袋子,各裝有紅球只,黑球只及白球只。今從第1個袋子隨機取一球,放入第2個袋子,再從第2個袋子隨機取一球,放入第3個袋子,如此繼續(xù)。令〔a試求的分布；〔b試證為馬氏鏈,并求一步轉移概率。解：〔a的分布為：〔b的一步轉移概率為：設有隨機過程,與是相互獨立的正態(tài)隨機變量,期望均為0,方差分別為和。證明過程均方可導,并求導過程的相關函數。證明：計算得：由于相關函數的導數為：它是一連續(xù)函數,因此過程均方可導,導過程的相關函數由上式給出。設是初值為零標準布朗運動過程,試求它的概率轉移密度函數。解：由標準維納過程的定理：設為標準維納過程,則對任意,的聯合分布密度為：其中：可知：當時,的聯合分布密度為：的分布密度為：因此設有微分方程,初值為常數,是標準維納過程,求隨機過程在時刻的一維概率密度。解：方程的解：由于為維納過程,故為正態(tài)過程,因此有：故的一維概率密度為：設給定隨機過程及實數,定義隨機過程試將的均值函數和自相關函數用過程的一維和二維分布函數來表示。解：由均值函數的定義,有：由自