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313311――13313311――13n·CD=0,111n·AC=,-x-3-0.1112n·=,21―n·A=0,222高考達(dá)標(biāo)檢(三十二)
空間角類型——線線角線面角、二角.圖在三柱-AB中,是中,=,AA=3.11(1)求:∥面A;11(2)求面DAC-A的正弦.1解(1)證:點(diǎn)A作AO⊥BC交點(diǎn),過O作⊥交B于E1因平⊥面CBBC所AO⊥平.11以O(shè)為坐標(biāo)點(diǎn),OE,所直為軸,軸z軸建如所的間直角標(biāo).為=1,=3,△ABC等三形所為BC的點(diǎn)1則O0,0
B,0,C-,,0D,0,,3,4C-3,CD=,0,=-,-3,-,1412設(shè)面ADC一法量=,,),111―+,則―11取x=,=-,=1,1∴面ADC一法量=3,.1――→又BC=(-1,3,,∴=01又BC平DC∴BC∥面DC.111(2)設(shè)面ACA的個(gè)向量n=(x,,),122―∵=,30),1―→=,則即-3y-021
1313取x=,y0=-1.2∴面ACA的一個(gè)向?yàn)椋?,,-1).1則os〈n,〉12
13=,×13設(shè)面D-A-A的小θ,113213∴θ=,θ=,故面D-A-A的弦為1
13.(2017·全國Ⅱ)如,棱PABCD,面PAD為等三形垂于面=BC=AD∠BAD=∠ABC=,E是PD的點(diǎn)(1)證:線CE∥平PAB(2)點(diǎn)M在棱PC上,直BM與底ABCD所成為,二角M-ABD的余弦.解(1)證:的點(diǎn)F,連接,BF因E是PD的中點(diǎn)所EF∥AD,EF=AD.由BAD=ABC=,得BCAD,又BCAD,以綊,所四形BCEF是平行邊,∥BF又CE平面PABBF平面PAB,故∥面.―(2)由知BAAD,A為標(biāo)點(diǎn)方為x正―方,AB為單長,立圖示空直角標(biāo)A-,―則(0,0,0)B,,(1,1,0)P,,,=(1,0,-3)―AB=(1,0,0).設(shè)M(,,z,――則B=(-,,),PM=(,1z-.因BM與面ABCD所成角45°,而=(0,0,1)底ABCD的法量2
222222―0·=222222―0·=0,―→所|os〈,n〉=,即-+=
|2=,-++①――又M在棱,設(shè)PMλPC,則=,y=,-λ1+,由②得,6z=-
②-,(舍去,或,6z=,所M-
,1,2
―,而A=1,1,設(shè)m=(x,,)平ABM的法量0·=,-+2+6=,則即―=,所可=(0,,2).·n于c〈m,〉==|由知面MABD為銳角因二角-ABD的余弦為
3.如,三棱P-ABC中,PA⊥面ABC∠BAC=點(diǎn)D,EN分別棱,,的中,M是線的中點(diǎn)PA==,=2.(1)求:∥平;(2)求面C-EM-的弦;(3)已點(diǎn)H在棱上,直NH與直BE所成的弦為長解由意,AB,AC,兩兩直,以A為標(biāo)點(diǎn)――→分以AB,,方向?yàn)檩Sy軸、軸方建如所示空直坐系依意得A(0,,(2,,C,P,D,(0,2,2),M(0,0,1),(1,2,0).――→(1)證:DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2).
,線AH的3
―n·DB=,―→―n·DB=,―→n·=0,11222設(shè)=(,,z)為平面BDE的向,n·DE=0,則即―→
2=02x2=不?。?,得n=.――又=,-,得MN·=0.因平,所MN∥平.(2)易n=平CEM的個(gè)法量1設(shè)n=(x,,)為面EMN的法量21――→又EM=,-,-,=(1,2,-1),n=0,則即―2
-y-,11+yz=1不取,得=-,.1n·n因有〈,〉==||n2|于〈n,〉=12
所二角C-EM-的正值
(3)依意設(shè)AHh≤≤4),H,h),―→→進(jìn)可NH=-,2),=-.―→―由知得〈,BE〉=
―→―→||BE=
h
h-+×23
=
,1整得h-21+=0,解=或h21所線AH的為24.如,四棱P-ABCD中,面PAD底面ABCD,面ABCD是行邊,∠ABC=,AD=2,==,E為CD的點(diǎn)點(diǎn)F在線PB.(1)求:⊥;(2)試定F的位置使得直線與面所的角直與面ABCD所4
222222PB―n222222PB―n·=,――λ成角等解(1)證:平四形中,接,因AB=,=,∠=,由弦理=+-×2×2×45°=,解AC=,以+=AB,所∠=,⊥AC又∥BC所以AD⊥又==,=2,所AD+=DP,所⊥,又∩=,所以⊥面PAC,以⊥.(2)因側(cè)⊥底ABCD⊥,以PA⊥底ABCD,所直,ADAP兩互垂,A為標(biāo)點(diǎn)AC,AD,AP所直分為x軸y軸、軸建如所的間角標(biāo)系-,則-2,0,0),C(0,2,0)B(2,2,0),E(-,,――→所,-,PD(-,-2)―PFPB=,-2),=λ(∈),―則PF=(2,,2λ),F(xiàn),2,-2+2)―所=+λ-,2+,易平的法向=(0,0,1)設(shè)面PDC的法量=(,,z),則
n·PC=,-z=0,即―-2=,令=,得=,-,.因直與面PDC成角直與面所成角等――所|os〈EF,m〉=|os〈EFn〉,――·||EF即=,以-λ=|·||n
3
,即λ=|λ|,解得=
-3PF-3,以=.2
5
―n·AF―n·AF=0,―某廠加一藝品需用三錐狀坯,人如圖示長體EFQH料割三錐H.(1)若M,,K分別是HAHC,的中,是上任一,證:MG平ACF;(2)已原方材中,=,AD3,DH=,據(jù)術(shù)加需,程必求該棱的;工師求所直與面ACF成角θ,再據(jù)式=AHθ求三錐-ACF高h(yuǎn)請(qǐng)根甲程的路求三錐高解(1)證:HMMA,HN=NCHK,∴∥AF,MN∥∵平面ACFAF?面ACF∴∥面ACF同可∥平面ACF∵∩=,?面MNK,?面MNK,∴面MNK平又MG?平MNK,MG平ACF(2)以為坐原,,DH所在線分為x軸、軸z軸立圖所的間角標(biāo)D-xyz.則,,C,―――→F
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