-新教材高中數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步2.1平面的基本性質(zhì)學(xué)案蘇教版必修第二冊

PAGEPAGE9平面的基本性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)1.借助日常生活中的實(shí)物，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面概念．2.了解基本事實(shí)和確定平面的推論．【概念認(rèn)知】1．平面(1)平面的概念平靜的湖面給我們以平面的形象．和點(diǎn)、直線一樣，平面也是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的幾何概念．(2)平面的畫法平面通常用平行四邊形來表示，當(dāng)平面水平放置的時(shí)候，一般用水平放置的正方形的直觀圖作為平面的直觀圖．(3)平面的表示方法平面通常用希臘字母α，β，γ等表示，也可以用平行四邊形的兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母表示，如平面α、平面AC等．2．與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)(1)基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．如圖：(2)基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．空間中點(diǎn)、直線和平面的位置關(guān)系，可以借助集合中的符號(hào)來表示．例如，在長方體ABCD-A1B1C1D1位置關(guān)系符號(hào)表示點(diǎn)P在直線AB上P∈AB點(diǎn)C不在直線AB上C?AB點(diǎn)M在平面AC內(nèi)M∈平面AC點(diǎn)A1不在平面AC內(nèi)A1?平面AC直線AB與直線BC交于點(diǎn)BAB∩BC＝B直線AB在平面AC內(nèi)AB?平面AC直線AA1不在平面AC內(nèi)AA1?平面AC(3)基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．這樣，基本事實(shí)3就可以用符號(hào)表示為eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(P∈α,P∈β))?α∩β＝l且P∈l.3．平面性質(zhì)的三個(gè)基本事實(shí)的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．【自我小測】1．已知直線m?平面α，P?m，Q∈m，則()A．P?α，Q∈α B．P∈α，Q?αC．P?α，Q?α D．Q∈α【解析】選D.因?yàn)镼∈m，m?α，所以Q∈α.因?yàn)镻?m，所以有可能P∈α，也可能有P?α.故選D.2．在長方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既與AB共面，又與CC1【解析】既與AB共面又與CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5條．答案：53．如圖，填入相應(yīng)的符號(hào)：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________．答案：∈??AC4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，AA1的中點(diǎn)．求證：CE，D1【證明】連接EF，D1C，A1因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，所以EF＝eq\f(1,2)A1B，EF∥eq\f(1,2)A1B，又因?yàn)锳1B＝D1C，A1B∥D1所以EF＝eq\f(1,2)D1C，EF∥eq\f(1,2)D1C，所以E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面，可設(shè)D1F又D1F?平面A1D1DA，CE?平面所以點(diǎn)P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)．又因?yàn)槠矫鍭1D1DA∩平面ABCD＝DA，所以據(jù)基本事實(shí)3可得P∈DA，即CE，D1F【基礎(chǔ)全面練】一、單選題1．點(diǎn)P在直線a上，直線a在平面α內(nèi)可記為()A．P∈a，a?αB．P?a，a?αC．P?a，a∈αD．P∈a，a∈α【解析】選A.由點(diǎn)與直線的位置關(guān)系表示方法及直線與平面之間位置關(guān)系的表示可知點(diǎn)P在直線a上表示為P∈a，直線a在平面α內(nèi)可表示為a?α，故A正確．2．兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不對【解析】選C.若三點(diǎn)在同一條直線上，則這兩個(gè)平面相交或重合，若三點(diǎn)不共線，則這兩個(gè)平面重合．3．已知平面α與平面β，γ都相交，則這三個(gè)平面可能的交線有()A．1條或2條 B．2條或3條C．1條或3條 D．1條或2條或3條【解析】選D.當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交且過同一直線時(shí)，它們有1條交線；當(dāng)平面β和γ平行時(shí)，它們的交線有2條；當(dāng)這三個(gè)平面兩兩相交且不過同一條直線時(shí)，它們有3條交線．4．如圖所示，下列符號(hào)表示錯(cuò)誤的是()A．l∈αB．P?lC．l?αD．P∈α【解析】選A.觀察圖知：P?l，P∈α，l?α，則l∈α是錯(cuò)誤的．5．在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，若EF與HG交于點(diǎn)M，則()A．M一定在直線AC上B．M一定在直線BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M不在AC上，也不在BD上【解析】選A.由題意得EF?平面ABC，HG?平面ACD，又EF∩HG＝M，故M∈平面ABC，且M∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M一定在直線AC上．二、多選題6．以下四個(gè)命題中，不正確的命題是()A．不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線B．若兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合C．若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面D．依次首尾相接的四條線段必共面【解析】選BCD.A正確，可以用反證法證明，假設(shè)任意三點(diǎn)共線，則四個(gè)點(diǎn)必共面，與不共面的四點(diǎn)矛盾；若三點(diǎn)共線，則這兩個(gè)平面相交或重合，B不正確；C不正確，共面不具有傳遞性，若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c可能異面；D不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形四條邊可以不在一個(gè)平面上，空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)就不共面．三、填空題7．空間中有五個(gè)點(diǎn)，其中有四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)，但沒有任何三點(diǎn)共線，這樣的五個(gè)點(diǎn)確定________個(gè)平面．【解析】可以想象四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)，它們總共確定7個(gè)平面．答案：78．設(shè)平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l.【解析】因?yàn)閍∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l.答案：∈四、解答題9．如圖，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一點(diǎn)，畫出平面SBD和平面SAC的交線，并說明理由．【解析】很明顯，點(diǎn)S是平面SBD和平面SAC的一個(gè)公共點(diǎn)，即點(diǎn)S在交線上，由于AB>CD，則分別延長AC和BD交于點(diǎn)E，如圖所示．因?yàn)镋∈AC，AC?平面SAC，所以E∈平面SAC.同理，可證E∈平面SBD.所以點(diǎn)E在平面SBD和平面SAC的交線上，連接SE，直線SE是平面SBD和平面SAC的交線．10．一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面．【解析】已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c，l共面．證明：方法一：因?yàn)閍∥b，所以a，b確定一個(gè)平面α，因?yàn)閘∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α，故l?α.又因?yàn)閍∥c，所以a，c確定一個(gè)平面β.同理可證l?β，所以α∩β＝a且α∩β＝l.因?yàn)檫^兩條相交直線a，l有且只有一個(gè)平面，故α與β重合，即直線a，b，c，l共面．方法二：由法一得a，b，l共面α，也就是說b在a，l確定的平面α內(nèi)．同理可證c在a，l確定的平面α內(nèi)．因?yàn)檫^a和l只能確定一個(gè)平面，所以a，b，c，l共面．【綜合突破練】一、選擇題1．如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則()A．l?α B．l?αC．l∩α＝M D．l∩α＝N【解析】選A.因?yàn)镸∈a，a?α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l?α.2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，那么正方體過點(diǎn)M，N，C1的截面圖形是()A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形【解析】選C.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1.如圖，延長C1M交CD的延長線于點(diǎn)P，延長C1N交CB的延長線于點(diǎn)Q，連接PQ交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接NF，ME，則正方體過點(diǎn)M，N，C1的截面圖形是五邊形．3．已知空間中有A，B，C，D，E五個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)B，C，D，E在同一個(gè)平面內(nèi)，那么這五個(gè)點(diǎn)()A．共面 B．不一定共面C．不共面 D．以上都不對【解析】選B.若B，C，D共線，則這五個(gè)點(diǎn)不一定共面；若B，C，D不共線，則這五個(gè)點(diǎn)一定共面．【誤區(qū)警示】做此題容易忽略B，C，D共線的情況致錯(cuò)，所以考慮問題要全面．4．(多選)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面CA.C1，M，O三點(diǎn)共線B．C1，M，O，C四點(diǎn)共面C．C1，O，A，M四點(diǎn)共面D．D1，D，O，M四點(diǎn)共面【解析】選ABC.在題圖中，連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.所以三點(diǎn)C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1所以A，B，C均正確，D不正確．【光速解題】判斷點(diǎn)共線或者共面問題時(shí)，要看從這些點(diǎn)出發(fā)的直線是否相交或者平行．二、填空題5．若直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點(diǎn)的位置關(guān)系是________．【解析】因?yàn)锳C∥BD，所以AC與BD確定一個(gè)平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD.因?yàn)閘∩α＝O，所以O(shè)∈α.又因?yàn)镺∈AB?β，所以O(shè)∈直線CD，所以O(shè)，C，D三點(diǎn)共線．答案：共線6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)平面AB1∩平面A1C1(2)平面A1C1(3)平面A1C1CA∩平面D1B1(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB答案：(1)A1B1(2)AC(3)OO1(4)B17．下列各圖均是正六棱柱，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的圖形是________．【解析】在①，②，③中，由棱柱、正六邊形、中位線的性質(zhì)，知均有PS∥QR，即在這三個(gè)圖形中P，Q，R，S共面．答案：④三、解答題8．用符號(hào)表示下列語句，并畫出圖形．①平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于A，B.②點(diǎn)A，B在平面α內(nèi)，直線a與平面α交于點(diǎn)C，C不在直線AB上．【解析】①用符號(hào)表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖．②用符號(hào)表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如圖．9．已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l