中學生物理比賽系列練習試題圓周運動

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中學生物理比賽系列練習題

第四章圓周運動萬有引力定律

1、如圖所示，賽車在水平賽道上做90°轉(zhuǎn)彎，其內(nèi)、外車道轉(zhuǎn)彎處的半徑分不為r1、r2，車與路面間的動摩擦因數(shù)基本上μ。試咨詢：比賽中車手應選圖中的內(nèi)道依然外道轉(zhuǎn)彎？在上述兩條轉(zhuǎn)彎路徑中，車手在內(nèi)、外車道挑選中也許贏得的時刻為多少？

解：對外車道，其走彎道所允許的最大車速為V2，則m(V2)2∕r2=μmg,∴V2＝2gr*μ,所以車先減速再加速，加速度為a=μmg∕m=μg,減速的路徑長

為X2＝（Vm2

－V22

）∕2a=2

222

r

gVm-μ,∴總時刻為t2=t減速＋t圓?。玹加速＝aVVm2-+

222Vr*π＋aVVm2-（2分）＝μgVm2－（2－2π

）μgr2（2分）同理，車走內(nèi)道的時刻為t1=

μgVm2－（2－2π

）μ

gr1(4分)又由于車在內(nèi)道和外道的直線路徑是相等的?！嘬囀謶撎暨x走外道。時刻差為:Δt=t1-t2=（2－2π

）μ

grr12-(3分)

2、依照天文觀測，月球半徑為R=1738km，月球表面的重力加速度約為地球表面的重力加速度的1/6，月球表面在陽光照耀下的溫度可達127℃，此刻水蒸氣分子的平均速度達到v0=2000m/s。試分析月球表面沒有水的緣故。（取地球表面的重力加速度g=9.8m/s2）（要求至少用兩種辦法講明）

辦法一：假定月球表面有水，則這些水在127℃時達到的平均速度v0=2000m/s

必須小于月球表面的第一宇宙速度，否則這些水將不可能落降回月球表面，導致月球表面無水。取質(zhì)量為m的某水分子，因為GMm/R2=mv12/R2，mg月=GMm/R2，g月=g/6，因此代入數(shù)據(jù)解得v1=1700m/s，v1＜v0，即這些水分子會象衛(wèi)星一樣繞月球轉(zhuǎn)動

而別降到月球表面，使月球表面無水。

辦法二：設v0=2000m/s為月球的第一宇宙速度，計算水分子繞月球的運行半徑

R

1

，假如R1＞R，則月球表面無水。取質(zhì)量為m的某水分子，因為GMm/R12=mv02/R12，

mg

月

=GMm/R12，g月=g/6，因此R1=v02/g月=2.449×106m，R1＞R，即以2000m/s的速度運行的水分子別在月球表面，也即月球表面無水。

辦法三：假定月球表面有水，則這些水所受到的月球的引力必須腳以提供水蒸氣分子在月球表面所受到的向心力，即應滿腳：mg月＞GMm/R2，當v=v0=2000m/s時，

g

月

＞v02/R=2.30m/s2，而如今月球表面的重力加速度僅為g/6=1.63m/s2，因此水分子在月球表面所受的重力別腳以提供2000m/s所對應的向心力，也即月球表面無水。

辦法四：假定有水，則這些水所受到的月球的引力必須腳以提供水蒸氣分子在月球表面所受到的向心力，即應滿腳：mg月＞GMm/R2，，即應有g(shù)月R＞v2而實際上：

g

月R=2.84×106m2/s2，v

2=4×106m2/s2，因此v

2＞g

月

R即以2000m/s的速度運行

的水分子別能存在于月球表面，也即月球表面無水。

3、半徑分不為r1和r2（r1：r2=5：1）的；兩金屬細齒輪互相吻合地裝配在一起，如圖所示，它們的轉(zhuǎn)軸半徑均為。整個裝置放在磁感應強度為B的均勻磁場中，磁場的方向平行于轉(zhuǎn)軸。兩轉(zhuǎn)軸經(jīng)過金屬支架互相連通。當兩齒輪互相接觸時，量得兩齒輪邊緣之間的電阻為R。現(xiàn)將一其質(zhì)量為m的物體用輕繩繞在大齒輪的軸上，忽略摩擦損耗，求懸掛物體在重力作用下勻速下降的速度。

4、用恰好腳以擺脫太陽引力場的速度，在離開太陽的徑向軌道上，從地球發(fā)射一航天器，由時刻操縱以便航天器在木星后面一定距離穿越木星軌道。因航天器跟木星引力場有作用而偏轉(zhuǎn)90o，即作用后的速度切于木星軌道（圓軌道）。在這作用中航天器單位質(zhì)量得到的能量是多少？（在作用時略去太陽引力場，并假設持續(xù)時刻與木星周期相比非常?。?/p>

題庫83

5、開普勒從1909年至1919年發(fā)表了聞名的開普勒行星三定律：第一定律：所有的行星分不在大小別同的橢圓軌道上環(huán)繞太陽運動，太陽在這些橢圓的一具焦點上。第二定律：太陽和行星的聯(lián)線在相等的時

間內(nèi)掃過相等的面積。第三定律：所有行星的橢

圓軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等。實踐證明，開普勒三定律也適用于人造地球衛(wèi)星或宇宙飛船。宇宙飛船在距火星表面H高度處作勻速圓周運動，火星半徑為R，今設飛船在極短時刻內(nèi)向外側(cè)噴氣，使飛船獲得一徑向速度，其大小為原速度的α倍。因α非常小，因此飛船新軌道不可能與火星表面交會，如圖所示。飛船噴氣質(zhì)量可忽略別計，引力勢能表達式為r

GMm

-

。試求：(1)飛船新軌道的近火星點的高度h近和遠火星點高度h遠；(2)設飛船原來的運動速度為v0，試計算新軌道的運行周期T

設火星和飛船的質(zhì)量分不為M和m，飛船沿橢圓軌道運行時，飛船在最近點或最遠點到火星中心的距離為r，飛船速度為v。

因飛船噴氣前繞圓形軌道的面積速度為00vr2

1，等于噴氣后飛船繞橢圓軌道

在D點的面積速度θsin2

1

0Dvr（D為圓軌道和橢圓軌道的交點），

由開普勒第二定律，后者又等于飛船在近、遠火星點的面積速度rv2

1

，即：

rvvrvrD2

1

sin2121000==θ，即rvvr00=…………（1）2分由機械能守恒定律：0

2

02202rMmG

)vv(m21rMmGmv2

1-+=-α…（2）2分飛船沿原軌道運動時：0

202

0rvm

rMmG

=………………（3）2分

式中hRr,HRr0+=+=…………（4）2分聯(lián)立方程組可解得：αα+-=1RHh近…（5）2分α

α-+=1R

Hh遠（6）2分

（2）設橢圓半長軸為a，則a2rr＝遠近+，即：2

01raα-=……（7）2分

飛船噴氣前繞圓軌道運行的周期為：0

0vr2Tπ=

…………（8）2分設飛船噴氣后，繞橢圓軌道運行的周期為T，由開普勒第三定律得：

2300)(ra

TT=（9）2分從而解得：23

20)11()(2α

π-+=vHRT……（10）4分

6、一半徑為1.00mR=的水平光滑圓桌面，圓心為O，有一豎直的立柱固定在桌面上的圓心附近，立柱與桌面的交線是一條凸的平滑的封閉曲線C，如圖預17-2所示。一根別可伸長的柔軟的細輕繩，一端固定在封閉曲線上的某一點，另一端系一質(zhì)量為27.510kgm=?－的小物塊。將小物塊放在桌面上并把繩拉直，再給小物塊一具方向與繩垂直、大小為04.0m/sv=的初速度。物塊在桌面上運動時，繩將纏繞在立柱上。已知當繩的張力為02.0NT=時，繩即斷開，在繩斷開前物塊始終在桌面上運動．1．咨詢繩正要斷開時，繩的伸直部分的長度為多少?2．若繩正要斷開時，桌面圓心O到繩的伸直部分與封閉曲線的接觸點的連線正好與繩的伸直部分垂直，咨詢物塊的降地方到桌面圓心O的水平距離為多少？已知桌面高度

0.80mH=．物塊在桌面上運動時未與立柱相碰．取重力加

速度大小為210m/s．

解：因桌面是光滑的，輕繩是別可伸長的和柔軟的，且在斷開前繩基本上被拉緊的，故在繩斷開前，物塊在沿桌面運動的過程中，其速度始終與繩垂直，繩的張力對物塊別做功，物塊速度的大小保持別變。設在繩正要斷開時繩的伸直部分的長度為x，若此刻物塊速度的大小為xv，則有0xvv=（1）

繩對物塊的拉力僅改變物塊速度的方向，是作用于物塊的向心力，故有

22

00x

mvmvTxx

==

（2）由此得2

mvxT=（3）代入數(shù)據(jù)得0.60mx=（4）

2.設在繩正要斷開時，物塊位于桌面上的P點，BP是繩的伸直部分，物塊速度0v的方向如圖預解17-2所示．由題意可知，

OBBP⊥．因物塊離開桌面時的速度仍為0v

，物塊離開

桌面后便做初速度為0v的平拋運動，設平拋運動記憶的時刻為t，則有

2

12

Hgt=

（5）物塊做平拋運動的水平射程為10svt=（6）由幾何關(guān)系，物塊降地地方與桌面圓心O的水平距離s為

s=

（7）

解（5）、（6）、（7）式，得s=代人數(shù)據(jù)得2.5ms=

7、假設銀河系的物質(zhì)在宇宙中呈對稱分布，其球心為銀心。距離銀心相等處的銀河系質(zhì)量分布相同。又假定距銀心距離為r處的物質(zhì)受到銀河系的萬有引力和將以r為半徑的球面內(nèi)所有銀河系物質(zhì)集中于銀心時所產(chǎn)生的萬有引力相同。已知地球到太陽中心的距離為Ro，太陽到銀心的距離a=1.75×109Ro，太陽繞銀心做勻速圓周運動，周期T=2.4×108年。太陽質(zhì)量為Ms，銀河系中發(fā)亮的物質(zhì)僅分布在r≤1.5a的范圍內(nèi)。目前也許測得繞銀心運動的物體距銀心的距離別大于6a，且在0≤r≤6a范圍內(nèi)，物體繞銀心運動的速率是一恒量。按上述條件解答：（1）論證銀河系物質(zhì)能否均勻分布？

（2）計算銀河系中發(fā)光物質(zhì)質(zhì)量最多有多少？（3）計算整個銀河系物質(zhì)質(zhì)量至少有多少？

（4）計算銀河系中別發(fā)光物質(zhì)（即暗物質(zhì)）質(zhì)量至少是多少？（上述計算結(jié)果均用太陽質(zhì)量Ms表示）

題庫p84

8、已知地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運動，火星軌道半徑凡為地球軌道半徑凡的1.5倍．若要從地球表面向火星發(fā)射探測器，簡單而又比較節(jié)約能量的發(fā)射過程可分為兩步：①在地球表面用火箭對探測器舉行加速，使之獲得腳夠的動能，從而成為一具沿地球軌道運行的人造行星（此刻，地球?qū)μ綔y器的引力非常小，能夠忽略別計）；②在適當時間點燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機，在短時刻內(nèi)對探測器沿原運動方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當值，從而使得探測器沿著一具與地球軌道及火星軌道分不在長軸兩端相切的半個橢圓軌道上運動，從而使探測器正好射到火星上，如圖3甲所示．當探測器脫離地球并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運行后，在某年3月1日零時，經(jīng)觀測計算知火星與探測器與太陽所張角度為600如圖3乙所示．咨詢應在何年何月何日點燃探測器上的火箭發(fā)動

機方能使探測器恰好降在火星表面（時刻計算僅需精確到日）。已知地球半徑為Re=6.4×106m，重力加速度g可取9.8m/s2。

探測器在地球公園軌道上運行的周期Td與地球公轉(zhuǎn)周期相同Td=Te=365d火星公轉(zhuǎn)周期Tm=36535.1=671d探測器的橢圓軌道上的運行周期為Td’=365325.1=510d所以探測器從燃火箭開始至到達火星需時255d

從點燃火箭發(fā)動機前繞太陽轉(zhuǎn)動的角速度為ωd=ωe=0.9860/dωm=0.5370/d

由于探測器運行至火星需時255d，火星在此期間運行的角度為ωm·Td’/2=1370即探測器在橢圓軌道近日點發(fā)射時，火星應在其遠日點的切點之前1370

，亦即點燃發(fā)動機時，探測器與火星之間對太陽的圓心角應為1800-1370=430

在某年3月1日零時，經(jīng)觀測計算知火星與探測器與太陽所張角度為600（火星在前探測器在后），為使其張角為430，必須等待二者在各自軌道中運行至某個合適時日，設二者到達合適的位置，探測器又記憶的天數(shù)為t，則600-430=ω

dt-ωmtt=38d

故點燃火箭發(fā)動機的時間應為當年的3月1日之后38天，即同年4月7日

附加

1、2006年2月10日，中國航天局將如圖所示的標志確定為中國月球探測工程形象標志。它以中國書法的筆觸，抽象地勾勒出一輪明月，一雙足印踏在其上，象征著月球探測的終極夢想。

我國的“嫦娥奔月”月球探測工程差不多啟動，分“繞、降、回”三個進展時期：在2007年前后發(fā)射一顆環(huán)繞月球

飛翔的衛(wèi)星，在2012年前后發(fā)射一顆月球軟著陸器，在20XX年前后發(fā)射一顆返回式月球軟著陸器，舉行首次月球樣品自動取樣并安全返回地球。設想著陸器完成了對月球表面的考察任務后，由月球表面回到環(huán)繞月球做圓周運動的軌道艙，如圖所示，為了安全，返回的著陸器與軌道艙對接時，必須具有相同的速度。設著陸器質(zhì)量為m，月球