-新教材高中數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步2.4第1課時(shí)兩平面平行學(xué)案蘇教版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE11第1課時(shí)兩平面平行1．平面與平面之間的位置關(guān)系位置關(guān)系平面α與平面β相交平面α與平面β平行公共點(diǎn)有一條公共直線沒(méi)有公共點(diǎn)符號(hào)表示α∩β＝aα∥β圖形表示2.平面與平面平行的判定定理自然語(yǔ)言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行符號(hào)語(yǔ)言若a?α，b?α，a∩b＝A，且a∥β，b∥β，則α∥β圖形語(yǔ)言3.平面與平面平行的性質(zhì)定理自然語(yǔ)言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行符號(hào)語(yǔ)言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語(yǔ)言4.兩個(gè)平行平面間的距離(1)公垂線與公垂線段與兩個(gè)平行平面都垂直的直線，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線段．(2)兩個(gè)平行平面間的距離兩個(gè)平行平面的公垂線段都相等．公垂線段的長(zhǎng)度叫作兩個(gè)平行平面間的距離．1．如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形EFGH為截面，長(zhǎng)方形ABCD為底面，則四邊形EFGH的形狀為()A.梯形B．平行四邊形C．可能是梯形也可能是平行四邊形D．不確定【解析】選B.由面面平行的性質(zhì)定理知，EF∥HG，EH∥FG，故四邊形EFGH為平行四邊形．2．已知a，b表示直線，α，β，γ表示平面，下列推理正確的是()A．若α與β相交，a?α，b?β，則a與b一定相交B．若a?α，b?β，a∥b，則α∥βC．a(chǎn)∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b【解析】選D.A錯(cuò)誤，a與b，可能平行也可能是異面直線；由平面與平面平行的判定定理知B，C錯(cuò)誤；由平面與平面平行的性質(zhì)定理知，D正確．3．底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，與平面BB1C1C平行的平面是()A．平面AA1D1DB．平面AA1B1BC．平面DD1C1CD．平面ABCD【解析】選A.根據(jù)圖形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D.4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，若PA＝2，則平面EFGH與平面ABCD的距離為________．【解析】因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，所以平面EFGH∥平面ABCD，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥平面EFGH，所以AE為平面ABCD與平面EFGH的公垂線段，AE＝eq\f(1,2)PA＝1.答案：15．已知點(diǎn)S是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是SA，SB，SC的中點(diǎn)，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________．【解析】由D，E，F(xiàn)分別是SA，SB，SC的中點(diǎn)，知EF是△SBC的中位線，所以EF∥BC.又因?yàn)锽C?平面ABC，EF?平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC，又因?yàn)镋F∩DE＝E，所以平面DEF∥平面ABC.答案：平行6．如圖所示，兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求證：MN∥平面BCE.【證明】過(guò)點(diǎn)M作MG∥BC交AB于點(diǎn)G，連接GN，則eq\f(AM,MC)＝eq\f(AG,GB).因?yàn)锳M＝FN，AC＝BF，所以MC＝NB.所以eq\f(FN,NB)＝eq\f(AG,GB)，所以GN∥AF.又AF∥BE，所以GN∥BE.因?yàn)镚N?平面BCE，BE?平面BCE，所以GN∥平面BCE.因?yàn)镸G∥BC，MG?平面BCE，BC?平面BCE，所以MG∥平面BCE.因?yàn)镸G∩GN＝G，所以平面MNG∥平面BCE.因?yàn)镸N?平面MNG，所以MN∥平面BCE.一、單選題1．下列說(shuō)法中正確的是()A．若平面α內(nèi)的直線a平行于平面β內(nèi)的直線b，且a∥β，b∥α，則α∥βB．若直線a?α，a∥β，則α∥βC．若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行D．若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個(gè)平面平行【解析】選D.對(duì)于A，若α∩β＝l，a?α且a∥l，b?β且b∥l，則a∥b，但此時(shí)α與β不平行；對(duì)于B，若α∩β＝l，a?α且a∥l，則a∥β，但此時(shí)α與β不平行；對(duì)于C，不符合面面平行的判定定理，這兩個(gè)平面還可能相交；D是面面平行的判定定理的推論．2．下列命題正確的有()①如果兩個(gè)平面不相交，那么它們平行；②如果一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都平行于另一平面，那么這兩個(gè)平面平行；③空間兩個(gè)相等的角所在的平面平行．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【解析】選B.對(duì)①，由兩個(gè)平面平行的定義知正確；對(duì)②，若這無(wú)數(shù)條直線都平行，則這兩個(gè)平面可能相交，②錯(cuò)誤；對(duì)③，這兩個(gè)角可能在同一平面內(nèi)，故③錯(cuò)誤．3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，則直線MC1與平面AA1B1B的位置關(guān)系是()A．相交B．平行C．異面D．相交或平行【解析】選B.如圖，MC1?平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.4．如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，平面α∥平面ABC，α分別交線段PA，PB，PC于A′，B′，C′.若PA′∶AA′＝2∶5，則△A′B′C′與△ABC的面積比為()A.2∶5B．2∶7C．4∶49D．9∶25【解析】選C.因?yàn)槠矫姒痢纹矫鍭BC，A′B′?α，AB?平面ABC，所以A′B′∥AB.所以A′B′∶AB＝PA′∶PA.又PA′∶AA′＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶7.同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7，所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49.二、多選題5．α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，a，b，c為三條不重合的直線，則下列命題中正確的是()A．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,b∥c))?a∥b B．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,b∥γ))?a∥bC．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))?α∥β D．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))?α∥β【解析】選AD.對(duì)于A，由點(diǎn)線面的位置關(guān)系知，兩條直線平行于第三條直線，這兩條直線平行，故A正確．對(duì)于B，兩條直線都與同一個(gè)平面平行，則這兩條直線可能相交，也可能是異面直線，不一定平行，故B不正確．對(duì)于C，兩個(gè)平面都與同一條直線平行，則這兩個(gè)平面可能平行，也可能相交，故C不正確．對(duì)于D，由面面平行的傳遞性可知平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，故D正確．三、填空題6．若夾在兩個(gè)平面間的三條平行線段相等，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系為________．【解析】三條平行線段共面時(shí)，兩平面可能平行也可能相交，當(dāng)三條平行線段不共面時(shí)，兩平面一定平行．答案：平行或相交7．已知兩條直線m，n，兩個(gè)平面α，β，給出下面命題：①m∥n，m⊥α?n⊥α；②α∥β，m?α，n?β?m∥n；③α∥β，m∥n，m⊥α?n⊥β.其中正確命題的序號(hào)是________．【解析】用線面垂直的性質(zhì)和面面平行的性質(zhì)可判斷①③正確，②中m，n可能平行或異面．答案：①③四、解答題8．如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1，A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.【證明】連接A1C交AC1于點(diǎn)E，因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，所以E是A1C的中點(diǎn)，連接ED，因?yàn)锳1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，所以A1B∥ED，因?yàn)镋是A1C的中點(diǎn)，所以D是BC的中點(diǎn)，又因?yàn)镈1是B1C1的中點(diǎn)，所以BD1∥C1D，A1D1∥AD，又A1D1∩BD1＝D1，所以平面A1BD1∥平面AC1D.9．如圖所示，四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D均在平行四邊形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【證明】因?yàn)樗倪呅蜛′B′C′D′是平行四邊形，所以A′D′∥B′C′.因?yàn)锳′D′?平面BB′C′C，B′C′?平面BB′C′C，所以A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.因?yàn)锳′D′?平面AA′D′D，AA′?平面AA′D′D，且A′D′∩AA′＝A′，所以平面AA′D′D∥平面BB′C′C.又因?yàn)锳D，BC分別是平面ABCD與平面AA′D′D，平面ABCD與平面BB′C′C的交線，所以AD∥BC.同理可證AB∥CD，所以四邊形ABCD是平行四邊形．一、選擇題1．(2021·廊坊高一檢測(cè))設(shè)m，n，l為空間不重合的直線，α，β，γ是空間不重合的平面，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()①m∥l，n∥l，則m∥n；②m⊥l，n⊥l，則m∥n；③若m∥l，m∥α，則l∥α；④若l∥m，l?α，m?β，則α∥β；⑤若m?α，m∥β，l?β，l∥α，則α∥β；⑥α∥γ，β∥γ，則α∥βA．0B．1C．2D．3【解析】選C.①顯然正確；②可能相交；③l可能在平面α內(nèi)；④l可能為α，β兩個(gè)平面的交線，兩個(gè)平面α，β可能相交；⑤α，β可能相交；⑥顯然正確．2．(2021·宜昌高一檢測(cè))如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝2，AD＝4，點(diǎn)M是棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱AA1上，且滿足AN＝2NA1，P是側(cè)面四邊形ADD1A1內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，若C1P∥平面CMN，則線段C1P長(zhǎng)度的取值范圍是()A．[3，eq\r(17)] B．[2，3]C．[eq\r(6)，2eq\r(2)] D．[eq\r(17)，5]【解析】選C.如圖所示：取A1D1的中點(diǎn)G，取MD的中點(diǎn)E，A1G的中點(diǎn)F，D1D的三等分點(diǎn)H靠近D，并連接起來(lái)．由題意可知C1G∥CM，GH∥MN，C1G∩GH＝G，CM∩MN＝M，所以平面C1GH∥平面CMN.即當(dāng)點(diǎn)P在線段GH上時(shí)，C1P∥平面CMN.在△C1GH中，C1G＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，C1H＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，GH＝2eq\r(2)，所以△C1GH為等邊三角形，取GH的中點(diǎn)O，C1O＝2eq\r(2)sin60°＝eq\r(6)，故線段C1P長(zhǎng)度的取值范圍是[eq\r(6)，2eq\r(2)].3．已知平面α∥β∥γ，兩條相交直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C和D，E，F(xiàn)，已知AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，則AC＝()A．12B．15C．18D．21【解析】選B.因?yàn)棣痢桅隆桅?，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF).由eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，得eq\f(DE,EF)＝eq\f(2,3)，即eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3)，而AB＝6，所以BC＝9，所以AC＝AB＋BC＝15.4．(多選)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A．若m∥α，m∥β，則α∥βB．若α∥β，m?α，則m∥βC．若α∥β，m∥n，m∥α，則n∥βD．若m∥α，m?β，α∩β＝n，則m∥n【解析】選BD.對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)α∩β＝l，m?α，m?β，m∥l，則m∥α，m∥β，但α，β不平行，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若α∥β，m?α，由面面平行的性質(zhì)可知m∥β，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若α∥β，m∥n，m∥α，則n?β或n∥β，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若m∥α，m?β，α∩β＝n，由線面平行的性質(zhì)可知m∥n，D選項(xiàng)正確．二、填空題5．如圖，AE⊥平面α，垂足為E，BF⊥α，垂足為F，l?α，C，D∈α，AC⊥l，則當(dāng)BD與l________時(shí)，平面ACE∥平面BFD.【解析】由題意知l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD.答案：垂直6．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M滿足________時(shí)，有MN∥平面B1BDD1.【解析】因?yàn)镠N∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故線段FH上任意點(diǎn)M與N連接，有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈線段FH7．已知夾在兩平行平面α，β之間的線段AB＝8，且AB與α成45°角，則α與β之間的距離是________．【解析】如圖，過(guò)A作AA′⊥平面α交α于點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B為AB在平面α內(nèi)的射影，所以∠ABA′為AB與α所成的角，所以∠ABA′＝45°，在Rt△ABA′中，AB＝8，AA′＝8×eq\f(\r(2),2)＝4eq\r(2)，又因?yàn)棣痢桅?，所以AA′⊥β，所以AA′為α與β之間的距離，所以α與β之間距離為4eq\r(2).答案：4eq\r(2)8．如圖所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分別在α，β內(nèi)，線段AA′，BB′，CC′共點(diǎn)于O，O在平面α和平面β之間，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，則△A′B′C′的面積為________．【解析】AA′，BB′相交于點(diǎn)O，所以AA′，BB′確定的平面與平面α，平面β的交線分別為AB，A′B′，所以AB∥A′B′，且eq\f(OA,OA′)＝eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(3,2).同理可得eq\f(OA,OA′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(3,2)，eq\f(OA,OA′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(3,2).所以△ABC，△A′B′C′面積的比為9∶4，又△ABC的面積為eq\r(3)，所以△A′B′C′的面積為eq\f(4\r(3),9).答案：eq\f(4\r(3),9)三、解答題9．如圖所示，B為△ACD所在平面外一點(diǎn)，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求證：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ACD.【解析】(1)連接BM，BN，BG并延長(zhǎng)分別