中考復習之線段和差最值之費馬點問題

中考數(shù)學復習線段和差最值系列之費馬點皮耶·德·費馬，17世紀法國數(shù)學家，有“業(yè)余數(shù)學家之王”的美譽，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數(shù)學．費馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻，除此之外，費馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等．言歸正傳，今天的問題不是費馬提出來的，是他解決的，故而叫費馬點．問題：在△ABC內(nèi)找一點P，使得PA+PB+PC最?。痉治觥吭谥暗淖钪祮栴}中，我們解決的依據(jù)有：兩點之間線段最短、點到直線的連線中垂線段最短、作對稱化折線段為直線段、確定動點軌跡求最值等．以上依據(jù)似乎都用不上，怎么辦？若點P滿足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，則PA+PB+PC值最小，P點稱為該三角形的費馬點．一、如何作費馬點問題要從初一學到的全等說起：（1）如圖，分別以△ABC中的AB、AC為邊，作等邊△ABD、等邊△ACE．（2）連接CD、BE，即有一組手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）記CD、BE交點為P，點P即為費馬點．（到這一步其實就可以了）（4）以BC為邊作等邊△BCF，連接AF，必過點P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．在圖三的模型里有結(jié)論：（1）∠BPD=60°；（2）連接AP，AP平分∠DPE．有這兩個結(jié)論便足以說明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．但是在這里有個小小的要求，細心的同學會發(fā)現(xiàn)，這個圖成立的一個必要條件是∠BAC<120°，若,這個圖就不是這個圖了，會長成這個樣子：此時CD與BE交點P點還是我們的費馬點嗎？顯然這時候就不是了，顯然P點到A、B、C距離之和大于A點到A、B、C距離之和．所以，是的，你想得沒錯，此時三角形的費馬點就是A點！當然這種情況不會考的，就不多說了．二、為什么是這個點為什么P點滿足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC值就會最小呢？歸根結(jié)底，還是要重組這里3條線段：PA、PB、PC的位置，而重組的方法是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)！在上圖3中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．類似的手拉手，在圖4中有3組，可得：AF=BE=CD．巧的，它們仨的長度居然一樣長！更巧的是，其長度便是我們要求的PA+PB+PC的最小值，這一點是可以猜想得到的，畢竟最小值這個結(jié)果，應該也是個特別的值！接下來才是真正的證明：考慮到∠APB=120°，∴∠APE=60°，則可以AP為邊，在PE邊取點Q使得PQ=AP，則△APQ是等邊三角形．△APQ、△ACE均為等邊三角形，且共頂點A，故△APC≌△AQE，PC=QE．以上兩步分別轉(zhuǎn)化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．沒有對比就沒有差別，我們換個P點位置，如下右圖，同樣可以構(gòu)造等邊△APQ，同樣有△APC≌△AQE，轉(zhuǎn)化PA=PQ，PC=QE，顯然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE．還剩下第3個問題！如果說費馬點以前還算是課外的拓展內(nèi)容，那現(xiàn)在，已經(jīng)有人把它搬上了中考舞臺！【中考再現(xiàn)】問題背景：如圖1，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點P，可推出結(jié)論：PA+PC=PE．問題解決：如圖2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=，點O是△MNG內(nèi)一點，則點O到△MNG三個頂點的距離和的最小值是______．【分析】本題的問題背景實際上是提示了解題思路，構(gòu)造60°的旋轉(zhuǎn)，當然如果已經(jīng)了解了費馬點問題，直接來解決就好了！如圖，以MG為邊作等邊△MGH，連接NH，則NH的值即為所求的點O到△MNG三個頂點的距離和的最小值．（此處不再證明）過點H作HQ⊥NM交NM延長線于Q點，根據(jù)∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，∴△MHQ是等腰直角三角形，∴MQ=HQ=4，∴NH=．練習題1.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點，求PA+PB+PC的最小值．如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為______．如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=15，現(xiàn)在要找兩點E、F，則EA+EB+EF+FC+FD的最小值為__________如圖，等腰RtABC中，AB=4，P為ABC內(nèi)部一點，則PA+PB+PC的最小值為_______如圖，ABC中，AB=4，BC=3,ABC=75°，P為ABC內(nèi)的一個動點，連接PA、PB、PC，則PA+PB+PC的最小值為________如圖，P為正方形ABCD對角線BD上一動點，若AB=2，則PA+PB+PC的最小值為______在RtABC中，ACB=90°，AC=1，BC=，點O為RtABC內(nèi)一點，連接AO、BO、CO，且AOC=COB=BOA=120°，則OA+OB+OC=_______如圖，在四邊形ABCD中，B=60°，AB=BC=3，AD=4，BAD=90°，點P是四邊形內(nèi)部一點，則PA+PB+PD的最小值是______如圖，點P是矩形ABCD對角線BD上的一個動點，已知AB=2，BC=2，則PA+PB+PC的最小值為_______如圖，菱形ABCD的對角線AC上有一動點P，BC=6，ABC=150°，則PA+PB+PD的最小值為__________已知，在ABC中，ACB=30°,AC=3,AB=,(CB>CA),點P是ABC內(nèi)一動點，則PA+PB+PC的最小值為__________如圖，設(shè)點P到等邊三角形ABC兩頂點A、B的距離分別為2、則PC的最大值為______如圖，設(shè)點P到正方形ABCD兩頂點A、D的距離為2、則PC的最大值為________如圖，設(shè)點P到正方形ABCD兩頂點A、D的距離為2，則PO的最大值為_________.如圖，在RtABC中，∠BAC=90?，AB=AC，點D是BC邊上一動點，連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90?，得到AE，連接CE、DE，點F是DE的中點，連接CF問題：在點D運動的過程中，在線段AD上存在一點P，使PA+PB+PC的值最小，當PA+PB+PC取最小