2023版高考物理一輪復(fù)習(xí)第四章曲線運動萬有引力與航天第4節(jié)萬有引力定律及其應(yīng)用

PAGEPAGE2第4節(jié)萬有引力定律及其應(yīng)用(1)所有行星繞太陽運行的軌道都是橢圓。(√)(2)行星在橢圓軌道上運行速率是變化的，離太陽越遠，運行速率越大。(×)(3)只有天體之間才存在萬有引力。(×)(4)只要知道兩個物體的質(zhì)量和兩個物體之間的距離，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)計算物體間的萬有引力。(×)(5)地面上的物體所受地球的引力方向一定指向地心。(√)(6)兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大。(×)(1)德國天文學(xué)家開普勒提出天體運動的開普勒三大定律。(2)牛頓總結(jié)了前人的科研成果，在此根底上，經(jīng)過研究得出了萬有引力定律。(3)英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤實驗裝置比擬準確地測出了引力常量。突破點(一)開普勒行星運動定律與萬有引力定律[典題先試]1．(2022·全國丙卷)關(guān)于行星運動的規(guī)律，以下說法符合史實的是()A．開普勒在牛頓定律的根底上，導(dǎo)出了行星運動的規(guī)律B．開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的根底上，總結(jié)出了行星運動的規(guī)律C．開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運動的原因D．開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律解析：選B開普勒在前人觀測數(shù)據(jù)的根底上，總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，與牛頓定律無聯(lián)系，選項A錯誤，選項B正確；開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，但沒有找出行星按照這些規(guī)律運動的原因，選項C錯誤；牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，選項D錯誤。2．(2022·江蘇高考)火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根據(jù)開普勒行星運動定律可知()A．太陽位于木星運行軌道的中心B．火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D．相同時間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積解析：選C太陽位于木星運行軌道的一個焦點上，A錯誤；不同的行星對應(yīng)不同的運行軌道，運行速度大小也不相同，B錯誤；同一行星與太陽連線在相等時間內(nèi)掃過的面積才能相同，D錯誤；由開普勒第三定律得：eq\f(r火3,T火2)＝eq\f(r木3,T木2)，故eq\f(T火2,T木2)＝eq\f(r火3,r木3)，C正確。3．(2022·開封質(zhì)檢)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(BDS)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，該系統(tǒng)由35顆衛(wèi)星組成，衛(wèi)星的軌道有三種：地球同步軌道、中軌道和傾斜軌道。其中，同步軌道半徑大約是中軌道半徑的1.5倍，那么同步衛(wèi)星與中軌道衛(wèi)星的周期之比約為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\f(1,2) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\f(3,2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\f(2,3)解析：選C同步軌道半徑大約是中軌道半徑的1.5倍，根據(jù)開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，得eq\f(T同2,T中2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3，即同步衛(wèi)星與中軌道衛(wèi)星的周期之比約為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\f(3,2)，應(yīng)選項C正確。[題后悟通](1)行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理。(2)開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。(3)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同。突破點(二)天體質(zhì)量和密度的計算1．“自力更生〞法(g－R)利用天體外表的重力加速度g和天體半徑R。(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。(3)GM＝gR2稱為黃金代換公式。2．“借助外援〞法(T－r)測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和半徑r。(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)假設(shè)天體的半徑R，那么天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)假設(shè)衛(wèi)星繞天體外表運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，那么天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體外表運動的周期T，就可估算出中心天體的密度。[典例](多項選擇)(2022·上饒二模)某人造航天器在月球外表上空繞月球做勻速圓周運動，經(jīng)過時間t(t小于航天器的繞行周期)，航天器運動的弧長為s，航天器與月球的中心連線掃過的角度為θ，引力常量為G，那么()A．航天器的軌道半徑為eq\f(θ,s) B．航天器的環(huán)繞周期為eq\f(2πt,θ)C．月球的質(zhì)量為eq\f(s3,Gt2θ) D．月球的密度為eq\f(3θ2,4Gt2)[解析]根據(jù)幾何關(guān)系得r＝eq\f(s,θ)，故A錯誤；經(jīng)過時間t，航天器與月球的中心連線掃過角度為θ，那么eq\f(t,T)＝eq\f(θ,2π)，得T＝eq\f(2πt,θ)，故B正確；航天器由萬有引力充當(dāng)向心力而做圓周運動，所以Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)＝eq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(s,θ)))3,G\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2πt,θ)))2)＝eq\f(s3,Gt2θ)，故C正確；月球的體積V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(s,θ)))3，月球的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(s3,Gt2θ),\f(4,3)π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(s,θ)))3)＝eq\f(3θ2,4πGt2)，故D錯誤。[答案]BC[易錯提醒](1)利用萬有引力提供天體做圓周運動的向心力估算天體質(zhì)量時，估算的只是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量。(2)區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體外表附近的衛(wèi)星才有r≈R；計算天體密度時，V＝eq\f(4,3)πR3中的R只能是中心天體的半徑。[集訓(xùn)沖關(guān)]1．(多項選擇)(2022·超級全能生26省聯(lián)考)萬有引力常量為G，如果將月球繞地球運動的軌道視為圓周，并測出了其運行的軌道半徑R和運行周期T，那么由此可推算()A．地球的質(zhì)量 B．地球的半徑C．月球的運行速度 D．地球?qū)υ虑虻娜f有引力解析：選AC設(shè)月球的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力提供向心力，得：Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2R,T2)，得：M＝eq\f(4π2R3,GT2)，即可求出地球的質(zhì)量M，不能求出地球的半徑。故A正確，B錯誤；月球的運行速度為v＝eq\f(2πR,T)，故C正確；地球?qū)υ虑虻娜f有引力為F＝Geq\f(Mm,R2)，由于月球的質(zhì)量m無法求出，所以地球?qū)υ虑虻娜f有引力不能求出。故D錯誤。2．(2022·六安一中模擬)我國航天事業(yè)取得了突飛猛進地開展，航天技術(shù)位于世界前列。在航天控制中心對其正上方某衛(wèi)星測控時，測得從發(fā)送“操作指令〞到接收到衛(wèi)星“已操作〞的信息需要的時間為2t(設(shè)衛(wèi)星接收到“操作指令〞后立即操作，并立即發(fā)送“已操作〞的信息到控制中心)，測得該衛(wèi)星運行周期為T，地球半徑為R，電磁波的傳播速度為c，由此可以求出地球的質(zhì)量為()A.eq\f(π28R＋ct3,2GT2) B.eq\f(4π2R＋ct3,GT2)C.eq\f(π22R＋ct3,2GT2) D.eq\f(π24R＋ct3,GT2)解析：選B由x＝vt可得：衛(wèi)星與地球的距離為x＝eq\f(1,2)c×2t＝ct衛(wèi)星的軌道半徑為r＝R＋x＝R＋ct；由萬有引力公式可得：Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)解得：M＝eq\f(4π2R＋ct3,GT2)故B正確。3．(多項選擇)(2022·南平質(zhì)檢)我國發(fā)射的一顆地球同步通訊衛(wèi)星，其定點位置與東經(jīng)98°的經(jīng)線在同一平面內(nèi)。甘肅省嘉峪關(guān)有一個微波通訊站(如圖中P點位置)，它的經(jīng)度和緯度分別為東經(jīng)98°和北緯40°。地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)周期為T，地球外表重力加速度為g，光速為c，萬有引力常量為G。以下說法中正確的選項是()A．根據(jù)提供的物理量能求出地球的質(zhì)量B．根據(jù)提供的物理量能求出該衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期C．根據(jù)提供的物理量能求出該衛(wèi)星發(fā)出的微波信號傳到嘉峪關(guān)微波接收站所需的時間D．根據(jù)提供的物理量能求出該衛(wèi)星的質(zhì)量解析：選ABC由題意，通過幾何關(guān)系，結(jié)合地球的半徑，即可求解衛(wèi)星離地心的高度，再由引力提供向心力，結(jié)合地球自轉(zhuǎn)的周期，那么可求得地球的質(zhì)量，故A正確；由于是地球同步通訊衛(wèi)星，因地球自轉(zhuǎn)周期為T，那么衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的周期也為T，故B正確；根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合地球的半徑，可求得衛(wèi)星離地面的高度，再依據(jù)t＝eq\f(s,c)，光速為c，從而求得微波信號傳播的時間，故C正確；根據(jù)引力提供向心力，列出的表達式中，等式兩邊的衛(wèi)星質(zhì)量可約去，因此無法求解衛(wèi)星的質(zhì)量，故D錯誤。突破點(三)天體外表的重力加速度問題重力只是萬有引力的一個分力，另一個分力提供物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運動的向心力，但由于向心力很小，一般情況下認為重力等于萬有引力，即mg＝eq\f(GMm,R2)，這樣重力加速度就與行星質(zhì)量、半徑聯(lián)系在一起，高考也屢次在此命題。[多維探究](一)求天體外表某高度處的重力加速度[典例1]科幻大片?星際穿越?是基于知名理論物理學(xué)家基普·索恩的黑洞理論，參加人物和相關(guān)情節(jié)改編而成的。電影中的黑洞花費三十名研究人員將近一年的時間，用數(shù)千臺計算機精確模擬才得以實現(xiàn)，讓我們看到了迄今最真實的黑洞模樣。假設(shè)某黑洞的半徑R約為45km，質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)(其中c＝3×108m/s，G為引力常量)，那么該黑洞外表的重力加速度大約為()A．108m/s2 B．10C．1012m/s2 D．10[解析]黑洞實際為一天體，天體外表的物體受到的重力近似等于物體與該天體之間的萬有引力，設(shè)黑洞外表的重力加速度為g，對黑洞外表的某一質(zhì)量為m的物體，有eq\f(GMm,R2)＝mg，又有eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)，聯(lián)立解得g＝eq\f(c2,2R)，代入數(shù)據(jù)得重力加速度約為1012m/s2，應(yīng)選項C正確。[答案]C(二)求天體外表某深度處的重力加速度[典例2]假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d。質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))2 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))2[解析]如下圖，根據(jù)題意，地面與礦井底部之間的環(huán)形局部對處于礦井底部的物體引力為零。設(shè)地面處的重力加速度為g，地球質(zhì)量為M，地球外表的物體m受到的重力近似等于萬有引力，故mg＝Geq\f(Mm,R2)；設(shè)礦井底部處的重力加速度為g′，等效“地球〞的質(zhì)量為M′，其半徑r＝R－d，那么礦井底部處的物體m受到的重力mg′＝Geq\f(M′m,r2)，又M＝ρV＝ρ·eq\f(4,3)πR3，M′＝ρV′＝ρ·eq\f(4,3)π(R－d)3，聯(lián)立解得eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，A對。[答案]A(三)天體外表重力加速度與拋體運動的綜合[典例3](2022·海南高考)假設(shè)在某行星和地球上相對于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們在水平方向運動的距離之比為2∶eq\r(7)。該行星質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R。由此可知，該行星的半徑約為()A.eq\f(1,2)R B.eq\f(7,2)RC．2R D.eq\f(\r(7),2)R[解析]平拋運動在水平方向上做勻速直線運動，即x＝v0t，在豎直方向上做自由落體運動，即h＝eq\f(1,2)gt2，所以x＝v0eq\r(\f(2h,g))，兩種情況下，拋出的速度相同，高度相同，所以eq\f(g行,g地)＝eq\f(7,4)，根據(jù)公式Geq\f(Mm,R2)＝mg可得g＝eq\f(GM,R2)，故eq\f(g行,g地)＝eq\f(\f(M行,R行2),\f(M地,R地2))＝eq\f(7,4)，解得R行＝2R，故C正確。[答案]C萬有引力的三種計算思路(一)用萬有引力定律計算質(zhì)點間的萬有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)適用于質(zhì)點、均勻介質(zhì)球體或球殼之間萬有引力的計算。當(dāng)兩物體為勻質(zhì)球體或球殼時，可以認為勻質(zhì)球體或球殼的質(zhì)量集中于球心，r為兩球心的距離，引力的方向沿兩球心的連線。1.(多項選擇)(2022·浙江高考)如下圖，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R。以下說法正確的選項是()A．地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為eq\f(GMm,r－R2)B．一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為eq\f(GMm,r2)C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為eq\f(Gm2,3r2)D．三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為eq\f(3GMm,r2)解析：選BC由萬有引力定律知A項錯誤，B項正確；因三顆衛(wèi)星連線構(gòu)成等邊三角形，圓軌道半徑為r，由數(shù)學(xué)知識易知任意兩顆衛(wèi)星間距d＝2rcos30°＝eq\r(3)r，由萬有引力定律知C項正確；因三顆衛(wèi)星對地球的引力大小相等且互成120°，故三顆衛(wèi)星對地球引力的合力為0，那么D項錯誤。(二)用萬有引力定律的兩個推論計算萬有引力推論Ⅰ：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F＝0。推論Ⅱ：如下圖，在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對它的引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)。2.如下圖，有人設(shè)想要“打穿地球〞從中國建立一條通過地心的光滑隧道直達巴西。假設(shè)只考慮物體間的萬有引力，那么從隧道口拋下一物體，物體的加速度()A．一直增大 B．一直減小C．先增大后減小 D．先減小后增大解析：選D設(shè)地球的平均密度為ρ，物體在隧道內(nèi)部離地心的距離為r，那么物體m所受的萬有引力F＝G·eq\f(ρ·\f(4,3)πr3·m,r2)＝eq\f(4,3)πGρmr，物體的加速度a＝eq\f(F,m)＝eq\f(4,3)πGρr，由題意可知r先減小后增大，應(yīng)選項D正確。(三)填補法求解萬有引力運用“填補法〞解題的關(guān)鍵是緊扣萬有引力定律的適用條件，先填補后運算，運用“填補法〞解題主要表達了等效思想。3.如下圖，有一個質(zhì)量為M，半徑為R，密度均勻的大球體。從中挖去一個半徑為eq\f(R,2)的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點，那么大球體的剩余局部對該質(zhì)點的萬有引力大小為(質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零)()A．Geq\f(Mm,R2) B．0C．4Geq\f(Mm,R2) D．Geq\f(Mm,2R2)解析：選D假設(shè)將挖去的小球體用原材料補回，可知剩余局部對m的吸引力等于完整大球體對m的吸引力與挖去小球體對m的吸引力之差，挖去的小球體球心與m重合，對m的萬有引力為零，那么剩余局部對m的萬有引力等于完整大球體對m的萬有引力；以大球體球心為中心別離出半徑為eq\f(R,2)的球，易知其質(zhì)量為eq\f(1,8)M，那么剩余均勻球殼對m的萬有引力為零，故剩余局部對m的萬有引力等于別離出的球?qū)ζ涞娜f有引力，根據(jù)萬有引力定律，F(xiàn)＝Geq\f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))2)＝Geq\f(Mm,2R2)，故D正確。[反思領(lǐng)悟](1)萬有引力定律只適用于求質(zhì)點間的萬有引力。(2)在質(zhì)量分布均勻的實心球中挖去小球后其質(zhì)量分布不再均勻，不可再隨意視為質(zhì)點處理。(3)可以采用先填補后運算的方法計算萬有引力大小。對點訓(xùn)練：開普勒行星運動定律與萬有引力定律1．(2022·上海黃浦區(qū)檢測)關(guān)于萬有引力定律，以下說法正確的選項是()A．牛頓提出了萬有引力定律，并測定了引力常量的數(shù)值B．萬有引力定律只適用于天體之間C．萬有引力的發(fā)現(xiàn)，揭示了自然界一種根本相互作用的規(guī)律D．地球繞太陽在橢圓軌道上運行，在近日點和遠日點受到太陽的萬有引力大小是相同的解析：選C牛頓提出了萬有引力定律，卡文迪許測定了引力常量的數(shù)值，萬有引力定律適用于任何物體之間，萬有引力的發(fā)現(xiàn)，揭示了自然界一種根本相互作用的規(guī)律，選項A、B錯誤，C正確；地球繞太陽在橢圓軌道上運行，在近日點和遠日點受到太陽的萬有引力大小是不相同的，選項D錯誤。2.對于環(huán)繞地球做圓周運動的衛(wèi)星來說，它們繞地球做圓周運動的周期會隨著軌道半徑的變化而變化，某同學(xué)根據(jù)測得的不同衛(wèi)星做圓周運動的半徑r與周期T的關(guān)系作出如下圖圖像，那么可求得地球質(zhì)量為(引力常量為G)()A.eq\f(4π2a,Gb) B.eq\f(4π2b,Ga)C.eq\f(Ga,4π2b) D.eq\f(Gb,4π2a)解析：選A由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)·r可得eq\f(r3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，結(jié)合題圖圖線可得，eq\f(a,b)＝eq\f(GM,4π2)，故M＝eq\f(4π2a,Gb)，A正確。3．(多項選擇)(2022·北京通州區(qū)摸底)萬有引力定律能夠很好地將天體運行規(guī)律與地球上物體運動規(guī)律具有的內(nèi)在一致性統(tǒng)一起來。用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結(jié)果。地球質(zhì)量為M，萬有引力常量為G。將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體。以下選項中說法正確的選項是()A．在北極地面稱量時，彈簧秤讀數(shù)為F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面稱量時，彈簧秤讀數(shù)為F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北極上空高出地面h處稱量時，彈簧秤讀數(shù)為F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)D．在赤道上空高出地面h處稱量時，彈簧秤讀數(shù)為F3＝Geq\f(Mm,R＋h2)解析：選AC北極地面物體不隨地球自轉(zhuǎn)，萬有引力等于重力，那么有F0＝Geq\f(Mm,R2)，故A正確；在赤道地面稱量時，萬有引力等于重力加上隨地球一起自轉(zhuǎn)所需要的向心力，那么有F1<Geq\f(Mm,R2)，故B錯誤；在北極上空高出地面h處稱量時，萬有引力等于重力，那么有F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)，故C正確；在赤道上空高出地面h處稱量時，萬有引力大于重力，彈簧秤讀數(shù)F3<Geq\f(Mm,R＋h2)，故D錯誤。4．(2022·全國乙卷)利用三顆位置適當(dāng)?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊。目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍。假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，假設(shè)仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的，那么地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為()A．1h B.4hC．8h D．16h解析：選B萬有引力提供向心力，對同步衛(wèi)星有：eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，整理得GM＝eq\f(4π2r3,T2)當(dāng)r＝6.6R地時，T＝24h假設(shè)地球的自轉(zhuǎn)周期變小，軌道半徑最小為2R地三顆同步衛(wèi)星A、B、C如下圖分布。那么有eq\f(4π26.6R地3,T2)＝eq\f(4π22R地3,T′2)解得T′≈eq\f(T,6)＝4h，選項B正確。對點訓(xùn)練：天體質(zhì)量和密度的計算5．(多項選擇)(2022·海南高考)通過觀測冥王星的衛(wèi)星，可以推算出冥王星的質(zhì)量。假設(shè)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運動，除了引力常量外，至少還需要兩個物理量才能計算出冥王星的質(zhì)量。這兩個物理量可以是()A．衛(wèi)星的速度和角速度B．衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑C．衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度D．衛(wèi)星的運行周期和軌道半徑解析：選AD根據(jù)線速度和角速度可以求出半徑r＝eq\f(v,ω)，根據(jù)萬有引力提供向心力，那么有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，整理可得M＝eq\f(v3,Gω)，應(yīng)選項A正確；由于衛(wèi)星的質(zhì)量m可約掉，應(yīng)選項B、C錯誤；假設(shè)知道衛(wèi)星的運行周期和軌道半徑，那么由eq\f(GMm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，整理得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，應(yīng)選項D正確。6．(2022·銅陵質(zhì)檢)有一星球的密度跟地球密度相同，但它外表處的重力加速度是地球外表處重力加速度的4倍，那么該星球的質(zhì)量是地球質(zhì)量的(忽略其自轉(zhuǎn)影響)()A.eq\f(1,4) B.4倍C．16倍 D．64倍解析：選D天體外表的物體所受重力mg＝eq\f(GMm,R2)，又知ρ＝eq\f(3M,4πR3)，所以M＝eq\f(9g3,16π2ρ2G3)，故eq\f(M星,M地)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(g星,g地)))3＝64。D正確。7.(2022·文登模擬)如下圖，“嫦娥三號〞的環(huán)月軌道可近似看成是圓軌道，觀察“嫦娥三號〞在環(huán)月軌道上的運動，發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過時間t通過的弧長為l，該弧長對應(yīng)的圓心角為θ弧度。萬有引力常量為G，那么月球的質(zhì)量是()A.eq\f(l2,Gθ3t) B.eq\f(θ3,Gl2t)C.eq\f(l3,Gθt2) D.eq\f(t2,Gθl3)解析：選C因為每經(jīng)過時間t通過的弧長為l，故衛(wèi)星的線速度為v＝eq\f(l,t)，角速度為ω＝eq\f(θ,t)，衛(wèi)星的運行半徑為R＝eq\f(v,ω)＝eq\f(l,θ)，那么根據(jù)萬有引力定律及牛頓第二定律得：eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)，那么月球的質(zhì)量M＝eq\f(Rv2,G)＝eq\f(l3,Gθt2)，選項C正確。8．據(jù)報道，天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星。這顆行星的體積是地球的a倍，質(zhì)量是地球的b倍。近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為T，引力常量為G。那么該行星的平均密度為()A.eq\f(3π,GT2) B.eq\f(π,3T2)C.eq\f(3πb,aGT2) D.eq\f(3πa,bGT2)解析：選C萬有引力提供近地衛(wèi)星繞地球運動的向心力Geq\f(M地m,R2)＝meq\f(4π2R,T2)，且ρ地＝eq\f(3M地,4πR3)，由以上兩式得ρ地＝eq\f(3π,GT2)。而eq\f(ρ星,ρ地)＝eq\f(M星V地,V星M地)＝eq\f(b,a)，因而ρ星＝eq\f(3πb,aGT2)，C正確。對點訓(xùn)練：天體外表的重力加速度問題9．宇航員站在某一星球距外表h高度處，以某一速度沿水平方向拋出一個小球，經(jīng)過時間t后小球落到星球外表，該星球的半徑為R，引力常量為G，那么該星球的質(zhì)量為()A.eq\f(2hR2,Gt2) B.eq\f(2hR2,Gt)C.eq\f(2hR,Gt2) D.eq\f(Gt2,2hR2)解析：選A設(shè)該星球外表的重力加速度g，小球在星球外表做平拋運動，h＝eq\f(1,2)gt2。設(shè)該星球的質(zhì)量為M，在星球外表有mg＝eq\f(GMm,R2)。由以上兩式得，該星球的質(zhì)量為M＝eq\f(2hR2,Gt2)，A正確。10．(2022·高密模擬)據(jù)報道，科學(xué)家們在距離地球20萬光年外發(fā)現(xiàn)了首顆系外“宜居〞行星。假設(shè)該行星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，半徑約為地球半徑的2倍。那么，一個在地球外表能舉起64kg物體的人在這個行星外表能舉起的物體的質(zhì)量約為(地球外表重力加速度g＝10m/s2)()A．40kg B.50kgC．60kg D．30kg解析：選A根據(jù)萬有引力等于重力eq\f(GMm,R2)＝mg得g＝eq\f(GM,R2)，因為行星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，其半徑是地球半徑的2倍，那么行星外表重力加速度是地球外表重力加速度的1.6倍，而人的舉力可認為是不變的，那么人在行星外表所舉起的重物質(zhì)量為：m＝eq\f(m0,1.6)＝eq\f(64,1.6)kg＝40kg，故A正確。11．(多項選擇)宇航員在地球外表以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原地。假設(shè)他在某星球外表以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處。該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球外表重力加速度為g，設(shè)該星球外表附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計。那么()A．g′∶g＝1∶5 B.g′∶g＝5∶2C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80解析：選AD由速度對稱性知豎直上拋的小球在空中運動時間t＝eq\f(2v0,g)，因此得eq\f(g′,g)＝eq\f(t,5t)＝eq\f(1,5)，A正確，B錯誤；由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G)，因而eq\f(M星,M地)＝eq\f(g′R星2,gR地2)＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(1,80)，C錯誤，D正確。12．(2022·西安高三檢測)理論上已經(jīng)證明：質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零?，F(xiàn)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實心球體，O為球心，以O(shè)為原點建立坐標軸Ox，如下圖。一個質(zhì)量一定的小物體(假設(shè)它能夠在地球內(nèi)部移動)在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，那么選項圖所示的四個F隨x的變化關(guān)系圖像正確的選項是()解析：選A令地球的密度為ρ，那么在地球外表，重力和地球的萬有引力大小相等，有：g＝eq\f(GM,R2)。由于地球的質(zhì)量為M＝eq\f(4,3)πR3·ρ，所以重力加速度的表達式可寫成：g＝eq\f(4πGRρ,3)。根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，受到地球的萬有引力即為半徑等于r的球體在其外表產(chǎn)生的萬有引力，g′＝eq\f(4πGρ,3)r，當(dāng)r<R時，g與r成正比；當(dāng)r>R時，g與r平方成反比。即質(zhì)量一定的小物體受到的引力大小F在地球內(nèi)部與r成正比，在外部與r的平方成反比。應(yīng)選A。考點綜合訓(xùn)練13．一質(zhì)量為m的物體靜止在北極與赤道對地面的壓力差為ΔN，假設(shè)地球是質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R。那么地球的自轉(zhuǎn)周期為()A．T＝2πeq\r(\f(mR,ΔN)) B.T＝2πeq\r(\f(ΔN,mR))C．T＝2πeq\r(\f(mΔN,R)) D．T＝2πeq\r(\f(R,mΔN))解析：選A在北極，物體所受的萬有引力F與支持力N大小相等，在赤道處有F－N＝ΔN＝mReq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，解得T＝2πeq\r(\f(mR,ΔN))，A正確。14．(多項選擇)(2022·西安模擬)歐洲航天局的第一枚月球探測器——“智能1號〞環(huán)繞月球沿橢圓軌道運動，用m表示它的質(zhì)量，h表示它近月點的高度，ω表示它在近月點的角速度，a表示它在近月點的加速度，R表示月球的半徑，g表示月球外表處的重力加速度。忽略其他星球?qū)Α爸悄?號〞的影響，那么它在近月點所受月球?qū)λ娜f有引力的大小等于()A．ma B．meq\f(R2g,R＋h2)C．m(R＋h)ω2 D．meq\f(R2ω2,R＋h)解析：選AB“智能1號〞在近月點所受月球?qū)λ娜f有引力，即為它所受的合力，由牛頓第二定律得F＝m