2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.3空間圖形的基本關(guān)系與公理試題理北師大版

PAGEPAGE18第八章立體幾何與空間向量8.3空間圖形的根本關(guān)系與公理試題理北師大版1．四個公理公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))．公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)．公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行直線,相交直線)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點))(2)異面直線所成的角①定義：過空間任意一點P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(a∥l1，b∥l2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)叫作異面直線a，b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．4．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．5．等角定理空間中，如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．【知識拓展】1．唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與直線平行．(2)過直線外一點有且只有一個平面與直線垂直．(3)過平面外一點有且只有一個平面與平面平行．(4)過平面外一點有且只有一條直線與平面垂直．2．異面直線的判定定理經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線．【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請在括號中打“√〞或“×〞)(1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.(√)(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．(×)(3)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.(×)(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．(√)(5)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(×)1．以下命題正確的個數(shù)為()①梯形可以確定一個平面；②假設(shè)兩條直線和第三條直線所成的角相等，那么這兩條直線平行；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合．A．0B．1C．2D．3答案C解析②中兩直線可以平行、相交或異面，④中假設(shè)三個點在同一條直線上，那么兩個平面相交，①③正確．2．(2022·浙江)互相垂直的平面α，β交于直線l.假設(shè)直線m，n滿足m∥α，n⊥β，那么()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案C解析由，α∩β＝l，∴l(xiāng)β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正確．3．(2022·合肥質(zhì)檢)l，m，n為不同的直線，α，β，γ為不同的平面，那么以下判斷正確的選項是()A．假設(shè)m∥α，n∥α，那么m∥nB．假設(shè)m⊥α，n∥β，α⊥β，那么m⊥nC．假設(shè)α∩β＝l，m∥α，m∥β，那么m∥lD．假設(shè)α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，那么l⊥α答案C解析m，n可能的位置關(guān)系為平行，相交，異面，故A錯誤；根據(jù)面面垂直與線面平行的性質(zhì)可知B錯誤；根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知C正確；假設(shè)m∥n，根據(jù)線面垂直的判定可知D錯誤，應(yīng)選C.4.(教材改編)如下圖，在長方體ABCD－EFGH中，AB＝2eq\r(3)，AD＝2eq\r(3)，AE＝2，那么BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．答案45°60°解析∵BC與EG所成的角等于EG與FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝eq\f(EF,FG)＝eq\f(2\r(3),2\r(3))＝1，∴∠EGF＝45°，∵AE與BG所成的角等于BF與BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝eq\f(GF,BF)＝eq\f(2\r(3),2)＝eq\r(3)，∴∠GBF＝60°.5．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，那么直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________．答案4解析EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行．所以與EF相交的側(cè)面有4個．題型一平面根本性質(zhì)的應(yīng)用例1(1)(2022·山東)直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，那么“直線a和直線b相交〞是“平面α和平面β相交〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析假設(shè)直線a和直線b相交，那么平面α和平面β相交；假設(shè)平面α和平面β相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交，應(yīng)選A.(2)空間四邊形ABCD(如下圖)，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC.求證：①E、F、G、H四點共面；②三直線FH、EG、AC共點．證明①連接EF、GH，如下圖，∵E、F分別是AB、AD的中點，∴EF∥BD.又∵CG＝eq\f(1,3)BC，CH＝eq\f(1,3)DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四點共面．②易知FH與直線AC不平行，但共面，∴設(shè)FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH、EG、AC共點．思維升華共面、共線、共點問題的證明(1)證明點或線共面問題的兩種方法：①首先由所給條件中的局部線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩局部，然后分別確定平面，再證兩平面重合．(2)證明點共線問題的兩種方法：①先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；②直接證明這些點都在同一條特定直線上．(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G、H分別為FA、FD的中點．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？(1)證明由FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC.∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)解∵BE綊eq\f(1,2)AF，G是FA的中點，∴BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四點共面．題型二判斷空間兩直線的位置關(guān)系例2(1)(2022·廣東)假設(shè)直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，那么以下命題正確的選項是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，那么以下判斷錯誤的選項是()A．MN與CC1垂直B．MN與AC垂直C．MN與BD平行D．MN與A1B1平行(3)在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，那么表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號)答案(1)D(2)D(3)②④解析(1)假設(shè)l與l1，l2都不相交，那么l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交．(2)連接B1C，B1D1，如下圖，那么點M是B1C的中點，MN是△B1CD1的中位線，∴MN∥B1D1，又BD∥B1D1，∴MN∥BD.∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC.又∵A1B1與B1D1相交，∴MN與A1B1不平行，應(yīng)選D.(3)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G、H、N三點共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②④中GH與MN異面．思維升華空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決．(1)a，b，c為三條不重合的直線，有以下結(jié)論：①假設(shè)a⊥b，a⊥c，那么b∥c；②假設(shè)a⊥b，a⊥c，那么b⊥c；③假設(shè)a∥b，b⊥c，那么a⊥c.其中正確的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3(2)(2022·南昌一模)a、b、c是相異直線，α、β、γ是相異平面，那么以下命題中正確的選項是()A．a(chǎn)與b異面，b與c異面?a與c異面B．a(chǎn)與b相交，b與c相交?a與c相交C．α∥β，β∥γ?α∥γD．a(chǎn)α，bβ，α與β相交?a與b相交答案(1)B(2)C解析(1)在空間中，假設(shè)a⊥b，a⊥c，那么b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯，③顯然成立．(2)如圖(1)，在正方體中，a、b、c是三條棱所在直線，滿足a與b異面，b與c異面，但a∩c＝A，故A錯誤；在圖(2)的正方體中，滿足a與b相交，b與c相交，但a與c不相交，故B錯誤；如圖(3)，α∩β＝c，a∥c，那么a與b不相交，故D錯誤．題型三求兩條異面直線所成的角例3(2022·重慶模擬)如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，那么異面直線AP與BD所成的角為________．答案eq\f(π,3)解析如圖，將原圖補成正方體ABCD－QGHP，連接GP，那么GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3).引申探究在本例條件下，假設(shè)E，F(xiàn)，M分別是AB，BC，PQ的中點，異面直線EM與AF所成的角為θ，求cosθ的值．解設(shè)N為BF的中點，連接EN，MN，那么∠MEN是異面直線EM與AF所成的角或其補角．不妨設(shè)正方形ABCD和ADPQ的邊長為4，那么EN＝eq\r(5)，EM＝2eq\r(6)，MN＝eq\r(33).在△MEN中，由余弦定理得cos∠MEN＝eq\f(EM2＋EN2－MN2,2EM·EN)＝eq\f(24＋5－33,2×2\r(6)×\r(5))＝－eq\f(1,\r(30))＝－eq\f(\r(30),30).即cosθ＝eq\f(\r(30),30).思維升華用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是銳角或直角，那么它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，那么它的補角才是要求的角．正四面體ABCD中，E是AB的中點，那么異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(3),3)答案B解析畫出正四面體ABCD的直觀圖，如下圖．設(shè)其棱長為2，取AD的中點F，連接EF，設(shè)EF的中點為O，連接CO，那么EF∥BD，那么∠FEC就是異面直線CE與BD所成的角．△ABC為等邊三角形，那么CE⊥AB，易得CE＝eq\r(3)，同理可得CF＝eq\r(3)，故CE＝CF.因為OE＝OF，所以CO⊥EF.又EO＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(1,4)BD＝eq\f(1,2)，所以cos∠FEC＝eq\f(EO,CE)＝eq\f(\f(1,2),\r(3))＝eq\f(\r(3),6).16．構(gòu)造模型判斷空間線面位置關(guān)系典例m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，有以下四個命題：①假設(shè)m⊥α，n⊥β，m⊥n，那么α⊥β；②假設(shè)m∥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；③假設(shè)m⊥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；④假設(shè)m⊥α，n∥β，α∥β，那么m⊥n.其中所有正確的命題是________．思想方法指導(dǎo)此題可通過構(gòu)造模型法完成，構(gòu)造法實質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造符合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，防止了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯誤．對于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷．解析借助于長方體模型來解決此題，對于①，可以得到平面α、β互相垂直，如圖(1)所示，故①正確；對于②，平面α、β可能垂直，如圖(2)所示，故②不正確；對于③，平面α、β可能垂直，如圖(3)所示，故③不正確；對于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因為n∥β，所以過n作平面γ，且γ∩β＝g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因為m⊥g，所以m⊥n，故④正確．答案①④1．設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，aα，b⊥β，那么“α∥β〞是“a⊥b〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析假設(shè)aα，b⊥β，α∥β，那么由α∥β，b⊥β?b⊥α，又aα，所以a⊥b；假設(shè)a⊥b，aα，b⊥β，那么b⊥α或b∥α或bα，此時α∥β或α與β相交，所以“α∥β〞是“a⊥b〞的充分不必要條件，應(yīng)選A.2．(2022·福州質(zhì)檢)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點，那么在空間中與直線A1B1、EF、BC都相交的直線()A．不存在 B．有且只有兩條C．有且只有三條 D．有無數(shù)條答案D解析在EF上任意取一點M，直線A1B1與M確定一個平面，這個平面與BC有且僅有1個交點N，當(dāng)M的位置不同時確定不同的平面，從而與BC有不同的交點N，而直線MN與A1B1、EF、BC分別有交點P、M、N，如圖，故有無數(shù)條直線與直線A1B1、EF、BC都相交．3．對于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l()A．平行 B．相交C．垂直 D．互為異面直線答案C解析不管l∥α，lα，還是l與α相交，α內(nèi)都有直線m使得m⊥l.4．在四面體ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF與HG交于點M，那么()A．M一定在直線AC上B．M一定在直線BD上C．M可能在AC上，也可能在BD上D．M既不在AC上，也不在BD上答案A解析由于EF∩HG＝M，且EF平面ABC，HG平面ACD，所以點M為平面ABC與平面ACD的一個公共點，而這兩個平面的交線為AC，所以點M一定在直線AC上，應(yīng)選A.5．四棱錐P－ABCD的所有側(cè)棱長都為eq\r(5)，底面ABCD是邊長為2的正方形，那么CD與PA所成角的余弦值為()A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,5)答案B解析因為四邊形ABCD為正方形，故CD∥AB，那么CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角，即為∠PAB.在△PAB內(nèi)，PB＝PA＝eq\r(5)，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝eq\f(PA2＋AB2－PB2,2×PA×AB)＝eq\f(5＋4－5,2×\r(5)×2)＝eq\f(\r(5),5)，應(yīng)選B.6．以下命題中，正確的選項是()A．假設(shè)a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且aα，bβ，那么a，b是異面直線B．假設(shè)a，b是兩條直線，且a∥b，那么直線a平行于經(jīng)過直線b的所有平面C．假設(shè)直線a與平面α不平行，那么此直線與平面內(nèi)的所有直線都不平行D．假設(shè)直線a∥平面α，點P∈α，那么平面α內(nèi)經(jīng)過點P且與直線a平行的直線有且只有一條答案D解析對于A，當(dāng)α∥β，a，b分別為第三個平面γ與α，β的交線時，由面面平行的性質(zhì)可知a∥b，故A錯誤．對于B，設(shè)a，b確定的平面為α，顯然aα，故B錯誤．對于C，當(dāng)aα?xí)r，直線a與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都平行，故C錯誤．易知D正確．應(yīng)選D.7．(2022·南昌高三期末)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形．∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝eq\r(2)，P是BC1上一動點，那么CP＋PA1的最小值為________．答案5eq\r(2)解析連接A1B，將△A1BC1與△CBC1同時展平形成一個平面四邊形A1BCC1，那么此時對角線CP＋PA1＝A1C到達最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2，∠CC1B＝45°，在△A1BC1中，A1B＝eq\r(40)＝2eq\r(10)，A1C1＝6，BC1＝2，∴A1Ceq\o\al(2,1)＋BCeq\o\al(2,1)＝A1B2，即∠A1C1B＝90°.對于展開形成的四邊形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝eq\r(2)，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°，由余弦定理有，CP＋PA1＝A1C＝eq\r(2＋36－12\r(2)cos135°)＝eq\r(50)＝5eq\r(2).8.如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．答案②③④解析把正四面體的平面展開圖復(fù)原，如下圖，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.9．(2022·浙江)如圖，三棱錐ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別是AD，BC的中點，那么異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________．答案eq\f(7,8)解析如下圖，連接DN，取線段DN的中點K，連接MK，CK.∵M為AD的中點，∴MK∥AN，∴∠KMC為異面直線AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點，由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2eq\r(2)，∴MK＝eq\r(2).在Rt△CKN中，CK＝eq\r(\r(2)2＋12)＝eq\r(3).在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝eq\f(CM2＋MK2－CK2,2CM×MK)＝eq\f(2\r(2)2＋\r(2)2－\r(3)2,2×2\r(2)×\r(2))＝eq\f(7,8).10.(2022·鄭州質(zhì)檢)如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.假設(shè)M為線段A1C的中點，那么在△ADE翻折過程中，下面四個命題中不正確的選項是________．①BM是定值；②點M在某個球面上運動；③存在某個位置，使DE⊥A1C；④存在某個位置，使MB∥平面A1DE.答案③解析取DC中點F，連接MF，BF，MF∥A1D且MF＝eq\f(1,2)A1D，F(xiàn)B∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的球上，可得①②正確；由MF∥A1D與FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正確；A1C在平面ABCD中的投影與AC重合，AC與DE不垂直，可得③不正確．11.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1、H、O三點共線．證明如圖，連接BD，B1D1，那么BD∩AC＝O，∵