2023高考數(shù)學一輪復習第3章三角函數(shù)、解三角形第7節(jié)三角形中的幾何計算、解三角形的實際應用舉例課時分層訓練文北師大版

PAGEPAGE1課時分層訓練(二十二)三角形中的幾何計算、解三角形的實際應用舉例A組根底達標(建議用時：30分鐘)一、選擇題1．如圖3-7-9所示，兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，那么燈塔A與燈塔B的距離為()圖3-7-9A．a(chǎn)km B．eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akmB[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝eq\r(3)a.]2．如圖3-7-10，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，那么燈塔A在燈塔B的()圖3-7-10A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東80°D．南偏西80°D[由條件及題圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.]3．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()【導學號：66482183】A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里A[如下圖，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．]4．如圖3-7-11，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.AB＝1km，水的流速為2km/h，假設客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6min，那么客船在靜水中的速度為()圖3-7-11A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/hB[設AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為vkm/h，由題意知，sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，從而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).]5．如圖3-7-12，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m、50m，BD為水平面，那么從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()圖3-7-12A．30° B．45°C．60° D．75°B[依題意可得AD＝20eq\r(10)(m)，AC＝30eq\r(5)(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(30\r(5)2＋20\r(10)2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.]二、填空題6．在地上畫一個∠BDA＝60°，某人從角的頂點D出發(fā)，沿角的一邊DA行走10米后，拐彎往另一方向行走14米正好到達∠BDA的另一邊BD上的一點，我們將該點記為點B，那么B與D之間的距離為________米．16[如下圖，設BD＝xm，那么142＝102＋x2－2×10×x×cos60°，整理得x2－10x－96＝0，x＝－6(舍去)，x＝16，∴x＝16(米)．]7．如圖3-7-13，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測得∠BDC＝45°，那么塔AB的高是________米.圖3-7-13【導學號：66482184】10eq\r(6)[在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(CD,sin30°)，BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝10eq\r(2).在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6)(米)．]8．如圖3-7-14所示，一艘海輪從A處出發(fā)，測得燈塔在海輪的北偏東15°方向，與海輪相距20海里的B處，海輪按北偏西60°的方向航行了30分鐘后到達C處，又測得燈塔在海輪的北偏東75°的方向，那么海輪的速度為________海里/分鐘．圖3-7-14eq\f(\r(6),3)[由得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以AC＝eq\f(AB·sinB,sin∠ACB)＝eq\f(20×sin60°,sin45°)＝10eq\r(6)，所以海輪航行的速度為eq\f(10\r(6),30)＝eq\f(\r(6),3)(海里/分鐘)．]三、解答題9．某航模興趣小組的同學，為了測定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸邊設置兩個觀察點A，B，且AB長為80米，當航模在C處時，測得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，經(jīng)過20秒后，航模直線航行到D處，測得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.請你根據(jù)以上條件求出航模的速度．(答案可保存根號)圖3-7-15[解]在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80eq\r(2).3分在△ABC中，eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，∴BC＝eq\f(ABsin30°,sin45°)＝eq\f(80×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝40eq\r(2).6分在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos60°＝(80eq\r(2))2＋(40eq\r(2))2－2×80eq\r(2)×40eq\r(2)×eq\f(1,2)＝9600.∴DC＝40eq\r(6)，航模的速度v＝eq\f(40\r(6),20)＝2eq\r(6)米/秒.12分10．如圖3-7-16，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，假設漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上．圖3-7-16(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα的值.【導學號：66482185】[解](1)依題意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.3分在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28.所以漁船甲的速度為eq\f(BC,2)＝14海里/小時.7分(2)在△ABC中，因為AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°)，9分即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).12分B組能力提升(建議用時：15分鐘)1．一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，那么水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150mA[設水柱高度是hm，水柱底端為C，那么在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝eq\r(3)h，根據(jù)余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m．]2．(2022·全國卷Ⅰ)如圖3-7-17，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60°，C點的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從C點測得∠MCA＝60°.山高BC＝100m，那么山高MN＝________m.圖3-7-17150[根據(jù)圖示，AC＝100eq\r(2)m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得eq\f(AC,sin45°)＝eq\f(AM,sin60°)?AM＝100eq\r(3)m.在△AMN中，eq\f(MN,AM)＝sin60°，∴MN＝100eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝150(m)．]3．在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一個發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100米和BN＝200米，一測量車在小山M的正南方向的點P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，該測量車向北偏西60°方向行駛了100eq\r(3)米后到達點Q，在點Q處測得發(fā)射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)測量tanθ＝2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離．圖3-7-18【導學號：66482186】[解]在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100eq\r(3)，連接QM(圖略)，在△PQM中，∠QPM＝60°，3分又PQ＝10