尺規(guī)作圖數(shù)學(xué)史

初中尺規(guī)圖數(shù)學(xué)史尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題只使用圓規(guī)和直尺并且只準(zhǔn)許使用有限次來(lái)解決不同的平面幾何作圖題.面幾何作圖，限制只能用直尺、圓.歷史上最先明確提出尺規(guī)限制的是伊諾皮迪斯.他發(fā)現(xiàn)以下作圖法：在已知直線(xiàn)的已知點(diǎn)上作一角與已知角相.件事的重要性并不在于這個(gè)角的實(shí)際作出，而是在尺規(guī)的限制下從理論上去解決這個(gè)問(wèn)題.在這以前，許多作圖題是不限工具.伊諾皮迪斯以后，尺規(guī)的限制逐漸成為一種公約后總結(jié)在《幾何原本》之中.初等平面幾何研究的對(duì)象，僅限于直線(xiàn)、圓以及由它們（或一部分）所組成的圖形，因此作圖的工具，習(xí)慣上使用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)兩種限用直尺和圓規(guī)來(lái)完成的作圖方法，叫做尺規(guī)作圖法.最簡(jiǎn)單的尺規(guī)作圖有如下三條：⑴經(jīng)過(guò)兩已知點(diǎn)可以畫(huà)一條直線(xiàn)；⑵已知圓心和半徑可以作一圓；⑶兩已知直線(xiàn)；一已知直線(xiàn)和一已知圓；或兩已知圓，如果相交，可以求出交點(diǎn)；以上三條叫做作圖公法.用直尺可以畫(huà)出第一條公法所說(shuō)的直線(xiàn)用圓規(guī)可以作出第二條公法所說(shuō)的圓直尺和圓規(guī)可以求得第三條公法所說(shuō)的交點(diǎn)一個(gè)作圖題管多么雜，如果能反復(fù)應(yīng)用上述三條作圖公法，經(jīng)過(guò)有限的次數(shù)，作出適合條件的圖形，這樣的作圖題就叫做尺規(guī)作圖可能問(wèn)題；否則，就稱(chēng)為尺規(guī)作圖不能問(wèn)題歷史上，最著名的尺規(guī)作圖不能問(wèn)題是：⑴三等分角問(wèn)題：三等分一個(gè)任意角；⑵倍立方問(wèn)題：作一個(gè)立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍；⑶化圓為方問(wèn)題：作一個(gè)正方形，使它的面積等于已知圓的面積這三個(gè)問(wèn)題后被稱(chēng)為“幾何作圖三大問(wèn)題”.直至1837年，萬(wàn)芝爾PierreLaurentWantzel）首先證明三等分角問(wèn)題和立方倍積問(wèn)題屬尺規(guī)作圖不能問(wèn)題1882年，德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼（Lindemann證π是一個(gè)超越數(shù)（π是一個(gè)不滿(mǎn)足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實(shí)數(shù)由此即可推得根號(hào)(即當(dāng)圓半徑

r1

時(shí)所求正方形的邊長(zhǎng)）不可能用尺規(guī)作出，從而也就證明了化圓為方問(wèn)題是一個(gè)尺規(guī)作圖不能問(wèn)題若干著名的尺規(guī)作圖已知是不可能的當(dāng)中很多不可能證明是利用了由世紀(jì)出現(xiàn)的伽羅華理論.盡管如此仍有很多業(yè)余愛(ài)好者嘗試這些不可能的題目當(dāng)中以化圓為方及三等分任意角最受注意.數(shù)學(xué)家Dudley把一些宣告解決了這些不可能問(wèn)題的錯(cuò)誤作法結(jié)集成書(shū).

還有另外兩個(gè)著名問(wèn)題：⑴正多邊形作法·只使用直尺和圓規(guī)，作正五邊形·只使用直尺和圓規(guī)，作正六邊形·只使用直尺和圓規(guī)，作正七邊形——這個(gè)看上去非常簡(jiǎn)單的題目，曾經(jīng)使許多著名數(shù)學(xué)家都束手無(wú)策，因?yàn)檎哌呅问遣荒苡沙咭?guī)作出的·只使用直尺和圓規(guī)，作正九邊形，此圖也不能作出來(lái)，因?yàn)閱斡弥背吆蛨A規(guī)，是不足以把一個(gè)角分成三等份的·問(wèn)題的解決：高斯，大學(xué)二年級(jí)時(shí)得出正十七邊形的尺規(guī)作圖法，并給出了可用尺規(guī)作圖的正多邊形的條件尺規(guī)作圖正多邊形的邊數(shù)目必須是的非負(fù)整數(shù)次方和不同的費(fèi)馬素?cái)?shù)的積，解決了兩千年來(lái)懸而未決的難題⑵四等分圓周只準(zhǔn)許使用圓規(guī)，將一個(gè)已知圓心的圓周等分．這個(gè)問(wèn)題傳言是拿破侖·波拿巴出的，向全法國(guó)數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn).尺規(guī)作圖的相關(guān)延伸：用生銹圓規(guī)(即半徑固定的圓規(guī))作圖1.只用直尺及生銹圓規(guī)作正五邊形2.生銹圓規(guī)作圖，已知兩點(diǎn)，找出一使得AB

.3.已知兩點(diǎn)A、，只用半徑固定的圓規(guī)，求C是線(xiàn)段AB的中點(diǎn).4.尺規(guī)作圖，是古希臘人按“盡可能簡(jiǎn)單”這個(gè)思想出發(fā)的，能更簡(jiǎn)潔的表達(dá)嗎？順著這思路就有了更簡(jiǎn)潔的表達(dá).10世紀(jì)時(shí)，有數(shù)學(xué)家提出用直尺和半徑固定的圓規(guī)作圖.年，有人證明：如果把“作直線(xiàn)”解釋為“作出直線(xiàn)上的”，那么凡是尺規(guī)能作的，單用圓規(guī)也能作出！從已知點(diǎn)作出新點(diǎn)的幾種情況：兩弧交點(diǎn)、直線(xiàn)與弧交點(diǎn)、兩直線(xiàn)交點(diǎn)，在已有一個(gè)圓的情況下，那么凡是尺規(guī)能作的，單用直尺也能作出！五種基本作圖：初中數(shù)學(xué)的五種基本尺規(guī)作圖為：1.做一線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段2.做一角等于已知角3.做一角的角平分線(xiàn)4.過(guò)一點(diǎn)做一已知線(xiàn)段的垂線(xiàn)5.做一線(xiàn)段的中垂線(xiàn)

下面介幾種常見(jiàn)的規(guī)作圖法：⑴軌交點(diǎn)法解作圖題的一種常見(jiàn)方法解作圖題常歸結(jié)到確定某一個(gè)點(diǎn)的位置.如果這兩個(gè)點(diǎn)的位置是由兩個(gè)條件確定的先放棄其中一個(gè)條件那么這個(gè)點(diǎn)的位置就不確定而形成一個(gè)軌跡若改變放棄另一個(gè)條件這個(gè)點(diǎn)就在另一條軌跡上，故此點(diǎn)便是兩個(gè)軌跡的交.這個(gè)利用軌跡的交點(diǎn)來(lái)解作圖題的方法稱(chēng)為軌跡交點(diǎn)法，或稱(chēng)交軌法、軌跡交截法、軌跡法.【】

電信部門(mén)要修建一座電視信號(hào)發(fā)射塔如下圖照設(shè)計(jì)要求發(fā)射塔到兩個(gè)城鎮(zhèn)

A

、B

的距離必須相等，到兩條高速公路

、

n

的距離也必須相等，發(fā)射塔

P

應(yīng)修建在什么位置？F

m

DO

1m

n【析

2nG這是一道實(shí)際應(yīng)用題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題根據(jù)題意知道

P

應(yīng)滿(mǎn)足兩個(gè)條件，一是在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上；二是在兩條公路夾角的平分線(xiàn)上，所以點(diǎn)P應(yīng)是它們的交點(diǎn).【析

⑴作兩條公路夾角的平分線(xiàn)

OD

或

；⑵作線(xiàn)段

AB

的垂直平分

則射線(xiàn)OD

OE

與直線(xiàn)

G

的交點(diǎn)

，

就是發(fā)射塔的位.⑵代作圖法解作圖題時(shí)，往往首先歸納為求出某一線(xiàn)段長(zhǎng)而這線(xiàn)段長(zhǎng)的表達(dá)能用代數(shù)方法求出，然后根據(jù)線(xiàn)段長(zhǎng)的表達(dá)式設(shè)計(jì)作圖步驟.用這種方法作圖稱(chēng)為代數(shù)作圖法.【】

只用圓規(guī)，不許用直尺，四等分圓周（已知圓心）【析半徑1.可算出其內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為2就是說(shuō)用這個(gè)長(zhǎng)度去等分圓周.我們的

任務(wù)就是做出這個(gè)長(zhǎng)度.六等分圓周時(shí)會(huì)出現(xiàn)一個(gè)

3

的長(zhǎng)度.設(shè)法構(gòu)造斜邊為

3

，一直角邊為

的直角三角形，

2

的長(zhǎng)度自然就出來(lái)了.【析

具體做法：⑴隨便畫(huà)一個(gè)圓.設(shè)半徑為1.⑵先六等分圓周.這時(shí)隔了一個(gè)等分點(diǎn)的兩個(gè)等分點(diǎn)距離為

3

.⑶以這個(gè)距離為半徑別以?xún)蓚€(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)為圓心向作弧于一點(diǎn)“兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)”其實(shí)就是直徑的兩端點(diǎn)啦！兩弧交點(diǎn)與“兩個(gè)相對(duì)的等分點(diǎn)”形成的是一個(gè)底為2，腰為等腰三角形.可算出頂點(diǎn)距圓心距離就是.）⑷以

2

的長(zhǎng)度等分圓周就可以啦?、切ㄗ鲌D有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度使已知圖形與所求圖形發(fā)生聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)作圖途徑【3已知：直線(xiàn)，a

.求作：正

，使得

A

、

B

、

三點(diǎn)分別在直線(xiàn)

a

、

、

上.abc

D

ab【析是正三角形且頂點(diǎn)、、三點(diǎn)分別在直、、c上.作AD于D繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋60，置'的位置，此時(shí)'的位置可以確定.從而點(diǎn)

也可以確定.再作

BAC

，B

點(diǎn)又可以確定故符合條件的正三角形可以作【析

出.作法：⑴在直a上取一點(diǎn)，過(guò)A作于D⑵以AD為一邊作正三角形ADD'；⑶過(guò)

D'

作

D'CAD'

，交直線(xiàn)

于

；⑷以

A

為圓心，

AC

為半徑作弧，交

于

B

(使

B

與

D'

在

AC

異側(cè)).

⑸連接ABAC、BC得ABC.

即為所求.⑷位法作圖：用位似變換作圖，要作出滿(mǎn)足某些條件的圖形，可以先放棄一兩個(gè)條件，作出與其位似的圖形，然后利用位似變換，將這個(gè)與其位似得圖形放大或縮小，以滿(mǎn)足全部條件，從而作出滿(mǎn)足全部的條件【】知：一銳.求作:一正方形

DEFG

，使得

、

E

在

BC

邊上，

F

在

AC

邊上，

在

AB

邊上.A

G

FG'

F'B

C

D'D

【析

先放棄一個(gè)頂點(diǎn)

F

在

AC

邊上的條件，作出與正方形

DEFG

位似的正方形

D'FG

，然后利用位似變換將正方形.DEFG

DF'G

放大（或縮?。┑玫綕M(mǎn)足全部條件的正方形【析

作法：⑴在

AB

邊上任取一點(diǎn)

G'

，過(guò)

G

作

'D'

于

D'⑵以

D'

為一邊作正方形

D'E'F''

，且使'在BD'的延長(zhǎng)線(xiàn)上.⑶作直線(xiàn)BF'交ACF.⑷過(guò)

F

分別作

FG∥F'G'

交

AB

于

；作

FE∥'

交

BC

于

E

.⑸過(guò)

作

GDG'D'

交

BC

于

.則四邊形

DEFG

即為所求.⑸面割補(bǔ)法作圖對(duì)于等積變形的作圖題通常在給定圖形或某一確定圖形上割下一個(gè)三角形，再借助平行線(xiàn)補(bǔ)上一個(gè)等底等高的另一個(gè)三角形，使面積不變，從而完成所作圖形.【】圖，的底邊BC上一定點(diǎn)，，求作一直l，使其平的面積.

l

P

BMP【