第三講分治法

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第三講：分治法分治法nT(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n)=算法總體思想：對這k個子問題分別求解。如果子問題的規(guī)模仍然不夠小，則再劃分為k個子問題，如此遞歸的進行下去，直到問題規(guī)模足夠小，很容易求出其解為止。分治法由分治法產(chǎn)生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術(shù)提供了方便。在這種情況下，反復(fù)應(yīng)用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規(guī)模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導(dǎo)致遞歸過程的產(chǎn)生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，經(jīng)常同時應(yīng)用在算法設(shè)計之中，并由此產(chǎn)生許多高效算法分治法的適用條件該問題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決；該問題可以分解為若干個規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解；該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子問題。因為問題的計算復(fù)雜性一般是隨著問題規(guī)模的增加而增加，因此大部分問題滿足這個特征。這條特征是應(yīng)用分治法的前提，它也是大多數(shù)問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用能否利用分治法完全取決于問題是否具有這條特征，如果具備了前兩條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮貪心算法或動態(tài)規(guī)劃。這條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題，此時雖然也可用分治法，但一般用動態(tài)規(guī)劃較好。divide-and-conquer(P){

if(|P|<=n0)adhoc(P);//解決小規(guī)模的問題

dividePintosmallersubinstancesP1,P2,...,Pk；//分解問題

for(i=1,i<=k,i++)yi=divide-and-conquer(Pi);//遞歸的解各子問題

returnmerge(y1,...,yk);//將各子問題的解合并為原問題的解

}分治法的基本步驟人們從大量實踐中發(fā)現(xiàn)，在用分治法設(shè)計算法時，最好使子問題的規(guī)模大致相同。即將一個問題分成大小相等的k個子問題的處理方法是行之有效的。這種使子問題規(guī)模大致相等的做法是出自一種平衡(balancing)子問題的思想，它幾乎總是比子問題規(guī)模不等的做法要好。分治法的復(fù)雜性分析一個分治法將規(guī)模為n的問題分成k個規(guī)模為n／m的子問題去解。設(shè)分解閥值n0=1，且adhoc解規(guī)模為1的問題耗費1個單位時間。再設(shè)將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合并為原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規(guī)模為|P|=n的問題所需的計算時間，則有：通過迭代法求得方程的解：注意：遞歸方程及其解只給出n等于m的方冪時T(n)的值，但是如果認為T(n)足夠平滑，那么由n等于m的方冪時T(n)的值可以估計T(n)的增長速度。通常假定T(n)是單調(diào)上升的，從而當(dāng)mi≤n<mi+1時，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

分析：如果n=1即只有一個元素，則只要比較這個元素和x就可以確定x是否在表中。因此這個問題滿足分治法的第一個適用條件分析：比較x和a的中間元素a[mid]，若x=a[mid]，則x在L中的位置就是mid；如果x<a[mid]，由于a是遞增排序的，因此假如x在a中的話，x必然排在a[mid]的前面，所以我們只要在a[mid]的前面查找x即可；如果x>a[i]，同理我們只要在a[mid]的后面查找x即可。無論是在前面還是后面查找x，其方法都和在a中查找x一樣，只不過是查找的規(guī)?？s小了。這就說明了此問題滿足分治法的第二個和第三個適用條件。

分析：很顯然此問題分解出的子問題相互獨立，即在a[i]的前面或后面查找x是獨立的子問題，因此滿足分治法的第四個適用條件。分治法：二分查找給定已按升序排好序的n個元素a[0:n-1]，現(xiàn)要在這n個元素中找出一特定元素x。分析：該問題的規(guī)?？s小到一定的程度就可以容易地解決；該問題可以分解為若干個規(guī)模較小的相同問題;分解出的子問題的解可以合并為原問題的解；分解出的各個子問題是相互獨立的。分治法：二分查找給定已按升序排好序的n個元素a[0:n-1]，現(xiàn)要在這n個元素中找出一特定元素x。據(jù)此容易設(shè)計出二分搜索算法：intBinarySearch(Typea[],Typex,intl,intr){while(r>=l){intm=(l+r)/2;if(x==a[m])returnm;if(x<a[m])r=m-1;elsel=m+1;}return-1;}算法復(fù)雜度分析：每執(zhí)行一次算法的while循環(huán)，待搜索數(shù)組的大小減少一半。因此，在最壞情況下，while循環(huán)被執(zhí)行了O(logn)次。循環(huán)體內(nèi)運算需要O(1)時間，因此整個算法在最壞情況下的計算時間復(fù)雜性為O(logn)。分治法：合并排序基本思想：將待排序元素分成大小大致相同的2個子集合，分別對2個子集合進行排序，最終將排好序的子集合合并成為所要求的排好序的集合。voidMergeSort(Typea[],intleft,intright){

if(left<right){//至少有2個元素

inti=(left+right)/2;//取中點

mergeSort(a,left,i);

mergeSort(a,i+1,right);

merge(a,b,left,i,right);//合并到數(shù)組b

copy(a,b,left,right);//復(fù)制回數(shù)組a}}復(fù)雜度分析T(n)=O(nlogn)漸進意義下的最優(yōu)算法分治法：合并排序最壞時間復(fù)雜度：O(nlogn)平均時間復(fù)雜度：O(nlogn)輔助空間：O(n)分治法：快速排序在快速排序中，記錄的比較和交換是從兩端向中間進行的，關(guān)鍵字較大的記錄一次就能交換到后面單元，關(guān)鍵字較小的記錄一次就能交換到前面單元，記錄每次移動的距離較大，因而總的比較和移動次數(shù)較少。template<classType>voidQuickSort(Typea[],intp,intr){if(p<r){intq=Partition(a,p,r);QuickSort(a,p,q-1);//對左半段排序

QuickSort(a,q+1,r);//對右半段排序

}}分治法：快速排序intPartition(Typea[],intp,intr){inti=p,j=r+1;Typex=a[p];//將<x的元素交換到左邊區(qū)域

//將>x的元素交換到右邊區(qū)域

while(true){while(a[++i]<x);while(a[--j]>x);if(i>=j)break;Swap(a[i],a[j]);}a[p]=a[j];a[j]=x;returnj;}初始序列{6,7,5,2,5,8}j--;{5,7,5,2,6,8}i++;{5,6,5,2,7,8}j--;{5,2,5,6,7,8}i++;完成{6,7,5,2,5,8}{5,2,5}6{7,8}intRandomizedPartition(Typea[],intp,intr){inti=Random(p,r);Swap(a[i],a[p]);returnPartition(a,p,r);}分治法：快速排序

快速排序算法的性能取決于劃分的對稱性。通過修改算法partition，可以設(shè)計出采用隨機選擇策略的快速排序算法。在快速排序算法的每一步中，當(dāng)數(shù)組還沒有被劃分時，可以在a[p:r]中隨機選出一個元素作為劃分基準(zhǔn)，這樣可以使劃分基準(zhǔn)的選