2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何初步第4節(jié)垂直關(guān)系課時(shí)分層訓(xùn)練文北師大版

PAGEPAGE1課時(shí)分層訓(xùn)練(三十九)垂直關(guān)系A(chǔ)組根底達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1．(2022·西安六校聯(lián)考)m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且mαB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥βC[由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確．]2．(2022·天津河西模擬)設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，那么以下說法正確的選項(xiàng)是()A．假設(shè)l∥α，l∥β，那么α∥βB．假設(shè)l∥α，l⊥β，那么α⊥βC．假設(shè)α⊥β，l⊥α，那么l∥βD．假設(shè)α⊥β，l∥α，那么l⊥βB[A中，α∥β或α與β相交，不正確．B中，過直線l作平面γ，設(shè)α∩γ＝l′，那么l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，從而α⊥β，B正確．C中，l∥β或lβ，C不正確．對(duì)于D中，l與β的位置關(guān)系不確定．]3．如圖7-4-10，在正四面體P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論不成立的是()圖7-4-10A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABCD[因?yàn)锽C∥DF，DF平面PDF，BC平面PDF，所以BC∥平面PDF，應(yīng)選項(xiàng)A正確．在正四面體中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，所以BC⊥平面PAE，那么DF⊥平面PAE，從而平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B，C均正確．]4．(2022·南昌二模)α，β是兩不重合的平面，直線m⊥α，直線n⊥β，那么“α，β相交〞是“直線m，n異面〞的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[分別垂直于兩個(gè)相交平面的兩條直線可能異面，也可能相交，所以“α，β相交〞不一定有“直線m，n異面〞；而當(dāng)直線m，n異面時(shí)，兩個(gè)平面不可能平行，否那么假設(shè)α∥β，那么必有m∥n，與直線m，n異面矛盾．因此“α，β相交〞是“直線m，n異面〞的必要不充分條件，應(yīng)選B.]5．如圖7-4-11，在三棱錐D-ABC中，假設(shè)AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，那么以下命題中正確的選項(xiàng)是()圖7-4-11A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDEC[因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]二、填空題6．如圖7-4-12所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC等)[由定理可知，BD⊥PC.圖7-4-12∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，有PC⊥平面MBD.又PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]7．如圖7-4-13，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長(zhǎng)都相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中心，那么AD【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482338】圖7-4-13eq\f(π,3)[取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，那么AE⊥平面BB1C1C.所以∠ADE為直線AD與平面BB1C設(shè)三棱柱的所有棱長(zhǎng)為a，在Rt△AED中，AE＝eq\f(\r(3),2)a，DE＝eq\f(a,2).所以tan∠ADE＝eq\f(AE,DE)＝eq\r(3)，那么∠ADE＝eq\f(π,3).故AD與平面BB1C1C所成的角為eq\f(π,3).]8．(2022·全國(guó)卷Ⅱ)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有以下四個(gè)命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，mα，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號(hào))②③④[對(duì)于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故錯(cuò)誤．對(duì)于②，由線面平行的性質(zhì)定理知存在直線lα，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正確．對(duì)于③，因?yàn)棣痢桅拢驭?，β沒有公共點(diǎn)．又mα，所以m，β沒有公共點(diǎn)，由線面平行的定義可知m∥β，故正確．對(duì)于④，因?yàn)閙∥n，所以m與α所成的角和n與α所成的角相等．因?yàn)棣痢桅拢詎與α所成的角和n與β所成的角相等，所以m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確．]三、解答題9.(2022·北京高考)在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．圖7-4-14(1)求證：VB∥平面MOC；(2)求證：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱錐V-ABC的體積．[解](1)證明：因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥VB.3分又因?yàn)閂B?平面MOC，所以VB∥平面MOC.5分(2)證明：因?yàn)锳C＝BC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB.又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC，且OC平面ABC，所以O(shè)C⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.8分(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，所以AB＝2，OC＝1.所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝eq\r(3).9分又因?yàn)镺C⊥平面VAB，所以三棱錐C-VAB的體積等于eq\f(1,3)OC·S△VAB＝eq\f(\r(3),3).又因?yàn)槿忮FV-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，所以三棱錐V-ABC的體積為eq\f(\r(3),3).12分10．⊙O的直徑AB＝4，點(diǎn)C，D為⊙O上兩點(diǎn)，且∠CAB＝45°，F(xiàn)為eq\x\to(BC)的中點(diǎn)．沿直徑AB折起，使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直(如圖7-4-15②)．①②圖7-4-15(1)求證：OF∥平面ACD；(2)在AD上是否存在點(diǎn)E，使得平面OCE⊥平面ACD？假設(shè)存在，試指出點(diǎn)E的位置；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．[解](1)證明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，1分又因?yàn)镕為的中點(diǎn)，所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，3分又AC平面ACD，OF平面ACD，所以O(shè)F∥平面ACD.5分(2)存在，E為AD中點(diǎn)，因?yàn)镺A＝OD，所以O(shè)E⊥AD.7分又OC⊥AB且兩半圓所在平面互相垂直．所以O(shè)C⊥平面OAD.9分又AD平面OAD，所以AD⊥OC，由于OE，OC是平面OCE內(nèi)的兩條相交直線，所以AD⊥平面OCE.又AD平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD.12分B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1．(2022·貴州貴陽二模)如圖7-4-16，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF把正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O，那么以下說法正確的選項(xiàng)是()圖7-4-16A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的內(nèi)心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心A[由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，那么PO⊥EF，因?yàn)镻O∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，所以O(shè)為△AEF的垂心．]2．如圖7-4-17，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF＝________時(shí)，CF⊥平面圖7-4-17【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482339】a或2a[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D為了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F設(shè)AF＝x，那么CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝23．(2022·四川高考)如圖7-4-18，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝eq\f(1,2)AD.圖7-4-18(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM∥平面PAB，并說明理由；(2)證明：平面PAB⊥平面PBD.[解](1)取棱AD的中點(diǎn)M(M∈平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn)．理由如下：連接CM，因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，所以BC∥AM，且BC＝AM.2分所以四邊形AMCB是平行四邊形，所以CM∥AB.又AB平面PAB，CM?平面PAB，所以CM∥平面PAB.(說明：取棱PD的中點(diǎn)N，那么所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))5分(2)證明：由，PA⊥AB，PA⊥CD，因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq\f(