正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理第一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.1正交表及其用法正交表記為L(zhǎng)n（mk），m

是各因素的水平，k（列數(shù)）是因素的個(gè)數(shù)，n

是安排試驗(yàn)的次數(shù)（行數(shù)）。

L9（34）4因素3水平正交試驗(yàn)，共做9次試驗(yàn)，而全面試驗(yàn)要做34=81次，減少了72次。

L25（56）6因素5水平正交試驗(yàn)，共做25次試驗(yàn)，而全面試驗(yàn)要做56=15625次，減少了15600次。正交表的兩條重要性質(zhì)：（1）每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如L9（34），每列中不同的數(shù)字是1，2，3。它們各出現(xiàn)三次。（2）在任意兩列中，將同一行的兩個(gè)數(shù)字看成有序數(shù)對(duì)時(shí)，每種數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如如L9（34），有序數(shù)對(duì)共有9個(gè)：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），它們各出現(xiàn)一次。第二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.1正交表及其用法由于正交表的性質(zhì)，用它來(lái)安排試驗(yàn)時(shí)，各因素的各種水平是搭配均衡的。下面通過(guò)具體例子來(lái)說(shuō)明如何用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。第三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日例4.1某水泥廠為了提高水泥的強(qiáng)度，需要通過(guò)試驗(yàn)選擇最好的生產(chǎn)方案，經(jīng)研究，有3個(gè)因素影響水泥的強(qiáng)度，這3個(gè)因素分別為生料中礦化劑的用量、燒成溫度、保溫時(shí)間，每個(gè)因素都考慮3個(gè)水平，具體情況如表4-2，試驗(yàn)的考察指標(biāo)為28天的抗壓強(qiáng)度（MPa），分別為44.1,45.3,46.7,48.2,46.2,47.0,45.3,43.2,46.3。問(wèn)：對(duì)這3個(gè)因素的3個(gè)水平如何安排，才能獲得最高的水泥的抗壓強(qiáng)度?解：在這個(gè)問(wèn)題中，人們關(guān)心的是水泥的抗壓強(qiáng)度，我們稱它為試驗(yàn)指標(biāo)，如何安排試驗(yàn)才能獲得最高的水泥抗壓強(qiáng)度，這只有通過(guò)試驗(yàn)才能解決，這里有3個(gè)因素，每個(gè)因素有3個(gè)水平，是一個(gè)3因素，3水平的問(wèn)題，如果每個(gè)因素的每個(gè)水平都互相搭配著進(jìn)行全面試驗(yàn)，必須做試驗(yàn)33=27次，我們把所有可能的搭配試驗(yàn)編號(hào)寫出，列在表4-3中。第四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日例4.1進(jìn)行27次試驗(yàn)要花很多時(shí)間，耗費(fèi)不少人力、物力，為了減少試驗(yàn)次數(shù)，但又不能影響試驗(yàn)的效果，因此，不能隨便地減少試驗(yàn)，應(yīng)當(dāng)把有代表性的搭配保留下來(lái)，為此，按L9（34）表中前3列的情況從27個(gè)試驗(yàn)中選取9個(gè)，它們的序號(hào)分別為1，5，9，11，15，16，21，22，26，將這9個(gè)試驗(yàn)按新的編號(hào)1—9寫出來(lái)，正好是正交表L9（34）的前3列，如表4-1所示。為了便于分析計(jì)算，把考查指標(biāo)（鐵水溫度）列于表4-4的右邊，做成一個(gè)新的表4-5，利用張表進(jìn)行分析計(jì)算。從表4-5中的數(shù)據(jù)處理與分析，可以得出結(jié)論：各因素對(duì)考查指標(biāo)（抗壓強(qiáng)度）的影響按大小次序來(lái)說(shuō)應(yīng)當(dāng)是A(礦化劑用量)、B(保溫時(shí)間)、C(燒成溫度)，最好的方案應(yīng)當(dāng)是A2C2B3，即：第五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日例4.1A2：礦化劑用量，第2水平，4%；

C2：保溫時(shí)間，第2水平，30min；

B3：燒成溫度，第3水平，1450℃。得出的最好方案在已經(jīng)做過(guò)的9次試驗(yàn)中沒(méi)有出現(xiàn)，與它比較接近的是第4號(hào)試驗(yàn)，在第4號(hào)試驗(yàn)中只有燒成溫度B不是處于最好水平，而且燒成溫度對(duì)抗壓強(qiáng)度的影響是3個(gè)因素中最小的。從實(shí)際做出的結(jié)果看出第4號(hào)試驗(yàn)中的抗壓強(qiáng)度是48.2MPa，是9次試驗(yàn)中最高的，這也說(shuō)明我們找出的最好方案是符合實(shí)際的。為了最終確定試驗(yàn)方案A2C2B3是不是最好方案，可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，若比4號(hào)好，作為最好結(jié)果，若比4號(hào)差，則以4號(hào)為最佳條件。如出現(xiàn)后一結(jié)果，說(shuō)明我們的理論分析與實(shí)踐有一定的差距，最終還是要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)。第六頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日正交試驗(yàn)步驟歸納如下：1、確定要考核的試驗(yàn)指標(biāo)；2、確定要考察的因素和各因素的水平；以上兩條要實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來(lái)決定。3、選用合適的正交表，一般只要正交表中的因素個(gè)數(shù)比試驗(yàn)要考察的因素的個(gè)數(shù)稍大或相等就行了。這樣既保證了試驗(yàn)?zāi)康?，而試?yàn)次數(shù)又不致太多，省工省時(shí)；4、試驗(yàn)，測(cè)定試驗(yàn)指標(biāo)；5、試驗(yàn)結(jié)果分析計(jì)算，得出合理的結(jié)論。

以上的方法——直觀分析法。簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、很實(shí)用。正交試驗(yàn)的主要分析工具是正交表，而在因素及其水平都確定的情況下，正交表并不是唯一的，常見(jiàn)的正交表見(jiàn)本書末附表4。第七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.2多指標(biāo)的分析方法在例4.1中，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，考察起來(lái)比較方便，但實(shí)際問(wèn)題中，需要考察的指標(biāo)往往不止一個(gè)，有時(shí)有兩個(gè)、三個(gè)或更多。如何評(píng)價(jià)考察指標(biāo)呢？?jī)煞N方法。4.2.1綜合平衡法通過(guò)具體的例子來(lái)加以說(shuō)明。例4.2某陶瓷廠為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，要對(duì)生產(chǎn)的原料進(jìn)行配方試驗(yàn)。要檢驗(yàn)3項(xiàng)指標(biāo)：抗壓強(qiáng)度、落下強(qiáng)度和裂紋度，前兩個(gè)指標(biāo)越大越好，第3個(gè)指標(biāo)越小越好。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，配方有3個(gè)重要因素：水分、粒度和堿度。它們各有3個(gè)水平，具體數(shù)據(jù)如表4-6所示。試進(jìn)行試驗(yàn)分析，找出最好的配方方案。第八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.2.1綜合平衡法（例4.2的解）解3因素3水平，應(yīng)選L9（34）正交表來(lái)安排試驗(yàn)，將3個(gè)因素依次放在前3列（第4列不要），得出一張具體的試驗(yàn)方案表，測(cè)出需要檢驗(yàn)的指標(biāo)結(jié)果，列于表4-7(a)、(b)、(c)中，然后用直觀分析法對(duì)每個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析。將3個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析后，得出3個(gè)好的方案：對(duì)抗壓強(qiáng)度是A2B3C1；對(duì)落下強(qiáng)度是A3B3C2；對(duì)裂紋度是A2B3C1，這3個(gè)方案不完全相同，對(duì)一個(gè)指標(biāo)是好方案，而對(duì)另一個(gè)指標(biāo)卻不一定是好方案，如何找出對(duì)各個(gè)指標(biāo)都較好的一個(gè)共同方案呢？綜合分析，將指標(biāo)隨因素水平變化的情況用圖形表示出來(lái)，如圖4.0所示（為了看得清楚，將各點(diǎn)用直線連接起來(lái)，實(shí)際上并不一定是直線。把圖4-1和表4-7結(jié)合起來(lái)分析，看每一個(gè)因素對(duì)各指標(biāo)的影響。第九頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D4.0第十頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.2.1綜合平衡法（例4.2的解的綜合分析）（1）粒度B對(duì)抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來(lái)講，極差最大，是最大的影響因素。從圖4.0中看出三個(gè)指標(biāo)B均取8為最好——即取B3。（2）堿度C，極差不大，次要因素。由圖4.0分析，取1.1時(shí)兩個(gè)指標(biāo)好，1個(gè)指標(biāo)稍差，對(duì)三個(gè)指標(biāo)綜合考慮，C取1.1——即取C1。（3）水分A，對(duì)裂紋度影響極差最大，A取9最好，由圖4.0綜合考慮A取9——即取A2。通過(guò)各因素對(duì)各指標(biāo)影響的綜合分析，得出較好的試驗(yàn)方案是：

B3：粒度取第3水平，8；

C1：堿度取第1水平，1.1；

A2：水分取第2水平，9。第十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.2.2綜合評(píng)分法對(duì)多指標(biāo)的問(wèn)題，真正做到好的綜合平衡，有時(shí)很困難，這是綜合平衡法的缺點(diǎn)。綜合評(píng)分法可以克服這個(gè)缺點(diǎn)。例4.3某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，需要檢驗(yàn)兩個(gè)指標(biāo)：核酸純度和回收率，這兩個(gè)指標(biāo)都是越大越好。有影響的因素有4個(gè)，各有3個(gè)水平，具體情況如表4-8所示。試通過(guò)試驗(yàn)分析出較好方案，使產(chǎn)品的核酸含量和回收率都有提高。解這是4因素3水平的試驗(yàn)，可以選用正交表L9（34）安排出試驗(yàn)方案（這里有4個(gè)因素，正好將表排滿），進(jìn)行試驗(yàn)，將得出的結(jié)果列入表4-9中。綜合評(píng)分法是根據(jù)各個(gè)指標(biāo)的重要性的不同，按照得出的試驗(yàn)結(jié)果綜合分析，給每一個(gè)試驗(yàn)評(píng)出一個(gè)分?jǐn)?shù)，作為這個(gè)試驗(yàn)的總指標(biāo)。根據(jù)這個(gè)總指標(biāo)作進(jìn)一步的分析。第十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.2.2綜合評(píng)分法（例4.3的解）這個(gè)方法的關(guān)鍵是如何評(píng)分。在這個(gè)試驗(yàn)中，兩個(gè)指標(biāo)的重要性是不同的，根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)知道，純度的重要性大于回收率，從實(shí)際分析，可以認(rèn)為純度是回收率的4倍。也就是純度占權(quán)數(shù)為4，回收率占權(quán)數(shù)為1，按這個(gè)權(quán)數(shù)給出這個(gè)試驗(yàn)的總分為：總分＝4×純度＋1×回收率由上式計(jì)算出這個(gè)試驗(yàn)的總分?jǐn)?shù)，列于表4-9的最右邊，再根據(jù)這個(gè)分?jǐn)?shù)，用直觀分析法進(jìn)行分析。從表4-9看出，A、D兩個(gè)因素的極差都很大，是對(duì)試驗(yàn)影響很大的兩個(gè)因素，A1、D1為好；B因素的極差比A、D的極差小，對(duì)試驗(yàn)的影響比A、D都??；B因素取B3為好；C因素的極差最小，影響最小，C取C2為好。綜合考慮，最好的試驗(yàn)方案應(yīng)當(dāng)是A1B3C2D1，按影響大小次序排列為：第十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.2.2綜合評(píng)分法（例4.3的解）A1：時(shí)間，25小時(shí)；D1：加水量，1：6；B3：料中核酸含量，6.0；C2：pH值，6.0?？梢钥闯?，這里分析出來(lái)的最好方案，在已經(jīng)做過(guò)的9個(gè)試驗(yàn)中是沒(méi)有的，可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，看能不能得出比第1號(hào)試驗(yàn)更好的結(jié)果，從而確定出真正最好的試驗(yàn)方案。綜合評(píng)分法是將多指標(biāo)的問(wèn)題，通過(guò)加權(quán)計(jì)算總分的方法化成一個(gè)指標(biāo)的問(wèn)題，這樣對(duì)結(jié)果的分析計(jì)算都比較方便、簡(jiǎn)單。但如何合理地評(píng)分，是最關(guān)鍵的問(wèn)題。這一點(diǎn)只能依據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決，單純從數(shù)學(xué)上是無(wú)法解決的。第十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.3混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)在實(shí)際情況中，有時(shí)做試驗(yàn)時(shí)，每個(gè)因素的水平數(shù)是不同的——混合水平。兩種解決方案。4.3.1混合水平正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表。這種正交表有好多種。比如L8（41×24）就是一個(gè)混合水平的正交表，如表4-10所示。其它混合水平的正交表還有很多，見(jiàn)附表所示，它們都有上面所說(shuō)的兩點(diǎn)。例4.4某農(nóng)科站進(jìn)行品種試驗(yàn)，具體試驗(yàn)因素及水平如表4-11所示。試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好。試用混合正交表安排試驗(yàn)，找出最好的試驗(yàn)方案。第十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日例4.4的解解這個(gè)問(wèn)題中有4個(gè)因素，1個(gè)是4水平的，3個(gè)是2水平的，正好可以選用混合正交表L8（41×23），因素A為4水平，放在第1列，其余3個(gè)2水平的因素B、C、D順序放在2、3、4列上，第5列不用。按這個(gè)方案進(jìn)行試驗(yàn)，將得出的試驗(yàn)結(jié)果放在正交表的右邊，然后進(jìn)行分析，見(jiàn)表4-12。經(jīng)分析得最佳方案為：A2B2C2D2。因?yàn)?，從極差分析可知，因素D影響很小，這個(gè)方案與第4號(hào)試驗(yàn)結(jié)果A2B2C2D1很接近，從試驗(yàn)結(jié)果看出，第4號(hào)試驗(yàn)是8個(gè)試驗(yàn)中產(chǎn)量最高的，因此完全有理由取第4號(hào)試驗(yàn)作為最好的試驗(yàn)方案加以推廣。第十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.3.2擬水平法例4.5今有某一試驗(yàn)，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，它的數(shù)值越小越好，這個(gè)試驗(yàn)有4個(gè)因素A、B、C、D，其中因素C是2水平的，其余3個(gè)因素都是3水平的，具體數(shù)值如表4-13所示。試安排試驗(yàn)，并對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出最好的試驗(yàn)方案。解：4因素試驗(yàn)，C為2個(gè)水平，A、B、D為3個(gè)水平。沒(méi)有合適的正交表。設(shè)想：假若C有3個(gè)水平，就變成4因素3水平的問(wèn)題了。如何將C變成3水平的因素呢？從C中的1和2水平中選一個(gè)水平讓它重復(fù)一次作為第3水平，這就叫虛擬水平。取哪一個(gè)水平作為第3水平呢？一般說(shuō)，都是要根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取一個(gè)較好的水平。比如，如果認(rèn)為第2水平比第1水平好，就選第2水平作為第3水平。這樣因素水平表4-13就變?yōu)楸?-14的樣子，它比表4-13多了一個(gè)虛擬的第3水平。第十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日例4.5的解這樣就變成了一個(gè)4因素3水平的試驗(yàn)，可以按L9（34）表安排試驗(yàn)，并對(duì)正交表進(jìn)行重構(gòu)，測(cè)出結(jié)果，并進(jìn)行分析，見(jiàn)表4-15所示。從表4-15的極差可以看出，因素D對(duì)試驗(yàn)的影響最大，取第3水平最好；其次是因素A，取第3水平為好；再者是因素B，取第1水平為好；因素C影響最小，取第1水平為好。最優(yōu)方案為：A3B1D3C1。這個(gè)方案在9個(gè)試驗(yàn)中沒(méi)有。從試驗(yàn)結(jié)果看8號(hào)試驗(yàn)為最好。這個(gè)試驗(yàn)只有B不是處在最好情況，而因素B的影響是最小的?？梢园催@個(gè)方案再試驗(yàn)一次，看是否會(huì)得出比第8號(hào)試驗(yàn)更好的結(jié)果，從而確定出真正的最優(yōu)方案。第十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.4有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)例4.6有4塊試驗(yàn)田，土質(zhì)情況基本一樣，種植同樣的作物?，F(xiàn)將氮肥、磷肥采用不同的方式分別加在4塊地里，收獲后算出平均畝產(chǎn)，記在表4-16中。氮肥、磷肥交互作用的效果＝氮肥、磷肥的總效果－（只加氮肥的效果＋只加磷肥的效果）在多因素的試驗(yàn)中，交互作用影響的大小參照實(shí)際經(jīng)驗(yàn)。如果確有把握認(rèn)定交互作用的影響很小，就可以忽略不計(jì)；如果不能確認(rèn)交互作用的影響很小，就應(yīng)該通過(guò)試驗(yàn)分析交互作用的大小。第十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.4.1交互作用表下面介紹交互作用表和它的用法，表4-17就是正交表L8（27）所對(duì)應(yīng)的交互作用表。

P183附表4中，列出了幾個(gè)交互作用的正交表。正交表自由度的確定：（1）每列的自由度

f列＝水平數(shù)－1（2）兩因素交互作用的自由度

fA×B＝fA×fB

（兩因素自由度的乘積）對(duì)2因素2水平的正交表，因?yàn)椋篺A＝fB＝

2－1＝１，每列只有一個(gè)自由度；而fA×B＝fA×fB

＝1×1＝1，所以也占一列。第二十頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.4.1交互作用表對(duì)于2因素3水平，fA＝fB＝

3－1＝2，每列有2個(gè)自由度；而fA×B＝fA×fB

＝2×2＝4，由于交互作用列有4個(gè)自由度，而每列是2個(gè)自由度，因此2個(gè)3水平因素的交互作用列占2列。對(duì)于2因素n水平，fA＝fB＝

n－1，每列有n個(gè)自由度；而兩因素交互作用的自由度為：fA×B＝fA×fB

＝（n－1）（n－1），所以交互作用列要占（n－1）列。4.4.2水平數(shù)相同的有交互作用的正交設(shè)計(jì)例4.7某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于3個(gè)因素A、B、C，每個(gè)因素都有兩個(gè)水平，具體數(shù)值如表4-18所示。每?jī)蓚€(gè)因素都有交互作用，必須考慮。試驗(yàn)指標(biāo)為產(chǎn)量，越高越好。試安排試驗(yàn)，并分析試驗(yàn)結(jié)果，找出最好的方案。第二十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)表4—17列號(hào)（

）列號(hào)第二十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日例4.7的解解這是3因素2水平的試驗(yàn)。3個(gè)因素A、B、C要占3列，它們之間的交互作用A×B、B×C、A×C又各占3列，共占6列，可以用正交表L8（27）來(lái)安排試驗(yàn)。若將A、B放在第1、2列，從表4-17查出A×B應(yīng)在第3列，因此C就不能放在第3列，否則就要和A×B混雜?，F(xiàn)將C放在第4列，由表4-17查出A×C應(yīng)在第5列，B×C應(yīng)在第6列。按這種安排進(jìn)行試驗(yàn)。測(cè)出結(jié)果，用直觀分析法進(jìn)行分析，把交互作用當(dāng)成新的因素看待。整個(gè)分析過(guò)程記錄在表4-19中。最后要說(shuō)明一點(diǎn)，在這里只考慮兩列間的交互作用A×B、B×C、A×C，3個(gè)因素的交互作用A×B×C，一般影響很小，這里不去考慮它。第二十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.5正交表的構(gòu)造法從前面的內(nèi)容可以看出，正交表的用處和好處。那么正交表是如何得來(lái)的呢？下面就介紹兩種正交表的構(gòu)造方法。4.5.1阿達(dá)瑪矩陣法4.5.1.1阿達(dá)瑪矩陣阿陣定義：以＋1，－1為元素，并且任意兩列都是正交的矩陣。性質(zhì)：（1）每列元素個(gè)數(shù)都是偶數(shù)；（2）任意兩列（兩行）交換后，仍為阿陣；（3）任意一列（或行）乘－1以后，仍為阿陣。標(biāo)準(zhǔn)阿陣：第一列全為1列（用對(duì)行乘－1可得）。阿方陣：行、列相等——阿陣，偶階方陣。第二十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日、阿達(dá)瑪矩陣n階阿陣記為Hn。感興趣：第一列，第一行全為1的阿陣。例如：直積構(gòu)造高階阿陣的方法：定義：設(shè)兩個(gè)2階方陣A、B它們直積記為A?B，定義如下：第二十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日、阿達(dá)瑪矩陣這是一個(gè)4階方陣。有下面兩個(gè)定理：

定理1

設(shè)2階方陣A、B如果它們中的兩列是正交的，則它們的直積A?B的任意兩列也是正交的。

定理2

兩個(gè)阿陣的直積是一個(gè)高階阿陣。據(jù)此，可以用簡(jiǎn)單的低階阿陣，用求直積的方法得出高階阿陣，例如有：第二十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日、阿達(dá)瑪矩陣依此類推有：一個(gè)固定階的阿陣并不是唯一的。比如：都是2階阿陣H2，但我們最感興趣的是第一個(gè)——標(biāo)準(zhǔn)阿陣。第二十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.5.22個(gè)水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法有了第1列第1行全為1的標(biāo)準(zhǔn)阿陣，構(gòu)造2水平的正交表就非常方便了。（1）L4（23）正交表的構(gòu)造①取標(biāo)準(zhǔn)阿陣H4

如下：②將全1列去掉，得出：第二十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日、2個(gè)水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法③將－1改寫為2，按順序配上列號(hào)、行號(hào)，就得到2水平正交表L4（23），見(jiàn)表4-20所示。（2）L8（27）正交表的構(gòu)造法①取標(biāo)準(zhǔn)阿陣H8

如下：第二十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日、2個(gè)水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法②去掉全1列；將－1改寫為2，并按順序配上列號(hào)、行號(hào)，就得到正交表

L8（27），見(jiàn)表4-21?？偨Y(jié)：先取一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)阿陣Hn，去掉全1列，將－1列改寫為2，配上列號(hào)、行號(hào)，就得正交表Ln（2n－1）。

上法只能構(gòu)造2水平正交表，更多水平的正交表，用正交拉丁方的方法來(lái)解決。第三十頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日正交拉丁方的方法4.5.2.1拉丁方定義：用n個(gè)不同的拉丁字母排成一個(gè)n階方陣（n≤26），如果每個(gè)字母在任一行、任一列中只出現(xiàn)一次，則稱這種方陣為n×n拉丁方，簡(jiǎn)稱為n階拉丁方。例如，用3個(gè)字母A、B、C可排成：3×3拉丁方用4個(gè)字母A、B、C、D可排成：4×4拉丁方這兩個(gè)拉丁方不是唯一的。第三十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日、拉丁方感性趣正交拉丁方。定義：設(shè)有兩個(gè)同階的拉丁方，如果對(duì)第一個(gè)拉丁方排列著相同字母的各個(gè)位置上，第二拉丁方在同樣位置上排列著不同字母，則稱這兩個(gè)拉丁方為互相正交的拉丁方。3階拉丁方與是正交拉丁方。正交拉丁方只有兩個(gè)。第三十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日四階正交拉丁方與4階拉丁方中，正交拉丁方只有3個(gè)；5階拉丁方中，正交拉丁方只有4個(gè)；6階拉丁方中，正交拉丁方只有5個(gè)；數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明：n階拉丁方的正交拉丁方個(gè)數(shù)為：（n－1）個(gè)。、拉丁方第三十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日、拉丁方將字母拉丁方改寫為數(shù)字拉丁方性質(zhì)沒(méi)有影響。比如3階拉丁方可寫為：與為正交拉丁方。3水平正交表的構(gòu)造首先考慮兩個(gè)3水平因素A、B，把它們所有水平搭配都寫出來(lái)32＝9個(gè)，按下面的方式排成兩列：第三十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4列3列第三十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.5.2.34水平正交表因素A、B兩個(gè)4水平的全排列42＝16個(gè)，構(gòu)成基本列；三個(gè)正交拉丁方，按1，2，3，4列分別按順序排成1列，共3列，放在基本列右則，得5列16行矩陣。

得表4-23，為L(zhǎng)16（45）正交表。第三十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日345配上三個(gè)正交拉丁方第三十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.5.2.4混合型正交表的構(gòu)造法混合型正交表可以由一般水平數(shù)相等的正交表通過(guò)“并列法”改造而成。舉典型的例子加以說(shuō)明。例4.8混合型正交表L8（4×24）的構(gòu)造法。解：（1）先列出正交表L8（27），見(jiàn)表4-24。（2）取出表4-24中的1，2列，將數(shù)對(duì)（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2）與單數(shù)字1，2，3，4依次對(duì)應(yīng)，作為新表第1列。（3）去掉1×2的第3列。交互作用。（4）4，5，6，7列左移，依次變?yōu)樾卤淼?，3，4，5列。第三十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日表4-24L8（27）正交表其它正交表的構(gòu)造法，與此法相同，不再贅述。請(qǐng)自學(xué)例4.9、例4.10第三十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.6正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析本節(jié)用方差分析法對(duì)正交試驗(yàn)的結(jié)果作進(jìn)一步的分析。4.6.1正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析的步驟與格式設(shè)用正交表安排m個(gè)因素的試驗(yàn)，試驗(yàn)總次數(shù)為n，試驗(yàn)結(jié)果分別為x1，x2，…，xn。假定每個(gè)因素有na個(gè)水平，每個(gè)水平做a次試驗(yàn)。則n=ana，現(xiàn)分析下面幾個(gè)問(wèn)題。(1)計(jì)算離差的平方和a總離差的平方和STb

各因素離差的平方和S因c

試驗(yàn)誤差的離差平方和SE第四十頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日(2)計(jì)算自由度(3)計(jì)算平均離差平方和(均方)(4)求F比(5)對(duì)因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)第四十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.6.23水平正交設(shè)計(jì)的方差分析例4.11為了提高產(chǎn)量，需要考慮3個(gè)因素：反應(yīng)溫度、反應(yīng)壓力和溶液濃度，每個(gè)因素都取3個(gè)水平，具體數(shù)值如表4-31所示?？紤]因素之間的所有一級(jí)交互作用，試進(jìn)行方差分析，找出最好的工藝條件。解：所有一級(jí)交互作用：A×B、A×C、B×C；自由度：fA＝（水平數(shù)－1）＝3－1＝2＝

fB

＝fC

；第四十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日f(shuō)A×B＝fA×

fB＝2×2＝4＝fB×C＝fA×C

各占兩列。共有9列，選用正交表L27（313），見(jiàn)表4-32所示。m個(gè)因素的試驗(yàn)（m＝9）；試驗(yàn)次數(shù)（n＝27）；試驗(yàn)結(jié)果分別為：x1，x2，…，xk，…，xn；每個(gè)因素有na

個(gè)水平（na＝3）；每個(gè)水平做a次試驗(yàn)（a＝9），則n＝ana＝3×9＝27。1、計(jì)算離差平方和（1）總離差平方和ST記（相當(dāng)于例4.11產(chǎn)量的平均值）第四十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日記為：ST反應(yīng)了試驗(yàn)結(jié)果的總差異，它越大，結(jié)果之間差異越大。兩方面的原因：①因素水平變化；②試驗(yàn)誤差。（2）各因素離差的平方和以因素A為例——SA，用xij表示A的系i水平第j個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（i＝1，2，3，…na），（j＝1…a）。第四十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日記為：Ki——第i個(gè)水平a次試驗(yàn)結(jié)果的和。第四十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日用同樣的方法可以計(jì)算其它因素的離差平方和。對(duì)兩因素的交互作用，把它當(dāng)成一個(gè)新的因素看待。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差平方和等于這兩列的離差平方和之和。比如：（3）試驗(yàn)誤差的離差平方和SE設(shè)S因+交

為所有因素以及要考慮的交互作用的離差平方和，因?yàn)椋核裕旱谒氖?yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日2、自由度計(jì)算各因素自由度：兩因素交互作用的自由度：試驗(yàn)誤差自由度：見(jiàn)表4-33所示第四十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日3、計(jì)算平均離差平方和（均方）MS在計(jì)算各因素離差平方和時(shí)，我們知道，它們是若干項(xiàng)平方的和，它們的大小與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此，不能確切地反映各因素的情況。為了消除項(xiàng)的影響，引入平均離差平方和：見(jiàn)表4-334、求F比第四十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日5、對(duì)因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)給出檢驗(yàn)水平a，以Fa（f因，fE）查（附表3）F分布表；比較若F＞Fa（f因，fE），說(shuō)明該因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響顯著。F＞F0.01（f因，fE）影響高度顯著，“﹡﹡”；F0.01（f因，fE）

＞F＞F0.05（f因，fE）影響顯著，“﹡”；F

＜

F0.05（f因，fE）影響不顯著。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4-33、表4-34所示。第四十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.6.32水平正交設(shè)計(jì)的方差分析由于2水平正交設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單，它的方差分析可以采用特殊的分析方法。2水平正交設(shè)計(jì)，各因素離差平方和為：上式同樣適用于交互作用項(xiàng)。第五十頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日例4.12某廠生產(chǎn)水泥花磚,其抗壓強(qiáng)度取決于3個(gè)因素：A水泥的含量，B水分，C添加劑，每個(gè)因素都有兩個(gè)水平，具體數(shù)值如表4-35a所示。每?jī)蓚€(gè)因素之間都有交互作用，必須考慮。試驗(yàn)指標(biāo)為抗壓強(qiáng)度(kg/cm2),分別為66.2，74.3，73.0，76.4，70.2，75.0，62.3，71.2越高越好。試安排試驗(yàn)，并用方差分析對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出最好的方案。解列出正交表L8（27）和試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表4-35。

說(shuō)明：誤差平方和SESE＝ST－(S因＋S交)還可以用另一種算法計(jì)算SESE＝S空列＝S7列＝9.68方差分析見(jiàn)表4-36。第五十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.6.4混合型正交一表的方差分析與一般水平相同，注意各列水平數(shù)的差別??！說(shuō)明：試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)次數(shù)每個(gè)水平試驗(yàn)次數(shù)第i個(gè)水平試驗(yàn)結(jié)果的和水平數(shù)第五十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日例4.13為提高某礦物的燒結(jié)質(zhì)量,做下面配料試驗(yàn),各因素及其水平如表4-38所示，(單位：t),反映質(zhì)量好壞的試驗(yàn)指標(biāo)為含鐵量,分別為50.9，47.1，51.4，51.8，54.3，49.8，51.5，51.3越高越好。試安排試驗(yàn)，并進(jìn)行方差分析，找出最好的方案。試驗(yàn)結(jié)果及計(jì)算列于表4-39。方差計(jì)算與分析列于表4-40。第五十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.6.5擬水平法的方差分析與一般方法無(wú)本質(zhì)性的區(qū)別，在計(jì)算擬水平列時(shí)要注意各水平的重復(fù)次數(shù)不同。例4.14鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。為了提高除銹效率，縮短酸洗時(shí)間，先安排酸洗試驗(yàn)?？疾熘笜?biāo)是酸洗時(shí)間。在除銹效果達(dá)到要求的情況下，酸洗時(shí)間越短越好。要考慮的因素及其水平如表4-41所示。

解：選取正交表L9（34），將因素C虛擬1個(gè)水平。據(jù)經(jīng)驗(yàn)知，海鷗牌比OP牌的效果好，故虛擬第2水平（海鷗牌）安排在第1列，因素B、A、D依次安排在第2，3，4列，表已排滿，進(jìn)行試驗(yàn)，測(cè)試結(jié)果列于表4-42右邊。方差計(jì)算與分析列于表4-43、表4-44。第五十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.6.6重復(fù)試驗(yàn)的方差分析重復(fù)試驗(yàn)就是對(duì)每個(gè)試驗(yàn)號(hào)重復(fù)多次，這樣能很好地估計(jì)試驗(yàn)誤差，它的方差分析與無(wú)重復(fù)試驗(yàn)基本相同。但要注意幾點(diǎn)：（1）計(jì)算K1，K2，…時(shí)，要用各號(hào)試驗(yàn)重復(fù)

r次的數(shù)據(jù)之和；（2）計(jì)算因素離差平方和時(shí)，公式中的“水平重復(fù)數(shù)a

要改寫為“a×r”。每個(gè)水平試驗(yàn)次數(shù)第i個(gè)水平試驗(yàn)結(jié)果的和水平數(shù)試驗(yàn)次數(shù)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)（3）總體試驗(yàn)誤差平方和SE

由兩部分構(gòu)成：第一類誤差，即空列誤差SE1；第二類誤差即重復(fù)試驗(yàn)誤差SE2。第五十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日SE＝SE1＋SE2，自由度

fE＝fE1＋fE2，SE2

的計(jì)算公式為：fE2＝n（r－１）第五十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日例4.15

硅鋼帶取消空氣退火工藝試驗(yàn)?？諝馔嘶鹉苊摮徊糠痔?，但鋼帶表面會(huì)生成一層很厚的氧化皮，增加酸洗的困難欲取消這道工序，為此要做試驗(yàn)。試驗(yàn)指標(biāo)是鋼帶的磁性，看一看取消空氣退火工藝后鋼帶磁性有沒(méi)有大的變化。本試驗(yàn)考慮2個(gè)因素每個(gè)因素2個(gè)水平，退火工藝A，A1為進(jìn)行空氣退火，A2為取消空氣退火；成品厚度B，B1：0.2mm，B2：0.35mm。解：選用L4（23）正交表安排試驗(yàn)，每個(gè)試驗(yàn)號(hào)重復(fù)5次，試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算列于表4-45。方差分析與計(jì)算結(jié)果列于表4-46。第五十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.6.7重復(fù)取樣的方差分析重復(fù)試驗(yàn)增加了試驗(yàn)次數(shù)，這樣會(huì)使試驗(yàn)費(fèi)用增加，時(shí)間延長(zhǎng)。如果試驗(yàn)得出的產(chǎn)品是多個(gè)，可以采用重復(fù)取樣的方法來(lái)考察因素的影響。重復(fù)取樣和重復(fù)試驗(yàn)在計(jì)算ST、S因、SE

時(shí)，方法是一樣的。但要注意的是：重復(fù)取樣誤差反映的是產(chǎn)品的不均勻性與試樣測(cè)量誤差（稱為局部試驗(yàn)誤差）。一般說(shuō)這種誤差較小，應(yīng)該說(shuō)不能用它來(lái)檢驗(yàn)各因素水平之間是否存在差異，但是如果符合下面兩種情況，可以把重復(fù)取樣得出的誤差平方和SE2作為試驗(yàn)誤差。（1）正交表的各列全部排滿，無(wú)SE1（S空列）。用SE2

作為試驗(yàn)誤差來(lái)檢驗(yàn)各因素及交互作用。檢驗(yàn)結(jié)果有一半左右的因素及交互作用的影響不顯著，就可以認(rèn)為這種檢驗(yàn)是合理的。第五十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日（2）SE2

與SE1

相差不大，可以合并SE

=SE1+SE2。何為“相差不大”呢？用F值檢驗(yàn)：由檢驗(yàn)水平a，查分布。若F<Fa，則

SE1

與SE2

差別不顯著（相差不大）；

SE＝SE1＋SE2fE＝fE1＋fE2；若F>Fa，則

SE1

與SE2

有顯著差異，不能合并使用。第五十九頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日例4.16用粉煤灰和煤矸石作原料制造粉煤灰磚的試驗(yàn)研究。試驗(yàn)指標(biāo)是干坯的扯斷力（105Pa）?？紤]3個(gè)因素，每個(gè)因素3個(gè)水平，具體參數(shù)水平如表4-47所示。解：選用L8（34）正交表做試驗(yàn)。每號(hào)試驗(yàn)生產(chǎn)出若干塊干坯，采用重復(fù)取樣的方法，每號(hào)試驗(yàn)取5塊，測(cè)出結(jié)果列于表4-48右邊，進(jìn)行計(jì)算分析，找出最優(yōu)方案。方差分析與計(jì)算見(jiàn)表4-49。第六十頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.7正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的效應(yīng)計(jì)算與指標(biāo)的預(yù)估計(jì)4.7.1正交設(shè)計(jì)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在正交設(shè)計(jì)中，若以mt

表示第t號(hào)試驗(yàn)各因素水平搭配所對(duì)應(yīng)指標(biāo)值xt的總體真值，以et表示第t號(hào)試驗(yàn)的隨機(jī)誤差，則有：這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)稱為L(zhǎng)n(mk)型正交表上安排試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型，由于各正交表的具體情況不同，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的具體形式不同。下面對(duì)幾個(gè)常用正交表，分別寫出它們的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式。4.7.1.1L4（23）表上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為了方便，在表4-50中列出正交表L4（23）。第六十一頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日假設(shè)安排兩個(gè)因素A、B。A安排在第1列，B安排在第2列，根據(jù)各試驗(yàn)號(hào)因素水平的不同，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的形式為：

x1=……..（1）不考慮交互作用其中：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見(jiàn)表4-50所示。（2）考慮交互作用A×B數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見(jiàn)表4-50所示。第六十二頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日表4-50L4（23）正交表及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式

mij

表示在Ai、Bj

組合下指標(biāo)值xt

的真值（理論值）。ai為因素A在第i

水平時(shí)的效應(yīng)，a1+a2=0;bi為因素B在第i

水平時(shí)的效應(yīng)，b1+b2=0。其中：(ab)ij

為Ai、Bj組合下交互作用的效應(yīng)。

(ab)11+(ab)12=0，(ab)21+(ab)22=0。第六十三頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.7.1.2L8（27）表上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)安排4個(gè)2水平因素A、B、C、D。（1）不考慮交互作用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見(jiàn)表4-51所示。（2）考慮交互作用

A、B、C、D分別在1、2、3、7列，兩交互作用列應(yīng)在3、5、6列，以A×B為例，其余情況類似。見(jiàn)表4-51所示。

L9（34）表上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

先列出正交表L9（34），如表4-52所示。(1)不考慮交互作用假設(shè)安排3個(gè)因素A、B、C，分別安排在第1、2、3列，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見(jiàn)表4-52所示。第六十四頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日表4-51L8(27)正交表及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式a1+a2=0，b1+b2=0，c1+c2=0，d1+d2=0。第六十五頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日表4-52L9(34)正交表及數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式第六十六頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日(2)考慮交互作用因素A、B，L9（34）正交表的任意兩列間的交互作用為另外兩列，將A、B安排在1、2列，則A×B占3、4兩列。數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式見(jiàn)表4-52。第六十七頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日4.7.2正交設(shè)計(jì)中的效應(yīng)計(jì)算由下式：

xt=mt+et，t=1，2，3，….，n.

et是隨機(jī)誤差，我們要對(duì)mt作出估計(jì)，即求出mt的估計(jì)值，使得滿足：由L4（23）正交表上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式，得殘差平方和為：第六十八頁(yè)，共八十三頁(yè)，2022年，8月28日得出記為：

由于a1+a2=0，b1+b2=0，(ab)11+(ab)21=0，(ab)12+(ab)22=0為了使S達(dá)到最小,采用最小二乘法，求