2021-2022學(xué)年上海市嘉定區(qū)高一年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知集合，，若，則實數(shù)______．【答案】1【分析】由題得，解出值檢驗即可.【詳解】由題知,若,則或,當(dāng)時,方程無解;當(dāng)時,,解得:,此時,,符合題意,所以.故答案為：1.2．化簡∶=_________.【答案】【分析】利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)及平方差公式即可求解.【詳解】.故答案為:.3．若，則____.【答案】【解析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以，所以，故答案為：4．設(shè)是方程的兩個實數(shù)根，則_________【答案】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得到，然后代入計算即可求解.【詳解】因為是方程的兩個實數(shù)根，由韋達(dá)定理得，所以，故，故答案為：.5．“中至少有一個小于零”是“的___________條件.【答案】必要不充分【分析】根據(jù)充分必要條件的定義,判斷由“中至少有一個小于零”是否能推出“”成立,再判斷由“”是否能推出“中至少有一個小于零”成立即可.【詳解】解:由題知,當(dāng)中至少有一個小于零時,不妨取,此時,故“中至少有一個小于零”是“的不充分條件,當(dāng)成立時,則中必有負(fù)數(shù),故中至少有一個小于零,故“中至少有一個小于零”是“的必要條件,綜上:“中至少有一個小于零”是“的必要不充分條件.故答案為:必要不充分6．設(shè)，若對任意，都有成立，則的取值范圍為__________.【答案】【分析】由于恒成立，可以將恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，然后分類討論即可得到結(jié)果.【詳解】因為恒成立，所以恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，需要滿足，即，綜上：的取值范圍為.故答案為：.7．設(shè)，則____________【答案】1【分析】利用指數(shù)式與對數(shù)式互化公式，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)和換底公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解：，則，，，.故答案為：1.8．設(shè)條件有意義，條件，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】先分別求出條件表示的集合，再由p是q的必要不充分條件，可得集合是集合的真子集，從而可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】由，得，記為，由，得，記為，因為p是q的必要不充分條件，所以集合是集合的真子集，所以，解得，當(dāng)時，不滿足題意所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：.9．某地每年銷售木材約20萬，每立方米的價格為2400元．為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬，為了既減少了木材消耗又保證稅金收入每年不少于900萬元，則t的取值范圍是________．【答案】【解析】設(shè)按銷售收入的征收木材稅時，稅金收入為y萬元，求得每年的木材銷售量萬．每年的銷售收入為萬元，可得，令，由二次不等式的解法，可得所求范圍．【詳解】解：設(shè)按銷售收入的征收木材稅時，稅金收入為y萬元，則．令，即，解得．故答案為：.【點睛】本題考查一元二次不等式在實際問題中的應(yīng)用，考查化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．對于任意實數(shù)，使恒成立，那么我們把M的最大值叫做的下確界.若實數(shù)滿足且，則的下確界為__________.【答案】【分析】由題，下確界即的最小值，求最小值即可.【詳解】因為，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的下確界為：.故答案為：.11．已知不等式組的整數(shù)解恰好有兩個，求的取值范圍是_______【答案】【詳解】試題分析：不等式組，即，①當(dāng)a=1-a時，即a=時，x無解．②當(dāng)a＞1-a時，即a＞時，不等式組的解集為（1-a，a），再根據(jù)此解集包含2個整數(shù)解，可得1-a＜0，且a≤2，解得1＜a≤2．③當(dāng)a＜1-a時，即a＜時，若0≤a＜，不等式組的解集為（1-2a，1-a），無整數(shù)解，不滿足題意．若a＜0，不等式組的解集為?，不滿足題意．綜上可得，1＜a≤2，【解析】不等式的解法12．對于數(shù)集，其中，定義點集，若對于任意，存在，使得，則稱集合具有性質(zhì).則下列命題中為真命題的是___________.①具有性質(zhì)；②若集合具有性質(zhì)，則；③集合具有性質(zhì)，若，則.【答案】①②③【分析】根據(jù)已知條件及集合具有性質(zhì)的定義，結(jié)合反證法即可求解.【詳解】因為，所以，根據(jù)集合具有性質(zhì)的定義，對于任意，若，則或，或，若，取，則；若，取，則；若，取，則；若有一個為負(fù)數(shù)，則或，若，則取，則；若，則取，則；故①正確；對于任意，存在，使得取，存在使得，所以，不妨設(shè)，所以若集合具有性質(zhì)，則，故②正確；③假設(shè)，令，則存在使得，同②得中必有一個數(shù)為，若，則，于是，矛盾，若，則，于是，也矛盾，所以，又由②得，所以，所以，故③正確，故真命題是①②③正確.故答案為：①②③.【點睛】解決此題的關(guān)鍵是抓住集合具有性質(zhì)的定義，結(jié)合反證法即可.二、單選題13．設(shè)a，b是滿足的實數(shù)，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用舉反例可判斷ACD，利用不等式的性質(zhì)可判斷B【詳解】對于A，滿足，則，此時，故不正確；對于B，因為，所以，所以，所以，故正確；對于C，滿足，則，，此時，故不正確；對于D，滿足，則，此時，故不正確；故選：B14．用反證法證明命題：“已知，，若不能被5整除，則與都不能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（

）A．、都能被5整除B．、不都能被5整除C．、至多有一個能被5整除D．、至少有一個都能被5整除【答案】D【分析】根據(jù)反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，可知應(yīng)假設(shè)命題的否定成立.【詳解】假設(shè)的內(nèi)容是命題“與都不能被5整除”的否定為“、至少有一個能被5整除”.故選：D15．小王從甲地到乙地再返回甲地，其往返的時速分別為a和b（a<b），其全程的平均時速為v，則（

）A．a(chǎn)<v< B．v= C．<v< D．v=【答案】A【分析】設(shè)甲乙兩地相距，則平均速度，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)甲乙兩地相距，則平均速度，又∵，∴，∵，∴，∴，故選A．【點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，熟記基本不等式即可，屬于基礎(chǔ)題型.16．記方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正實數(shù)．當(dāng)，，成等比數(shù)列時，下列選項中，能推出方程③無實根的是A．方程①有實根，且②有實根 B．方程①有實根，且②無實根C．方程①無實根，且②有實根 D．方程①無實根，且②無實根【答案】B【詳解】當(dāng)方程①有實根，且②無實根時，，從而即方程③：無實根，選B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有實根【解析】不等式性質(zhì)三、解答題17．已知集合，(1)當(dāng)時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)或【分析】（1）當(dāng)時，求出集合B，即可求出；（2）由集合A求出，利用即可求出的取值范圍.【詳解】（1），；當(dāng)時，，所以；（2）或若，則或，所以或.18．（1）已知實數(shù)滿足，求證：.（2）已知實數(shù)滿足，用反證法證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）通過立方差公式得出，根據(jù)已知條件得出，再判斷，即可證明；（2）假設(shè)，則，即可得到，判斷其范圍再與已知對比，即可證明.【詳解】（1）證明：，，又，且，，；（2）假設(shè)，則，故與已知矛盾，故.19．為了保護(hù)環(huán)境，某單位采用新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，已知該單位每月都有處理量，且處理量最多不超過300噸，月處理成本y（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：，且處理x噸二氧化碳可得到價值為元的化工產(chǎn)品.(1)設(shè)該單位每月獲利為S（元），試寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；(2)若要保證該單位每月不虧損，則每月處理量應(yīng)控制在什么范圍?(3)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低?【答案】(1)(2)(3)200噸【分析】(1)由產(chǎn)品價格去掉成本即可得到利潤；(2)令利潤大于零，求解相關(guān)的一元二次不等式即可得出答案；(3)表示出每噸平均處理成本，利用基本不等式求解即可.【詳解】（1）由題意.（2）令，即，解得，又，所以，故要保證該單位每月不虧損，則每月處理量應(yīng)控制在內(nèi).（3）由題得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以該單位每月處理量為200噸時，才能使每噸的平均處理成本最低.20．（1）證明：對所有實數(shù)x恒成立，并求等號成立的條件；（2）若不等式的解集非空，求a的取值范圍；（3）設(shè)關(guān)于的不等式的解集為A，試探究是否存在，使得不等式與的解都屬于A，若不存在，說明理由，若存在，請求出滿足條件的的所有值.【答案】（1）證明見解析，當(dāng)時取等號；（2）或；（3）存在，或或【分析】(1)應(yīng)用絕對值三角不等式即可證明;(2)解集非空轉(zhuǎn)化為最大值大于1解不等式即可；（3）先解一元二次不等式和絕對值不等式確定的子集，再分和兩種情況討論求解可得的值.【詳解】（1）由三角不等式得，當(dāng)時取等號.（2）由題意得，所以，解得或，（3）由得，故，若，則，所以，符合題意，若，設(shè)，因為，所以，所以，解得或.當(dāng),,當(dāng),當(dāng),,符合題意當(dāng),,當(dāng),當(dāng),,符合題意綜上，或或.21．設(shè)是正整數(shù)，集合，對于集合A中的任意元素和.記(1)當(dāng)時，若，求和的值；(2)當(dāng)時，若的值為奇數(shù)，求所有滿足條件的元素；(3)給定不小于2的正整數(shù)，設(shè)是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同的元素滿足，寫出一個集合，使其元素個數(shù)最多，并說明理由.【答案】(1