復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則

第頁(yè)共頁(yè)復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法那么復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式.常用導(dǎo)數(shù)公式1.y=c(c為常數(shù))y'=02.y=xny'=nx(n-1)3.y=axy'=axlnay=exy'=ex4.y=logaxy'=logae/xy=lnxy'=1/x5.y=sinxy'=cosx6.y=cosxy'=-sinx7.y=tanxy'=1/cos2x8.y=cotxy'=-1/sin2x9.y=arcsinxy'=1/√1-x210.y=arccosxy'=-1/√1-x211.y=arctanxy'=1/1+x212.y=arccotxy'=-1/1+x2在推導(dǎo)的過(guò)程中有這幾個(gè)常見(jiàn)的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]?g'(x)『f'[g(x)]中g(shù)(x)看作整個(gè)變量，而g'(x)中把x看作變量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v23.y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y)，那么有y'=1/x'證：1.顯而易見(jiàn)，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是平行于x的，故斜率為0。用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。2.這個(gè)的推導(dǎo)暫且不證，因?yàn)榧偃绺鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)推導(dǎo)的話就不能推廣到n為任意實(shí)數(shù)的一般情況。在得到y(tǒng)=exy'=ex和y=lnxy'=1/x這兩個(gè)結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明。3.y=ax,⊿y=a(x+⊿x)-ax=ax(a⊿x-1)⊿y/⊿x=ax(a⊿x-1)/⊿x假如直接令⊿x→0，是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的，必須設(shè)一個(gè)輔助的函數(shù)β=a⊿x-1通過(guò)換元進(jìn)展計(jì)算。由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：⊿x=loga(1+β)。所以(a⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)1/β顯然，當(dāng)⊿x→0時(shí)，β也是趨向于0的。而limβ→0(1+β)1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)1/β=1/logae=lna。把這個(gè)結(jié)果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0ax(a⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=axlna?？梢灾溃?dāng)a=e時(shí)有y=exy'=ex。4.y=logax⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)x]/x⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)(x/⊿x)]/x因?yàn)楫?dāng)⊿x→0時(shí)，⊿x/x趨向于0而x/⊿x趨向于∞，所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)(x/⊿x)=logae,所以有l(wèi)im⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x?？梢灾?，當(dāng)a=e時(shí)有y=lnxy'=1/x。這時(shí)可以進(jìn)展y=xny'=nx(n-1)的推導(dǎo)了。因?yàn)閥=xn,所以y=eln(xn)=enlnx,所以y'=enlnx?(nlnx)'=xn?n/x=nx(n-1)。5.y=sinx⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)?lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx6.類似地，可以導(dǎo)出y=cosxy'=-sinx。7.y=tanx=sinx/cosxy'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos2x=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x8.y=cotx=cosx/sinxy'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin2x=-1/sin2x9.y=arcsinxx=sinyx'=cosyy'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin2y=1/√1-x210.y=arccosxx=cosyx'=-sinyy'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos2y=-1/√1-x211.y=arctanxx=tanyx'=1/cos2yy'=1/x'=cos2y=1/sec2y=1/1+tan2x=1/1+x212.y=arccotxx=cotyx'=-1/sin2yy'=1/x'=-sin2y=-1/csc2y=-1/1+cot2y=-1/1+x2另外在對(duì)雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)通過(guò)查閱導(dǎo)數(shù)表和運(yùn)用開(kāi)頭的公式與4.y=u土v,y'=u'土v'5.y=uv,y=u'v+uv'均能較快捷地求得結(jié)果。復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么y=f(u(x))對(duì)x求導(dǎo)y'=u(x)'*f(u(x))'，f(u(x))‘要把括號(hào)里的u(