第九章-4三重積分及其計算

3/2/20231其中

dv稱為體積元，其它術(shù)語與二重積分相同若極限存在，則稱函數(shù)可積若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，則確定可積由定義可知三重積分與二重積分有著完全相同的性質(zhì)三重積分的物理背景以

f(x,y,z)為體密度的空間物體的質(zhì)量下面我們就借助于三重積分的物理背景來探討其計算方法。3/2/20232二、在直角坐標(biāo)系中的計算法假如我們用三族平面x=常數(shù)，y=常數(shù),z=常數(shù)對空間區(qū)域進行分割那末每個規(guī)則小區(qū)域都是長方體其體積為故在直角坐標(biāo)系下的面積元為三重積分可寫成和二重積分類似，三重積分可化成三次積分進行計算具體可分為先單后重和先重后單3/2/20233①先單后重3/2/20234——也稱為先一后二，切條法（先z次y后x

）留意用完全類似的方法可把三重積分化成其它次序下的三次積分。3/2/20235化三次積分的步驟⑴投影，得平面區(qū)域⑵穿越法定限，穿入點—下限，穿出點—上限對于二重積分，我們已經(jīng)介紹過化為累次積分的方法例1將化成三次積分其中為長方體，各邊界面平行于坐標(biāo)面解將投影到xoy面得D，它是一個矩形在D內(nèi)隨意固定一點（x,y)作平行于z軸的直線交邊界曲面于兩點，其豎坐標(biāo)為l

和

m（l

<m)3/2/20236oxyzmlabcdD。(x,y)例2計算其中是三個坐標(biāo)面與平面x+y+z=1所圍成的區(qū)域3/2/20237Dxyzo解畫出區(qū)域D3/2/20238解3/2/202393/2/2023103/2/202311除了上面介紹的先單后重法外，利用先重后單法或切片法也可將三重積分化成三次積分先重后單，就是先求關(guān)于某兩個變量的二重積分再求關(guān)于另一個變量的定積分若f(x,y,z)在上連續(xù)介于兩平行平面z=c1,z=c2(c1<c2)之間用任一平行且介于此兩平面的平面去截得區(qū)域則②先重后單3/2/202312易見，若被積函數(shù)與x,y無關(guān)，或二重積分簡潔計算時，用截面法較為便利，就是截面的面積，如截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積較易計算尤其當(dāng)f(x,y,z)與x,y無關(guān)時3/2/2023133/2/202314例5計算解故3/2/202315例6解一解二先單后重將投影到xoy面得D先重后單3/2/202316（用極坐標(biāo)，用對稱性）此例介紹的是一種計算三重積分的方法，這種方法也具有確定的普遍性，這就是我們將要介紹的柱坐標(biāo)系下的計算法3/2/202317三、小結(jié)三重積分的定義和計算（計算時將三重積分化為三次積分）在直角坐標(biāo)系下的體積元素3/2/202318思索題選擇題:3/2/202319練習(xí)題3/2/2023203/2/2023213/