-新教材高中數(shù)學(xué)課時檢測7全稱量詞和存在量詞含解析湘教版必修第一冊

PAGEPAGE4課時跟蹤檢測(七)全稱量詞和存在量詞[A級基礎(chǔ)鞏固]1．下列命題中是全稱命題并且是真命題的是()A．?x>1，x2－2x－3＝0B．若2x為偶數(shù)，則x∈NC．所有菱形的四條邊都相等D．π是無理數(shù)解析：選C對于A，是特稱命題，故A不正確；對于B，是真命題，但不是全稱命題，故B不正確；對于C，是全稱命題，也是真命題，故C正確；對于D，是真命題，但不是全稱命題，故D不正確，故選C.2．命題“每一個四邊形的四個頂點共圓”的否定是()A．存在一個四邊形，它的四個頂點不共圓B．存在一個四邊形，它的四個頂點共圓C．所有四邊形的四個頂點共圓D．所有四邊形的四個頂點都不共圓解析：選A根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，得命題“每一個四邊形的四個頂點共圓”的否定是“存在一個四邊形的四個頂點不共圓”，故選A.3．a(chǎn)≥5是命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件解析：選A?x∈[1，2]，有x2∈[1，4]，則由a≥5，可得?x∈[1，2]，x2－a≤0成立；反之，?x∈[1，2]，x2－a≤0成立，可得a≥4.∴a≥5是命題“?x∈[1，2]，x2－a≤0”為真命題的充分不必要條件．故選A.4．設(shè)非空集合P，Q滿足P∩Q＝P，則()A．?x∈Q，有x∈P B．?x?Q，有x?PC．?x?Q，使得x∈P D．?x∈P，使得x?Q解析：選B∵P∩Q＝P，∴P?Q，如圖，∴A、C、D錯誤，B正確．故選B.5．(多選)下列命題的否定中，是全稱命題且為真命題的有()A．?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)<0B．所有的正方形都是矩形C．?x∈R，x2＋2x＋2≤0D．至少有一個實數(shù)x，使x3＋1＝0解析：選AC命題的否定是全稱命題，即原命題為特稱命題，故排除B.再根據(jù)命題的否定為真命題，即原命題為假命題．又D為真命題，故選A、C.6．命題“?x∈R，eq\f(1,x－2)<0”的否定是________________．答案：?x∈R，eq\f(1,x－2)>0或x－2＝07．下列特稱命題是真命題的序號是________．①有些不相似的三角形面積相等；②存在實數(shù)x，使x2＋2<0;③存在實數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大；④有一個實數(shù)的倒數(shù)是它本身．解析：①為真命題，只要找出等底等高的兩個三角形，面積就相等，但不一定相似；②中對任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在實數(shù)x，使x2＋2<0，為假命題；③中當實數(shù)a大于0時，結(jié)論成立，為真命題；④中如1的倒數(shù)是它本身，為真命題．故真命題的序號是①③④.答案：①③④8．若命題p：?a，b∈R，方程ax2＋b＝0恰有一解，則綈p：________________．解析：全稱量詞的否定是存在量詞，恰有一解的否定應(yīng)包含兩個方面：一是無解，二是至少有兩解．所以綈p為：?a，b∈R，方程ax2＋b＝0無解或至少有兩解．答案：?a，b∈R，方程ax2＋b＝0無解或至少有兩解9．判斷下列命題的真假：(1)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)來表示；(2)至少有一個直角三角形不是等腰三角形；(3)存在一個實數(shù)x，使得方程x2＋x＋8＝0成立；(4)?x∈R，x2－3x＋2＝0；(5)?x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2.解：(1)是假命題，如邊長為1的正方形，對角線長度為eq\r(2)，就不能用正有理數(shù)表示．(2)是真命題，如有一個內(nèi)角為30°的直角三角形就不是等腰三角形．(3)是假命題，方程x2＋x＋8＝0的判別式Δ＝－31<0，故方程無實數(shù)根．(4)是真命題，x＝2或x＝1，都能使x2－3x＋2＝0成立．(5)是真命題，因為完全平方公式對任意實數(shù)都成立，所以對整數(shù)也成立．10．(2021·南京高一期中考試)已知命題p：任意x∈[1，2]，x2－a≥0，命題q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命題p與q都是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．解：由命題p為真，可得不等式x2－a≥0在x∈[1，2]上恒成立，所以a≤(x2)min，x∈[1，2]，所以a≤1.若命題q為真，則方程x2＋2ax＋2－a＝0有解，所以判別式Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≥1或a≤－2.又因為p，q都為真命題，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤1，,a≥1或a≤－2，))所以a≤－2或a＝1，所以實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤－2或a＝1}．[B級綜合運用]11．(多選)下列命題錯誤的是()A．?x∈{－1，1}，2x＋1>0 B．?x∈Q，x2＝3C．?x∈R，x2－1>0 D．?x∈N，|x|≤0解析：選ABC對于A，x＝－1時，不合題意；對于B，x＝±eq\r(3)，B錯誤；對于C，比如x＝0時，－1<0，錯誤；D選項正確．12．以下四個命題中，真命題的個數(shù)是()①“若a＋b≥2，則a，b中至少有一個不小于1”的逆命題；②存在正實數(shù)a，b，使得a＋b＝ab；③“所有奇數(shù)都是素數(shù)”的否定是“至少有一個奇數(shù)不是素數(shù)”．A．0 B．1C．2 D．3解析：選C①原命題的逆命題為若a，b中至少有一個不小于1，則a＋b≥2，而a＝2，b＝－2滿足條件a，b中至少有一個不小于1，但此時a＋b＝0，故①是假命題；②當a＝b＝2時，a＋b＝ab，故②是真命題；③“所有奇數(shù)都是素數(shù)”的否定為“至少有一個奇數(shù)不是素數(shù)”，故③是真命題．故選C.13．某中學(xué)開展小組合作學(xué)習模式，某班某組小王同學(xué)給組內(nèi)小李同學(xué)出題如下：若命題“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命題，求m范圍．小李略加思索，反手給了小王一道題：若命題“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命題，求m范圍．你認為，兩位同學(xué)題中m范圍是否一致？________(填“是”或“否”)解析：∵命題“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋m>0”．而命題“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命題，則其否定“?x∈R，x2＋2x＋m>0”為真命題．∴兩位同學(xué)題中m范圍是一致的．答案：是14．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠?.(1)若命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，求m的取值范圍；(2)命題q：“?x∈A，x∈B”是真命題，求m的取值范圍．解：(1)由于命題p：“?x∈B，x∈A”是真命題，所以B?A，B≠?，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.故m的取值范圍為[2，3](2)q為真，則A∩B≠?，因為B≠?，所以m≥2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤5，,2m－1≥－2，,m≥2.))解得2≤m≤4.故m的取值范圍為[2，4]．[C級拓展探究]15．(2021·連云港高一期中考試)已知命題p：A＝{x|x2＋x＋a＝0}滿足A∩R＋＝?；命題q：二次函數(shù)y＝x2－ax＋1的函數(shù)值y≥0對于x∈R恒成立．(1)若p為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若p，q中有且只有一個為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．解：(1)若p為真命題，即A∩R＋＝?；所以①A＝?，1－4a<0，解得a>eq\f(1,4).②A＝R－或{0}，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝1－4a≥0，,x1＋x2＝－1，,x1·x2＝a≥0，))整理得0≤a≤eq\f(1,4)，綜上，實數(shù)a的取值范圍為[0，＋∞)．(2)命題q：二次函數(shù)y＝x2－ax＋1的函數(shù)值y≥0對于x∈R恒成立．所以Δ