精算師數(shù)學(xué)講義第6章參數(shù)估計(jì)

第6章參數(shù)估計(jì)【考試要求】6.1點(diǎn)估計(jì)

矩估計(jì)極大似然估計(jì)6.2點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

無偏性有效性相合性6.3區(qū)間估計(jì)均值的區(qū)間估計(jì)方差的區(qū)間估計(jì)

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【要點(diǎn)詳解】

參數(shù)：用來描述總體特征概括性數(shù)字度量；

參數(shù)估計(jì)：利用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體參數(shù)的過程。參數(shù)估計(jì)分為兩大類：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)；

點(diǎn)估計(jì)：用一個(gè)具體的數(shù)值去估計(jì)一個(gè)未知參數(shù)；

區(qū)間估計(jì)：用一個(gè)區(qū)間估計(jì)未知參數(shù)可能的取值范圍。

§6.1點(diǎn)估計(jì)

定義6-1利用樣本信息構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量作為總體未知參數(shù)θ的估計(jì)值，則被稱為參數(shù)θ的點(diǎn)估計(jì)量，簡(jiǎn)稱點(diǎn)估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)常用的方法：矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

1．矩估計(jì)

（1）構(gòu)造思想假設(shè)隨機(jī)樣本能夠充分反映總體的信息，那么可以用樣本矩去估計(jì)總體矩，從而求出未知參數(shù)的矩估計(jì)值。（2）基本點(diǎn)用樣本矩估計(jì)總體矩，用樣本矩的相應(yīng)函數(shù)估計(jì)總體矩的函數(shù)。設(shè)是來自某總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則樣本的k階原點(diǎn)矩為：如果總體X的k階原點(diǎn)矩存在，用Ak去估計(jì)，記為優(yōu)點(diǎn)：構(gòu)造思想直觀，計(jì)算簡(jiǎn)便，且在總體分布未知場(chǎng)合也可使用。缺點(diǎn)：由于選擇的矩不同，得到的估計(jì)值也不同，導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果不唯一。樣本各階矩易受到樣本異常值的影響，估計(jì)結(jié)果不夠穩(wěn)健。

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【例題6.1】設(shè)總體X的概率密度為是來自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則參數(shù)θ的矩估計(jì)量為（）。[2008年春季真題]A．B．C．D．E．e【答案】A【解析】

用代替，得從而θ的矩估計(jì)量為：精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．極大似然估計(jì)

（1）極大似然思想一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有若干個(gè)可能的結(jié)果：A,B,C…。在一次試驗(yàn)中，如果觀察結(jié)果A出現(xiàn)，則認(rèn)為可能的試驗(yàn)總體是導(dǎo)致A出現(xiàn)概率最大的那個(gè)。（2）極大似然方法設(shè)總體函數(shù)待估參數(shù)θ，θ有很多種可能的取值，從θ的所有的取值中選擇使得樣本觀察值出現(xiàn)概率最大的那個(gè)參數(shù)值（記作）作為θ的極大似然估計(jì)值，簡(jiǎn)稱為MLE。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（3）步驟：①寫出似然函數(shù)。設(shè)X的概率密度函數(shù)為p(x,θ)其中θ為未知參數(shù)，?，F(xiàn)在從總體中獲得了樣本容量為n的樣本觀察值則該樣本出現(xiàn)的概率為記為似然函數(shù)。

θ的極大似然估計(jì)值應(yīng)滿足②對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)。

?

③對(duì)數(shù)似然函數(shù)求導(dǎo)，得到似然方程。當(dāng)對(duì)數(shù)似然函數(shù)l(θ)對(duì)θ的每一分量可微時(shí)，可以通過l(θ)對(duì)θ的每一分量求偏導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)方程稱為似然方程。④求解似然方程，得到未知參數(shù)的極大似然估計(jì)值。

當(dāng)樣本的取值范圍與未知參數(shù)有關(guān)時(shí)，通常無法用求導(dǎo)的方法獲得未知參數(shù)的極大似然估計(jì)，這時(shí)要根據(jù)似然函數(shù)的具體形式和參數(shù)的約束條件靈活求解。

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【例題6.2】設(shè)總體X服從均值為λ的泊松分布，若λ的一階原點(diǎn)矩估計(jì)量為，極大似然估計(jì)量為，則下列選項(xiàng)中正確的是（）。[2008年春季真題]A．B．C．D．的大小關(guān)系與具體抽取的樣本有關(guān)E．以上選項(xiàng)都不正確【答案】A【解析】由題意知，故。由似然函數(shù)為：得

故精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題6.3】設(shè)總體X的密度函數(shù)是來自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則λ的極大似然估計(jì)量為（）。[2008年春季真題]A．B．C．D．E．【答案】D【解析】似然函數(shù)為：

要使Ｌ（λ）最大，則。

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【例題6.4】已知隨機(jī)變量X的分布率如下表所示。

其中，利用樣本觀察值：0，1，1，2，0，θ的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)分別為（）。A．0.3，4/15B．4/15，0.3C．0.4，4/15D．0.3，2/15E．0.4，2/15【答案】A【解析】由

可得：θ的矩估計(jì)值。由樣本觀察值可得似然函數(shù)，對(duì)似然函數(shù)求導(dǎo)：所以θ的極大似然估計(jì)值。

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§6.2點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

1．無偏性

定義6-2設(shè)是參數(shù)θ的一個(gè)估計(jì)量。假如其中是參數(shù)空間，則稱是θ的無偏估計(jì)。

?

無偏性衡量的是估計(jì)值的均值距離真實(shí)值θ的偏差。

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【例題6.5】設(shè)總體X服從正態(tài)分布是來自該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，令則的無偏估計(jì)量為（）。[2008年春季真題]A．B．C．D．E．【答案】D【解析】A、B顯然不對(duì)。由于故

即精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．有效性

定義6-3

設(shè)是參數(shù)θ的兩個(gè)無偏估計(jì)。假如對(duì)一切成立，且至少存在一個(gè)θ，使得嚴(yán)格的不等號(hào)成立，則稱有效。

定義6-4

設(shè)是參數(shù)θ的兩個(gè)估計(jì)量。假如且至少存在一個(gè)θ，使得嚴(yán)格的不等號(hào)成立，則稱在均方誤差意義下，。其中，為估計(jì)量的偏差平方。即：均方誤差等于方差和偏差平方之和。

?

對(duì)于無偏估計(jì)，由于偏差為零，均方誤差等于方差。

?

有效性則是衡量估計(jì)值的離散程度。

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【例題6.6】從均值為μ，方差為的正態(tài)總體中分別抽取容量為n1和n2的兩組獨(dú)立樣本，分別為兩組樣本的樣本均值。當(dāng)a=

，b=

（a+b=1）時(shí)，在此形式的估計(jì)量中最有效？（）A．B．C．D．E．

【答案】E【解析】由于分別為兩組獨(dú)立樣本的樣本均值，所以

又a+b=1，則

即當(dāng)a+b=1時(shí)，是μ的無偏估計(jì)。由于分別為容量n1和n2的兩組獨(dú)立樣本，所以

要使（a+b=1）在此形式的估計(jì)量中最有效，需使Var(Y)達(dá)到最小，即達(dá)到最小。所以

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3．相合性（一致性）

?相合性是指隨著樣本容量的遞增，估計(jì)量與被估參數(shù)的偏差越來越小的性質(zhì)。

定義6-5設(shè)對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，是參數(shù)θ的一個(gè)估計(jì)量。如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)有則稱的相合估計(jì)。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題6.7】設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，其中，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()。A．的無偏估計(jì)量B．的相合估計(jì)量C．的無偏估計(jì)量D．的極大似然估計(jì)量E．的無偏估計(jì)【答案】D

【解析】D項(xiàng)，的極大似然估計(jì)量是E項(xiàng)，由于所以即的無偏估計(jì)。

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§6.3區(qū)間估計(jì)

定義6-6設(shè)θ是總體的一個(gè)參數(shù)，其參數(shù)空間是，是來自該總體的一個(gè)隨機(jī)樣本，對(duì)給定的（0<

<1），確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，使得則稱為θ的置信水平為1-

的置信區(qū)間，其中稱為置信水平為1-

的置信下限，稱為置信水平為1-

的置信上限。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

1．均值的區(qū)間估計(jì)（1）單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)

假設(shè)隨機(jī)變量是來自該總體的一個(gè)隨機(jī)樣本，均值的區(qū)間估計(jì)就是要在給定的

（0<

<1）的基礎(chǔ)上，確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量使得①總體方差已知時(shí)，均值的區(qū)間估計(jì)由于則其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的1-

上分位點(diǎn)，即另一方面，需要兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量使得令解出

結(jié)論：在已知的場(chǎng)合，總體均值μ的1-

的置信區(qū)間為：

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【例題6.8】設(shè)總體X～N（，0.92），樣本容量n=9，樣本均值=5，則在保留三位小數(shù)下，未知參數(shù)μ的置信度為0.95的置信區(qū)間是()A．（4.412，5.588）B．（4.012，5.988）C．（3.412，6.588）D．（4.433，5.667）E．（4.250，5.750）【答案】A【解析】樣本方差已知，且總體服從正態(tài)分布，故而未知參數(shù)μ的置信度為0.95的置信區(qū)間為：

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【例題6.9】設(shè)總體X服從正態(tài)分布已知，若使μ的置信度為0.95的置信區(qū)間長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則樣本容量n至少應(yīng)該不小于（）。[2008年春季真題]A．B．C．D．E．

【答案】C【解析】由于長(zhǎng)度為則精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)②總體方差未知時(shí)，均值的區(qū)間估計(jì)

?小樣本場(chǎng)合構(gòu)造則其中為t分布的1-

分位點(diǎn)，即另一方面，需要兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量使得令解出結(jié)論：在未知的小樣本場(chǎng)合，總體均值μ的1-

的置信區(qū)間為：

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?大樣本場(chǎng)合當(dāng)樣本容量大于30時(shí)，通?？梢砸暈榇髽颖?。在大樣本場(chǎng)合，t統(tǒng)計(jì)量的漸近分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即：令解出

結(jié)論：在未知的大樣本場(chǎng)合，總體均值μ的1-

的置信區(qū)間為：

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【例題6.10】某銀行職工的月收入服從，現(xiàn)隨機(jī)抽取30名職工進(jìn)行調(diào)查，求得他們的月收入的平均值元，標(biāo)準(zhǔn)差元，則μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為()。A．（345.3，541.7）B．（645.4，747.0）C．（597.4，805.6）D．（416.8，865.4）E．（645.4，805.6）【答案】B

【解析】查表得則由已知條件可得μ的置信水平為0.95的置信區(qū)間為：

即為（645.4，747.0）。

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【例題6.11】某燈泡廠對(duì)生產(chǎn)的10000只日光燈進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，隨機(jī)抽取100只，測(cè)得燈管的平均發(fā)光時(shí)間為2000小時(shí)，發(fā)光時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為50小時(shí)。在95.45％的概率保證下，這批燈管平均發(fā)光時(shí)間的范圍是（）小時(shí)。A．（1980，2020)B．（1989，2011)C．（1990，2010)D．（1992，2008)E．（1995，2005)【答案】C【解析】在95.45％的概率保證下，這批燈管平均發(fā)光時(shí)間的置信區(qū)間為：

即（1990，2010）小時(shí)。

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（2）兩個(gè)獨(dú)立總體均值差的區(qū)間估計(jì)設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)總體從X總體中獲取樣本從Y總體中獲取樣本，構(gòu)造的置信區(qū)間。在點(diǎn)估計(jì)場(chǎng)合，常用估計(jì)。①已知

的置信水平為1-

的置信區(qū)間為：

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)②但是未知。

?小樣本場(chǎng)合小樣本場(chǎng)合下，的抽樣分布其中結(jié)論：小樣本場(chǎng)合，的置信水平為1-

的置信區(qū)間為：精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

?大樣本場(chǎng)合大樣本場(chǎng)合下，的抽樣分布為：結(jié)論：大樣本場(chǎng)合，的置信水平為1-

的置信區(qū)間為：

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【例題6.12】為比較A、B兩城市居民的生活水平，分別調(diào)查150戶和100戶家庭的人均生活費(fèi)支出。按所得數(shù)據(jù)算得樣本均值分別是55.91元和67.76元，樣本方差分別為64.91元2和69.37元2。假設(shè)兩城市家庭人均生活費(fèi)支出都可以認(rèn)為服從正態(tài)分布且方差相等，則以95％的置信概率估計(jì)B城市與A城市人均生活費(fèi)支出之差的置信區(qū)間為（）。（z0.975=1.96）A．（9.84，13.86）B．（9.40，14.30）C．（9.93，13.77）D．（10.18，13.52）E．（9.78，13.92）【答案】E【解析】已知兩總體均服從正態(tài)分布，且方差相等，則合并估計(jì)量為：

已知所以B城市與A城市人均生活費(fèi)支出相差的幅度在95%下的置信區(qū)間為：即（9.78，13.92）。

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【例題6.13】某廠兩條自動(dòng)化罐裝蕃茄醬生產(chǎn)線，分別從兩條流水線上抽取樣本X1，X2，…，X12及Y1，Y2，…，Y17，算出＝10.6（克），＝9.5（克）2.4，4.7，假設(shè)這兩條流水線上罐裝蕃茄醬的重量都服從正態(tài)分布，其均值分別為且有相同的方差，則均值差的置信水平為0.95的區(qū)間估計(jì)為（）。A．(-0.2,2.4)B．(-0.3,2.5)C．(-0.4,2.6)D．(-0.5,2.7)E．(-0.7,2.9)

【答案】C

【解析】總體方差的合并估計(jì)量為：根據(jù)

=0.05，自由度(12+17－2)=27，查t分布表得t0.975(27)=2.0518，則兩個(gè)總體均值之差在95%置信水平下的置信區(qū)間為：即(-0.4,2.6)。

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2．方差的區(qū)間估計(jì)（1）單總體方差的置信區(qū)間

假設(shè)隨機(jī)變量是來自該總體的一個(gè)隨機(jī)樣本，方差的區(qū)間估計(jì)就是要在給定的（0<α<1）的基礎(chǔ)上，確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量和，使得

構(gòu)造則其中分布的1-α/2分位點(diǎn)，即解出

結(jié)論：總體方差的置信水平為1-

的置信區(qū)間為：

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【例題6.14】有關(guān)資料顯示，運(yùn)動(dòng)員大多是長(zhǎng)壽的。從各國(guó)運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取10人，他們死亡時(shí)的年齡（單位：歲）分別為：85，87.5，88，93，95.2，97，72.5，78.5，60，83。要求：根據(jù)資料，當(dāng)顯著性水平=0.05時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的標(biāo)準(zhǔn)誤差的置信區(qū)間為（）。A．（8.36，20.32）B．（6.29，19.36）C．（10.23，25.35）D．（9.87，21.35）E．（7.76，20.59）【答案】E【解析】已知1－

=0.95，/2=0.025，n－1=9,由已知數(shù)據(jù)可得：=83.97，S=11.2752。所以標(biāo)準(zhǔn)誤差的置信度為95%的置信區(qū)間為：

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