河北省香河縣2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

PP

1.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)P(x,y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)4(-1,0),則的最小值為()

PA

1B.旦2叵

A.-D.二一

223

2.在直角梯形ABCO中，ABAD=0>"=30。，AB=2g，BC=2,點(diǎn)E為3c上一點(diǎn)，且AE=xAB+yAO,

當(dāng)取的值最大時(shí)，|最|=()

A.B.2C.D.2#)

2

22

3.已知橢圓。：與一+與=1,直線猶+y+3m=。與直線小”-切-3=0相交于點(diǎn)尸，且P點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立,

6r+9a-

則橢圓C的離心率取值范圍為()

4.已知平面向量a,瓦c,滿足出|=2,|a+6|=l,c=4a+4人且2+2〃=1,若對(duì)每一個(gè)確定的向量記|c|的最

小值為加，則當(dāng)￡變化時(shí)，加的最大值為()

111

A.-B.-C.-D.1

432

5.從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競(jìng)賽，其中甲不能參加生物競(jìng)賽，則不同的參賽方案

種數(shù)為

A.48B.72C.90D.96

6.在我國傳統(tǒng)文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個(gè)物質(zhì)類別，在五者之間，有一種“相生”的關(guān)系，具體是：

金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個(gè)，這二者具有相生關(guān)系的概率是()

A.0.2B.0.5C.0.4D.0.8

7.已知向量a=(l,4),b=(-2,w),若|￡+方則》/=()

11

A.B.—C.-8D.8

22

8.復(fù)數(shù)z（l-i）=i（i為虛數(shù)單位），貝也的共扼復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（4,9）,且P（X〈2）=P（X2a）,則。=（）

A.3B.5C.6D.7

10.若函數(shù)/（x）=|ln%|滿足/（。）=/0），且0<a<b,則名二士d的最小值是（）

4a+2b

3r-

A.0B.1C.-D.2V2

11.秦九韶是我國南寧時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的

秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入

〃、x的值分別為3、1,則輸出v的值為（）

A.7B.8C.9D.1（）

7?

12.函數(shù)）；=45泡（6?+。）（。>0,\<p\<->xeR）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為（）

jrjrjrjr

C.y=-4sin(—x--)D.y=4sin(—x+—)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知多項(xiàng)式(x+l)3(x+2)2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+a5,則a《=,as=.

2乃

14.在△ABC中，AB=C,BC=1,ZC=—,則AC=.

15.如圖所示，在直角梯形3co廠中，NCBF=NBCE=9。,A、O分別是B尸、CE上的點(diǎn)，AD//BC,且

AB=DE=2BC=2AF(如圖①).將四邊形ADE尸沿AD折起，連接BE、BF、CE(如圖②).在折起的過程中,

則下列表述：

圖①圖②

①AC//平面3EF;

②四點(diǎn)3、C、E、產(chǎn)可能共面；

③若EF上CF,則平面AO所，平面ABC。；

④平面BCE與平面BEF可能垂直.其中正確的是.

3x-y-2>0

16.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件x+y-240,則z=x+2y的最大值為.

x+4y+4>0

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

x=2-t

17.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，直線C,的參數(shù)方程為。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸

[y=2+f

的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=cos。（夕cos8+2）.

（1）求曲線G與直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線G與直線交于A,8兩點(diǎn)，求的值.

18.（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足a*=2S“+〃+4,a2-\,%，%，恰為等比

數(shù)列也｝的前3項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式；

iihnt

（2）求數(shù)列一。的前〃項(xiàng)和為T“；若對(duì)V〃eN*均滿足（＞7^,求整數(shù)偌的最大值；

l?A+iJ2020

（3）是否存在數(shù)列｛%｝滿足等式￡（4-1￡,+一=21-〃-2成立，若存在，求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；若不存在,

/=1

請(qǐng)說明理由.

19.（12分）在①。=2,@a=h=2,③匕=c=2這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，求AAZ?。的面積

的值（或最大值）.已知AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,三邊。，b,c與面積S滿足關(guān)系式:

4S=b2+c2-a2,且_____________,求△ABC的面積的值（或最大值）.

「11]「10]

20.（12分）已知矩陣4=，二階矩陣3滿足A8=

（）-1（）1

（1）求矩陣3；

（2）求矩陣8的特征值.

21.（12分）我們稱〃（〃eN*）元有序?qū)崝?shù)組（玉，x2，…，相）為“維向量，Z㈤為該向量的范數(shù).已知〃維

/=1

向量￡=（看,馬,…,當(dāng)），其中e,/=1,2,…，〃.記范數(shù)為奇數(shù)的〃維向量￡的個(gè)數(shù)為A“，這A”個(gè)向量

的范數(shù)之和為紇.

（1）求&和鳥的值；

（2）當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，求A.，Bn（用”表示）.

22.（10分）設(shè)點(diǎn)E（l,0）,動(dòng)圓P經(jīng)過點(diǎn)尸且和直線x=—l相切.記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線W.

（1）求曲線W的方程；

（2）過點(diǎn)M（0,2）的直線/與曲線W交于A、8兩點(diǎn)，且直線/與x軸交于點(diǎn)C,設(shè)礪MB=pBC,

求證：a+Q為定值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

通過拋物線的定義，轉(zhuǎn)化PF=PN,要使篇有最小值，只需NAPN最大即可，作出切線方程即可求出比值的最

小值.

【詳解】

解：由題意可知，拋物線V=4x的準(zhǔn)線方程為x=—1,A(-l,0),

過。作PN垂直直線x=—l于N,

由拋物線的定義可知PF=PN,連結(jié)R4,當(dāng)Q4是拋物線的切線時(shí)，與^有最小值，則NAPN最大，即NB4/最

大，就是直線Q4的斜率最大，

y=k(x^-l)

設(shè)在Q4的方程為：y=k(x+l)9所以匕，

1/=4x

解得：k2x2+(2k2-^x+k2=Q,

所以A=(2/一4>-4/=0,解得z=±i,

所以N7VQ4=45°,

\PF\41

-——-=cosZA^E4=-----?

\PA\2

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

由題，可求出AO=1,CD=6,所以Aq=2OC，根據(jù)共線定理，設(shè)礪=4就（噴股1）,利用向量三角形法則求

出荏=11一。通+2也結(jié)合題給通一通+y而，得出x=l-*y=2,進(jìn)而得出孫=（1一。/1,最后

利用二次函數(shù)求出肛的最大值，即可求出|荏|=.

【詳解】

UllUUUIU

由題意，直角梯形ABC。中，ABAD=O>NB=30。，AB=2有,BC=2,

可求得AO=l,CO=g,所以A月=20。

?點(diǎn)E在線段8C上，設(shè)麗=4就（0領(lǐng)"1）,

則標(biāo)=通+布=礪+/1冊(cè)=通+/1（麗+亞+前）

=（l-/l）AB+/lAD+2DC=H-^jAB+2AD,

又因?yàn)锳E=xAB+yAD

所以x=l—5，y=2,

所以孫2=_；［('-1)2=(4-1)2+；,,；,

當(dāng)4=1時(shí)，等號(hào)成立.

——1—■―?

所以lAER/AB+AOUZ.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算、向量共線定理，以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.

3.A

【解析】

先求得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，判斷出直線4,4過橢圓的焦點(diǎn).然后判斷出4人，2,判斷出尸點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)尸恒在橢圓內(nèi)

列不等式，化簡后求得離心率e的取值范圍.

【詳解】

設(shè)的（一c,0），E（c,0）是橢圓的焦點(diǎn)，所以。2="+9一/=9,C=3.直線4過點(diǎn)耳（—3,0）,直線％過點(diǎn)6（3,0）,由

于mxi+ix（-m）=0,所以/14,所以尸點(diǎn)的軌跡是以6,K為直徑的圓f+>2=9.由于p點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立，

所以橢圓的短軸大于3,即標(biāo)>32=9,所以/+9>18,所以雙曲線的離心率e2=f^Jo,!],所以

a-+9I2）

0,——.

I2J

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系，考查動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，考查橢圓離心率的取值范圍的求法，屬于中檔題.

4.B

【解析】

根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令麗=￡,礪=B反=".E為QB中點(diǎn).由B=1即可求得P點(diǎn)的軌跡方程.將

2=篇+應(yīng)變形，結(jié)合4+2〃=1及平面向量基本定理可知P,C,E三點(diǎn)共線.由圓切線的性質(zhì)可知|c|的最小值加即

為。到直線PE的距離最小值，且當(dāng)PE與圓M相切時(shí)，加有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式即可求得

直線方程，進(jìn)而求得原點(diǎn)到直線的距離,即為由的最大值.

【詳解】

根據(jù)題意,出|=2,設(shè)赤=￡=（羽y）,礪=B=（2,0）,反=2,￡（1,0）

—.b

則OE=—

2

由a+b=1代入可得J(x+2/+y2=1

即尸點(diǎn)的軌跡方程為(x+2)2+y2=1

__(b}

又因?yàn)?=蘇+〃5,變形可得"=加+2〃y，即1=7訴+2/詬，且?guī)?2〃=1

所以由平面向量基本定理可知P,C,E三點(diǎn)共線,如下圖所示：

所以I"I的最小值加即為。到直線PE的距離最小值

根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知，當(dāng)PE與圓M相切時(shí)，加有最大值

設(shè)切線PE的方程為？=%(工一1)，化簡可得去一丁一女=o

\-2k-k\

由切線性質(zhì)及點(diǎn)M到直線距離公式可得/。=1,化簡可得8M=1

&+1

即％=±交

4

即機(jī)的最大值為!

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用，圓的軌跡方程問題，圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式的

應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

5.D

【解析】

因甲不參加生物競(jìng)賽，則安排甲參加另外3場(chǎng)比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽

①當(dāng)甲參加另外3場(chǎng)比賽時(shí)，共有C,1?=72種選擇方案;②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時(shí)，共有A/=24種選擇方案.綜

上所述，所有參賽方案有72+24=96種

故答案為：96

點(diǎn)睛：本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體，考查了分類計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.

【詳解】

從五行中任取兩個(gè)，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10種，

其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5種，所以所求的概率為』='=0.5.

102

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

先求出向量”+石，￡-6的坐標(biāo)，然后由|a+〃|=|￡-B|可求出參數(shù)）的值.

【詳解】

由向量￡=（1,4）,B=（-2,m）,

貝！Ja+B=（-1,4+，〃），a-b=（3A~in）

\a+B|=Jl2+（4+,w）2，\a-b|=^32+（4-/n）2

又|￡+向=|￡-日|,則^l2+（4+w）2=^32+（4-m）2,解得加=g.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出Z,寫出共枕復(fù)數(shù)，寫出共枕復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即得

【詳解】

z(l+z)-1+;11.

--------------------------------=+-I—I

1-z(l-z)(l+z)2-------2222

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第三象限.

22

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共軌復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵.

9.C

【解析】

根據(jù)在關(guān)于X=4對(duì)稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解.

【詳解】

-.?//=4,a-3,

.?.P(XW2)=P(X<4-2)=P(X24+2)=P(XN6)=P(X2a),,a=6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用.掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(〃,b2),

尸(X工〃一切)=尸(X24+帆).

10.A

【解析】

由=推導(dǎo)出/>=工，且0<。<1，將所求代數(shù)式變形為4、+“-4=網(wǎng)蟲一1,利用基本不等式

求得北+Z7的取值范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.

【詳解】

??,函數(shù)=滿足f(a)=/(b),/.(Ina)2=(lnZ?)2,即(lna—ln〃)(lna+ln/?)=0,

0v。vZ?,:Ana<\nh,Ina+Inb=0,即In=0n〃/7=1,

/.l=ab>a29則。<a<1,

由基本不等式得2a+b=2a+，N2、2a-'=2及，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

a\a2

4/+/一4（2?+/?）~-4ab-4（2。+〃）~-82Q+Z?4

?4a+2b-2（2，+力）-2（2a+b）一方2a+b

由于函數(shù)yg—在區(qū)間［2夜，+8）上為增函數(shù)，

-V...I—>^4.467-+b~—4EXH>*4_2J24

所以，當(dāng)2a+6=20時(shí)，-----------取得最s小值---------尸=。?

4a+2h22V2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

11.B

【解析】

列出循環(huán)的每一步，由此可得出輸出的v值.

【詳解】

由題意可得：輸入“=3,x=l,v=2>m=3；

第一次循環(huán)，u=2xl+3=5,m=3-1=2,〃=3—1=2,繼續(xù)循環(huán)；

第二次循環(huán)，u=5xl+2=7,〃?=2—1=1,〃=2—1=1,繼續(xù)循環(huán)；

第三次循環(huán)，v=7xl+l=8,/〃=1—1=(),“=1-1=0,跳出循環(huán)；

輸出u=8.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)算法框圖計(jì)算輸出值，一般要列舉出算法的每一步，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

77

根據(jù)圖像的最值求出A,由周期求出。，可得y=4sin(Qx+。)，再代入特殊點(diǎn)求出。，化簡即得所求.

O

【詳解】

T2471

由圖像知A=4,—=6—（―2）=8,T=16=—,解得。=土，

2co8

TT7T

因?yàn)楹瘮?shù)y=4sin（qx+e）過點(diǎn)（2,T）,所以4$皿7*2+8）=-4,

88

sin(—x2+0)=-l,即一x2+e=+2k/r(kGZ),

882

37rTiS/r

解得。=一一+2k兀(kwZ),因?yàn)閘el<—,所以。=——，

424

..,兀5冗、.,.7T7T.

y=4sin(—x+—)=-4sin(—x+—).

■8484

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.164

【解析】

只需令x=0,易得as,再由(X+1)3(X+2)2=(X+1)，+2(X+1)4+(X+1)3,可得內(nèi)=C；+2C：+C；.

【詳解】

令X=0,得。5=(0+1)3(0+2)2=4,

而0+1)3(*+2)2=(*+l)3[(x+l)2+2(x+l)+l]=(x+l)5+2(x+l)4+(x+1)3;

則oi=C；+2C；+Cj=5+8+3=16.

故答案為：16,4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了多項(xiàng)式展開中的特定項(xiàng)的求解，可以用賦值法也可以用二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式求解，屬于中檔題.

14.1

【解析】

由已知利用余弦定理可得AC2+AC-2=0,即可解得AC的值.

【詳解】

解：?;AB=叢,BC=\,ZC=—,

由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC.8C.cosC，

BT^3=AC2+1-2XACX1X(-1),整理可得：AC2+AC-2=0,

解得AC=1或一2(舍去).

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.①③

【解析】

連接AC、BD交于點(diǎn)M,取8E的中點(diǎn)N,證明四邊形AFM0為平行四邊形，可判斷命題①的正誤；利用線面平

行的性質(zhì)定理和空間平行線的傳遞性可判斷命題②的正誤；連接。尸，證明出小人EF,結(jié)合線面垂直和面面垂直

的判定定理可判斷命題③的正誤；假設(shè)平面8CE與平面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④的正誤.

綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

對(duì)于命題①，連接AC、BD交于點(diǎn)M,取BE的中點(diǎn)M、N,連接MN、FN,如下圖所示：

則且A/7/OE,四邊形ABCZ）是矩形，且ACnBO=M,為3。的中點(diǎn)，

2

QN為BE的中息，：.MN//DE且MN=^DE,：.MN//AF且MN=AF，

四邊形AF7VM為平行四邊形，即AC//FN,

;ACZ平面3￡下，F(xiàn)Nu平面BEF,：.AC〃平面BEF,命題①正確；

對(duì)于命題②，QBC//AD,BC<Z平面AD￡F,ADu平面AD￡F,.,.BC〃平面A￡>EV,

若四點(diǎn)8、C、E、尸共面，則這四點(diǎn)可確定平面a,則BCua,平面aPl平面ADEF=石產(chǎn)，由線面平行的性

質(zhì)定理可得BC//EF,

則所〃AD,但四邊形AD￡下為梯形且A。、EF為兩腰,AO與EF相交，矛盾.

所以，命題②錯(cuò)誤；

對(duì)于命題③，連接CF,設(shè)AD=AE=a,則?！?2a,

JT

在應(yīng)/中，AD^AF=a,NDAF=—,則AADF為等腰直角三角形，

2

且NAFD=NAOF=2,DF=叵a，：2EDF=J且OE=2a,

44

由余弦定理得EF~=DE2+DF1-IDE-DFcosAEDF=2a2,：,DF2+EF2=DE2，

:.DFA.EF,又?rEFLCF,DF^CF=F,，EF上平面CDF,

CDu平面COF,..CD，EE,

\-CD±AD,AD、E/為平面ADEF內(nèi)的兩條相交直線，所以，C￡),平面ADEF,

?.?CDu平面ABC。，平面ADEE_L平面ABCD,命題③正確；

對(duì)于命題④，假設(shè)平面BCE與平面8石尸垂直，過點(diǎn)尸在平面8石尸內(nèi)作FG_LBE,

???平面BCE_L平面8石尸，平面3CED平面8石尸=BE,FG±BE,FGu平面BEF,

.,.EG,平面BCE,

6Cu平面BCE,3C_LFG,

\AD±AB,AD±AF,BC//AD,:.BC±AB,BC1AF,

又QABIA尸=A,..BC_L平面ABF,?.?Mu平面ABE,

\-FGnBF=F,..BC,平面B￡F,?.?EFu平面BEF,：.BC上EF.

-.AD//BC,:.EF±AD,顯然EE與AO不垂直，命題④錯(cuò)誤.

故答案為：①③.

【點(diǎn)睛】

本題考查立體幾何綜合問題，涉及線面平行、面面垂直的證明、以及點(diǎn)共面的判斷，考查推理能力，屬于中等題.

16.3

【解析】

作出可行域，可得當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過點(diǎn)A(l,1)時(shí),z取得最大值，求解即可.

【詳解】

3x-y-2=0/、

作出可行域(如下圖陰影部分)，聯(lián)立,八，可求得點(diǎn)

x+y-2=0

當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過點(diǎn)A(l,l)時(shí),Za=l+2xl=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)曲線G的直角坐標(biāo)方程為＞2=2x；直線G的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0(2)6及

【解析】

X=PCOS0

(1)由公式,八可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程，消參法可化參數(shù)方程為普通方程；

y-psinff

(2)聯(lián)立兩曲線方程，解方程組得兩交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得兩點(diǎn)間距離.

【詳解】

解：(1)0/pcos0(pcos0+2)

p=0cos2e+2cose

p1=p2cos?6+2pcos。

x2+y2=x2+2x

???曲線c,的直角坐標(biāo)方程為/=2x

直線C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0

y=-%+4x=2x=8

(2)據(jù)＜解，得或<

y2=2xy=2y=-4

=J(2一81+[2—(—4)了=672

【點(diǎn)睛】

本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查參數(shù)方程與普通方程的互化，屬于基礎(chǔ)題.

18.(2)a=n+\,2=2"(2)T=-——1,加的最大整數(shù)是2.(3)存在，%=2"”

nn〃+2

【解析】

(2)由a3=2S“+〃+4可得a；=2S“_1+〃+3(n>2),然后把這兩個(gè)等式相減，化簡得。，用=4+1,公差為2,

因?yàn)?，%為等比數(shù)列，所以為2=(4-1)%,化簡計(jì)算得，％=2,從而得到數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再計(jì)

算出生-1，%，％，從而可求出數(shù)列｛“｝的通項(xiàng)公式；

(2)令c.=—--——；，化簡計(jì)算得%從而可得數(shù)列｛q,｝是遞增的，所以只要7；的最小值大

a,,%〃+2〃+1

mI

于王麗即可，而十,的最小值為工=9=3,所以可得答案；

(3)由題意可知，(4―i)c”+(%―I)%-1+(%—1)%-2+…+(。.—i)q=2"?,

即C.+2C,I+3%_2+…+〃q=2"M—2,(neN"),這個(gè)可看成一個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和，再寫出其前(〃一1)項(xiàng)

n

和，兩式相減得，cn+cn_t+cn_2+...+ct=2-l,利用同樣的方法可得g=2"T(〃eN*).

【詳解】

解：(2)由題，當(dāng)〃=1時(shí)，a；=2S]+5,即a；=2q+5

當(dāng)2時(shí)，a；+i=25?+/?+4①a；=2s“_1+〃+3②

①-②得-公=2a?+1,整理得，又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛a“｝.

故4+i=4+1,｛(｝是從第二項(xiàng)的等差數(shù)列，公差為2.

又4-1,小，由恰為等比數(shù)列加,｝的前3項(xiàng)，

故必=3-1”7n(4+1)-=3-1)(。2+5)，解得&=3.又a；=2q+5,

故q=2,因?yàn)?=1也成立.

故｛4｝是以4=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.故。“=2+〃-1=〃+1.

即2,4,8恰為等比數(shù)列出｝的前3項(xiàng)，故出｝是以偽=2為首項(xiàng)，公比為;=2的等比數(shù)歹!J,

故4=2".綜上4=〃+1,b“=2"

nb2,,+|2"

(2)令c,=—匚=--——?jiǎng)t

W“+i〃+2〃+1

(〃+1)。+1曲2"+22"|J".2"

aa

《，+出”+2n,,+\"+3〃+2n+2n+\

〃+3〃+1

2〃(3.+1)

(鹿+3)(〃+1)

所以數(shù)列｛c“｝是遞增的,

若對(duì)V〃GN*均滿足7；＞矗，只要7“的最小值大于藁即可

因?yàn)榭吹淖钚≈禐?=q=g,

所以機(jī)＜2三02？0，所以用的最大整數(shù)是2.

⑶由￡(。,-1)。華=22-“-2,得

/=1

,,+1

(4T)G+(%T)c；1T+(%-1應(yīng)-2+…+(4T)G=2-n-2,

c“+2c、“_|+3c“_2+…+g=2"-〃-2,(3)

7.-1+2C?-2+3C?-3+...+(rt-1)C1=2n-(n-1)-2,nwN*)④

H

③-④得，C?+cn_x+c?_2+...+C1=2-1,⑤，

*+*+*+…+G=2"T_1,nwN*)⑥

⑤-⑥得，C“=2"T(〃GN*),

所以存在這樣的數(shù)列{c.},C“=2"T(〃GN*)

【點(diǎn)睛】

此題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，最值，恒成立問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔

題.

19.見解析

【解析】

若選擇①，結(jié)合三角形的面積公式，得4S=4x：6csinA=/+c2-/,化簡得到sinA="±2一"二=cosA,貝！J

22bc

tanA=l,又0°<A<180。，從而得到A=45。，

將a=2代入"+：——=cosA,得力之+/=0歷+4.

2hc

又yflbc4-4=Z?2+c2>2bcf：?be<4+2A/2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=+2ypi時(shí)等號(hào)成立.

:.S=-besinA<-x(4+2^2)x=垃+1,

222

故△ABC的面積的最大值為及+1，此時(shí)"=°="+2蜂.

若選擇②，a=b=2,結(jié)合三角形的面積公式,得4S=4*=bcsinA=b2+c2-a2,化簡得到sinA=+。一"=cosA,

則tanA=L又0°<A<180°,從而得到4=45。,

則A=8=45°,此時(shí)△ABC為等腰直角三角形，S=-x2x2=2.

2

若選擇③，b=c=2,則結(jié)合三角形的面積公式，得4s=4xg歷sinA=〃+c2-〃2,化簡得到

22221

sinA==cosA,則tanA=l,又0。<4<180°,從而得到A=45。，貝！|S=-x2x2xsin45°=0.

2hc2

"11"

20.(1)B=(2)特征值為1或—1.

0—1

【解析】

「10]

(D先設(shè)矩陣B,根據(jù)AB=01，按照運(yùn)算規(guī)律,即可求出矩陣8.

(2)令矩陣B的特征多項(xiàng)式等于0,即可求出矩陣8的特征值.

【詳解】

b

解：(1)設(shè)矩陣6由題意,

d

因?yàn)锳B=01,

所-1%」l］［「acdb~卜\［fo1O1'_

a+c=1fa=1

b+d=0b=1

\，即《

—c=Oc=O

-d=l［d=-1

所以人［「o2/11

(2)矩陣8的特征多項(xiàng)式/(/1)=(4+1)(4-1),

令/")=0,解得/1=1或-1,

所以矩陣8的特征值為1或-1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值，考查學(xué)生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.

21.(1)&=4,B2=4.(2)B“=”-(3"T—1)

【解析】

(1)利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)都寫出來，再做和；(2)用組合數(shù)表示A“和紇，再由公式

(〃一女)C=山3或比：=”C二：將組合數(shù)進(jìn)行化簡，得出最終結(jié)果.

【詳解】

解：⑴范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對(duì)有：(TO),(0,-1),(0,1),(1,0),

它們的范數(shù)依次為1,1,1,1,故4=4,B2=4.

(2)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，在向量￡=(玉,%2，/，…，天)的”個(gè)坐標(biāo)中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)，所以

可按照含0個(gè)數(shù)為：1,3,…，〃—1進(jìn)行討論：￡的〃個(gè)坐標(biāo)中含1個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或一1,共有C>2"T個(gè)，每

個(gè)￡的范數(shù)為“—1;

￡的"個(gè)坐標(biāo)中含3個(gè)0,其余坐標(biāo)為1或-1,共有C，2”3個(gè)，每個(gè)￡的范數(shù)為〃—3；

￡的〃個(gè)坐標(biāo)中含1個(gè)o,其余坐標(biāo)為1或-1,

共有C/.2個(gè)，每個(gè)￡的范數(shù)為1；所以

3

A“=C；(-2,T+C：-2"-+…+C：T