（全國(guó)通用）2023年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過(guò)專題09函數(shù)與方程（含解析）文

PAGEPAGE1考點(diǎn)09函數(shù)與方程結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù).一、函數(shù)的零點(diǎn)1．函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)，我們把使成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn)．2．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即方程有實(shí)數(shù)根?函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)有零點(diǎn)．【注】并非所有的函數(shù)都有零點(diǎn)，例如，函數(shù)f(x)=x2＋1，由于方程x2＋1=0無(wú)實(shí)數(shù)根，故該函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．3．二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)2104．零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得，這個(gè)也就是方程的根.【注】上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).5．常用結(jié)論(1)假設(shè)連續(xù)不斷的函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，那么至多有一個(gè)零點(diǎn)；(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；(3)函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)；(4)函數(shù)有零點(diǎn)方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，其中為常數(shù).二、二分法1．二分法的概念對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟給定精確度ε，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下：①確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度ε；②求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；③計(jì)算f(c)；a．假設(shè)f(c)=0，那么c就是函數(shù)的零點(diǎn)；b．假設(shè)f(a)·f(c)<0，那么令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c))；c．假設(shè)f(c)·f(b)<0，那么令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b))．④判斷是否到達(dá)精確度ε：即假設(shè)|a?b|<ε，那么得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否那么重復(fù)②③④.【速記口訣】定區(qū)間，找中點(diǎn)；中值計(jì)算兩邊看，同號(hào)丟，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間．重復(fù)做，何時(shí)止，精確度來(lái)把關(guān)口．考向一函數(shù)零點(diǎn)〔方程的根〕所在區(qū)間的判斷函數(shù)零點(diǎn)的判定方法(1)定義法〔定理法〕：使用零點(diǎn)存在性定理，函數(shù)必須在區(qū)間上是連續(xù)的，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．(2)方程法：判斷方程是否有實(shí)數(shù)解．(3)圖象法：假設(shè)一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，那么可考慮用圖象法求解，如，作出和的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).典例1函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(1,2)與(2,3)【答案】B【規(guī)律總結(jié)】判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法：一般而言判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法是將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求出函數(shù)的值，進(jìn)行符號(hào)判斷即可得出結(jié)論．此類問(wèn)題的難點(diǎn)往往是函數(shù)值符號(hào)的判斷，可運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷．1．方程log3x＋x=3的解所在的區(qū)間為A．(0,2) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)考向二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．學(xué)%(2)零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì)．(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).典例2函數(shù)f(x)=2x＋lg(x＋1)?2的零點(diǎn)有A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】B解法二：在同一坐標(biāo)系中作出h(x)=2?2x和g(x)=lg(x＋1)的圖象，如下圖，由圖象可知h(x)=2?2x和g(x)=lg(x＋1)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)=2x＋lg(x＋1)?2與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn)．2．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．0 B．1C．2 D．3考向三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題高考對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的考查多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在解答題中．常與函數(shù)的圖象及性質(zhì)相結(jié)合，且主要有以下幾種常見(jiàn)類型及解題策略．1．函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根求解參數(shù)的關(guān)鍵是結(jié)合條件給出參數(shù)的限制條件，此時(shí)應(yīng)分三步：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；③解不等式，即得參數(shù)的取值范圍．在求解時(shí)，注意函數(shù)圖象的應(yīng)用．2．函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)或參數(shù)的取值范圍一般情況下，常利用數(shù)形結(jié)合法，把此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．3．借助函數(shù)零點(diǎn)比擬大小或直接比擬函數(shù)零點(diǎn)的大小關(guān)系要比擬f(a)與f(b)的大小，通常先比擬f(a)、f(b)與0的大?。僭O(shè)直接比擬函數(shù)零點(diǎn)的大小，那么可有以下三種常用方法：①求出零點(diǎn)，直接比擬大??；②確定零點(diǎn)所在區(qū)間；③同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)圖象，由零點(diǎn)位置關(guān)系確定大小.典例3對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?〞：,設(shè)，假設(shè)函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是A．(?2,1) B．C．時(shí)，f(x)=x，那么方程f(x)=log3|x|的解有A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．多于4個(gè)5．三個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)依次為，那么A． B．C． D．6．假設(shè)函數(shù)f(x)=x3＋ax2＋bx＋c有極值點(diǎn)x1，x2，且f(x1)=x1，那么關(guān)于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是A．3 B．4C．5 D．67．函數(shù)，假設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)?m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為A． B．C． D．8．是函數(shù)在內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，那么A． B．C． D．9．假設(shè)函數(shù)有零點(diǎn)，但不能用二分法求其零點(diǎn)，那么的值為_(kāi)_____．10．函數(shù)，函數(shù)滿足，假設(shè)函數(shù)有10個(gè)零點(diǎn)，那么所有零點(diǎn)之和為_(kāi)__________．1．〔2022年高考新課標(biāo)Ⅲ卷〕函數(shù)有唯一零點(diǎn)，那么a=A． B．C． D．12．〔2022年高考安徽卷〕以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是A．y=lnx B．C．y=sinx D．y=cosx3．〔2022年高考天津卷〕函數(shù)，函數(shù)，那么函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．2 B．3C．4 D．54．〔2022年高考湖北卷〕函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)________.5．〔2022年高考江蘇卷〕設(shè)是定義在上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間上，其中集合，，那么方程的解的個(gè)數(shù)是．6．〔2022年高考山東卷〕函數(shù)，其中．假設(shè)存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程有三個(gè)不同的根，那么m的取值范圍是_________.變式拓展變式拓展1．【答案】C2．【答案】C【解析】由得，又得x=e2，∴f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.3．【答案】【解析】令x＋2x=0，得2x=?x；令x＋lnx=0，得lnx=?x；在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y=2x，y=lnx，y=?x的圖象．如圖可知x1<0<x2<1.令，那么，所以，即.所以.考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】C【解析】由零點(diǎn)存在性定理易知C正確.2．【答案】C【解析】如下圖，易知y=lnx與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．3．【答案】B4．【答案】C【解析】函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)=f(x)，那么函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=log3|x|的圖象，如下圖：由圖可知函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=log3|x|的圖象共有4個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)=log3|x|的解有4個(gè)，應(yīng)選C.5．【答案】D【解析】均為上的增函數(shù)，有唯一零點(diǎn)，因?yàn)?，所?由可得，所以.因?yàn)?，所以，所以，?yīng)選D.6．【答案】A假設(shè)x2＜x1，如下圖：由圖象可知有2個(gè)解，有1個(gè)解，因此的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3.【名師點(diǎn)睛】此題的關(guān)鍵是把求方程的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成求解方程或的根的個(gè)數(shù)．7．【答案】C【解析】由g(x)=f(x)?m=0得f(x)=m，作出函數(shù)y=f(x)的圖象．當(dāng)x>0時(shí)，，所以要使函數(shù)g(x)=f(x)?m有三個(gè)不同的零點(diǎn)，那么<m<0，即m∈，應(yīng)選C.8．【答案】C9．【答案】2或?1【解析】二次函數(shù)不能用二分法求零點(diǎn)，那么或．10．【答案】10【解析】易知函數(shù)為奇函數(shù)，其對(duì)稱中心為，所以函數(shù)的對(duì)稱中心為．由函數(shù)滿足，知函數(shù)的對(duì)稱中心為，函數(shù)有10個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有10個(gè)交點(diǎn)，并且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)?有10個(gè)零點(diǎn)，那么所有零點(diǎn)之和為10．直通高考直通高考1．【答案】C當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為.設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為，假設(shè)，函數(shù)與函數(shù)沒(méi)有交點(diǎn)；假設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)和有一個(gè)交點(diǎn)，即，解得.應(yīng)選C.【名師點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：〔1〕利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.〔2〕別離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.〔3〕轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.2．【答案】D【解析】選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?0,+∞)，故不具備奇偶性，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：是偶函數(shù)，但無(wú)解，即不存在零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：是奇函數(shù)，故C錯(cuò)；選項(xiàng)D：是偶函數(shù)，且，，故D項(xiàng)正確.3．【答案】A【解析】方法一：分別畫(huà)出函數(shù)的草圖，觀察發(fā)現(xiàn)有2個(gè)交點(diǎn).學(xué)/方法二：當(dāng)時(shí)，,所以,,此時(shí)函數(shù)的小于零的零點(diǎn)為;當(dāng)時(shí)，,,函數(shù)無(wú)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,函數(shù)大于2的零點(diǎn)為.綜上可得函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.應(yīng)選A.4．【答案】5．【答案】8【解析】由于，那么需考慮的情況，在此范圍內(nèi)，且時(shí)，設(shè)，且互質(zhì)，假設(shè)，那么由，可設(shè)，且互質(zhì)，因此，那么，此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此，因此不可能與每個(gè)周期內(nèi)對(duì)應(yīng)的局部相等，只需考慮與每個(gè)周期的局部的交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖象，圖中交點(diǎn)除外其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無(wú)理數(shù)，屬于每個(gè)