吉林大學(xué)附屬中學(xué)新高中數(shù)學(xué)立體幾何多選題專題復(fù)習(xí)含解析

吉林大附屬中學(xué)新中數(shù)學(xué)體幾何多選專題復(fù)含解析一、立幾何多選題1．已知圖中A、、

、D是方形EFGH

各邊的中點(diǎn)，分別沿著AB

、

、把ABF

、△CDH

、△向上起，使得每個(gè)三形所在的平面都與平面

ABCD

垂直，再順次連接EFGH

，得到一個(gè)如圖所的多面體，則（）A．AEF正三角形B．面AEF平面CGHC．線CG與面AEF所角的正切值為．AB

時(shí)，多面體ABCDEFGH

的體積為

83【答案】【分析】取

、AB的點(diǎn)

O

、，連接OH

、OM

，證明出OH

平面

ABCD

，然后以點(diǎn)O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM

、

、OH

所在直線分別為x、y、

軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出

EF

，可判斷A選的正誤，利用空間向量法可判斷BC選的正誤，利用幾何體的體積公式可判斷選的正誤.【詳解】取、AB的點(diǎn)O、，接OHOM，在圖中

、B、C、D是正方形各的中點(diǎn)，則GHEHDH

，為CD的點(diǎn)，OHCD

，平面CDH面，平面CDH面ABCD，

平面，平CDH，在圖中設(shè)正方形

EFGH的長為2

，可得四邊形

ABCD

的邊長為

a

，在圖中和均等腰直角三角形，可得BAF45，90，四形是邊長為2a正方形，

、分為CD、的中，則OC且BM，OCB90，所以，四邊形OCBM

為矩形，所以，

，以點(diǎn)

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM

、

、OH

所在直線分別為x、、軸立空間直角坐標(biāo)系，則

,0,0a

、,a.對于選，由空中兩點(diǎn)間的距離公式可得

AEAFEF

a

，所以，是正三角形A選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為

m

x11

，

AE

AFa

，由

11ay11

，取

z1

，則

x1

，

y1

，則m

，設(shè)平面

的法向量為

y,z2

，由

ax2222

，取

，可得

x2

，y

，則n

，m

，所以，平面與面CGH

不垂直B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選，

cosm

633

，設(shè)直線CG與面所角為，則sin

63

3，，3所以，

cos

2

，選項(xiàng)正確；對于D選，以ABCD底面，以O(shè)H為高將幾何體EFGH補(bǔ)成長方體BC111

，則E、F、G

、分別為

D、B、B、D11111

的中點(diǎn)，

eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)因?yàn)?，a，

OH，方體C111

的體積為

，

EF

1S

，因此，多面體

的體積為

ABCDEFGH

V

EF

4

103

，D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（）用面面直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（）構(gòu)成線角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度

h

，從而不必作出線面角，則線面角足sin

hl

（

l

為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（）立空間角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線l的向向量，為平面的法向量，則線面角弦值為

sin

cos,

.2．如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六體

BD111

，其中，以頂點(diǎn)A為點(diǎn)的三條棱長都等于1

，且它們彼此的夾角都是，列說法中正確的是（）A．

ABAD

B．在面

ABCD

上的射影是線段BD的點(diǎn)C．

1

與平面

ABCD

所成角大于．BD與AC所角的余弦值為1【答案】【分析】

63對，分別計(jì)算AAAD和

，進(jìn)行判斷；對，設(shè)中點(diǎn)為

O

，連接，假設(shè)在底面ABCD上的影是線段的中點(diǎn)，應(yīng)得1

，計(jì)算O，即可判斷

在底面

ABCD

上的射影不是線段的中點(diǎn)；對C計(jì)算

1111111111111111AAC11

，根據(jù)勾股定理逆定理判斷得

A，AA與平面ABCD成角為11AC，再計(jì)算A1

；對D，算

BDAC1

以及BD，再利用向量的夾角公式代入計(jì)算夾角的余弦.【詳解】對，由題意，

AAAA11

12

，所以AD2111，ACAB，以ACAD2，

12

所以

AD1

，故正；對，設(shè)BD中為，連接O，AOAAAOA1

111AADAB，底面上的射影是222線段的中點(diǎn)，則

AO1

平面

ABCD

，則應(yīng)

A

，又因?yàn)锳OAADAD2222224，故錯(cuò)誤；對D，ADABAC1

，所以

2,AC，BDAAABAB1，

cosAC

BD

6

，故不確；對C，

BD1

，在AAC，AA2,3111

，所以AAAC1

，所以A11

，所以

1

與平面

ABCD

所成角為

AC1

，又

tanAC21

，即AAC故選：

，故C正確；

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用向量方法解決立體幾何問題，需要樹“基意識(shí)，用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算，要理解空間向量概念、性質(zhì)、運(yùn)算，注意和平面向量類比；同時(shí)對于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，利用向量的夾角公式求.3．如圖，已知四棱錐PABCD所棱長均為點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)P,C合），若過點(diǎn)M且直PC的面該四棱錐分成兩分，則下列結(jié)論正確的是（）A．截面的形狀可能為三角形、四邊形、邊形B．面和底面所的銳二面角為C．時(shí)截面的面積為5

4．PM

時(shí)，記被截面分成的兩個(gè)幾何體的體積分別VV

，則

VV12【答案】【分析】點(diǎn)M是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)其不同位置，對選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即.【詳解】A選中，如，連接，M是PC中點(diǎn)時(shí)，

，

由題意知三角形PDC與角形PBC都是邊長為的三角形，所以DMPCBMBC，又DM在內(nèi)且交，所以

平面PBD三角形MBD即過點(diǎn)M且直于

的截面，此時(shí)是三角形，點(diǎn)M向移動(dòng)時(shí)，MC

，如圖，仍是三角形；若點(diǎn)M由點(diǎn)位置向上移動(dòng)，MC在平面PDC內(nèi)作EMPC，交PD于E，在平面內(nèi)FMPC交于，面MEF交面PAD于EG，交PAB于FH即交平面ABCD于，五邊形MEGHF即過M且垂直于

的截面，此時(shí)是五邊形；故截面的形狀可能為三角形、五邊形錯(cuò)；B選項(xiàng)中，因?yàn)榻孛婵偱cPC垂，所以同位置的截面均平行，截面與平面所成的銳角為定值，不妨取是中點(diǎn)，連接，BD，，MD，設(shè)AC，交點(diǎn)是，接PN，題意知，四邊形是邊長為4的形，

，因?yàn)?MD，所以

，故

2424

是截面與平面所的銳角，過點(diǎn)M作MQ，足在三角形PAC中，=22，在直角三角形MNQ中，

NQ，MN2

4

，故正；C選中，當(dāng)PM時(shí)，M是PC中點(diǎn)，如圖，五邊形MEGHF即過點(diǎn)M且垂直于

的截面，依題意，直角三角形PME中

PE

PM

，故E為的中點(diǎn)，同理F是的點(diǎn)，則是角形的位線，

EF

12

BD

，，分別在

ADAB的中點(diǎn)上，證明如下，當(dāng)G，，是中點(diǎn)時(shí)，

GH//BD,

12

BD

，有GH//EF2

，四邊形EFHG是平行四邊形依意，三角形PAC中PC，故PA，GE，見，正四棱錐中BD面，BDPC，GH

，因?yàn)镚EGH均平面EFHG內(nèi)且相交，所以

平面，故此時(shí)平面和面MEF即一平面又BD面，

GH面平面，GH，據(jù)對稱性有G，邊形EFHG是矩形即五邊形MEGHF即過點(diǎn)且直于PC的面，平面圖如下依題意，GH，

，三角形高為h

32，面積是

12

，四邊形面積是2，故截面面積是5故正；D選項(xiàng)中，若PM=2，看B選中的圖可知，

V2MBCD

11VVPP

，故剩余部分

V1

34

VP

，所以

V12

，故D正確.

故選：【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的截面問題，考查了二面角、體積等計(jì)算問題，屬于難.4．已知正方體

BC111

的棱長為2，O為

D1

的中點(diǎn)，若以O(shè)為心，6為半徑的球面與正方體的是（）

BD111

的棱有四個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)，，，下列結(jié)論正確A．B．

AD//1AC1

平面平面C．

AB11

與平面所的角的大小為45°．面

將正方體

BC111

分成兩部分的體積的比為1【答案】【分析】如圖，計(jì)算可得

,,

分別為所在棱的中點(diǎn)，利用空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系的判斷方法可判斷A、的正確與否，計(jì)算出直線AB與面

所成的角為

45

后可得C正確，而幾何體【詳解】

CGF

為三棱柱，利用公式可求其體積，從而可判斷正與否如圖，連接OA，OA

AA21

5

，故棱

A,A,DAD11

與球面沒有交點(diǎn)同理，棱

AC111111

與球面沒有交點(diǎn)因?yàn)槔?/p>

D1

與棱

之間的距離為

6，棱

與球面沒有交點(diǎn)因?yàn)檎襟w的棱長為2，而2

6，球面與正方體

BD111

的棱有四個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)，，，所以棱

AB,CD,CC,BB1

與球面各有一個(gè)交點(diǎn)，如各為

,,

.因?yàn)椤鱋AE為角三角形，故

2

OA2

，故E為棱AB中點(diǎn)同理

FGH分別為棱,BB1

的中點(diǎn)

由正方形ABCD、E,F為在棱的中點(diǎn)可得//BC，同理

GH

，故//GH

，故

,,

共面.由正方體

BD可D//BC，//EF111因?yàn)?/p>

A11

平面

，EF平面

，故

AD//1

平面

，故A正確.因?yàn)樵谥苯侨荂，A211

，

，

BC90

，A1

與BC

不垂直，故與GH1

不垂直，故

AC1

平面不立，故B錯(cuò)誤由正方體

BD111

可得平面

BB，面AABB111

，所以

BCAB，以EFB11在正方形

BB中因?yàn)镋,H分別為,BB11

的中點(diǎn)，故

B1

，因?yàn)?/p>

E，1

平面EFGH所以為線AB與面

所成的角，而

，故直線與面

所成的角為

45

，因?yàn)?/p>

//A，B11

與平面EFGH

所成的角的大小為故C正確.因?yàn)?/p>

,,

分別為所在棱的中點(diǎn)，故幾何體BHECGF三棱柱，其體積為

12

，而正方體的體積為8，故平面EFGH

將正方體

A11

分成兩部分的體積的比為17，故正確.故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面位置的判斷、空間角的計(jì)算和體積的計(jì)算，注意根據(jù)球的半徑確定哪些棱與球面有交點(diǎn)，本題屬于中檔.5．（多選題）在四面體ABC中以上說法正確的有（）A．若

AB3

，則可知B．eq\o\ac(△,為)eq\o\ac(△,)ABC的心，則PQ

111PAPC333C．PA，PC，則AC．四面體各棱長都為2，別為,的點(diǎn)，則MN【答案】【分析】作出四面體直圖，在每個(gè)三角形中利用向量的線性運(yùn)算可.【詳解】

22對于A，

AD

13

，3ADAB，2AD，2BD，BDDCBC即3BC，A正；對于B，

eq\o\ac(△,為)eq\o\ac(△,)

的重心，則QC，PQQCPQ()))PQ,即

1PA3

，故B正確；對于

，若BC則BCPCAB，PAPC(AC),PCPAPCBC,(PAPC)BCPCACCABCACAC(CB)ACPB，

正確；對于DPNPM

111(PC)PA(PBPC)222

11PBPAPB2PBPAPBPC11222

MN

，故D錯(cuò)誤.故選：【點(diǎn)睛】用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)用知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．(3)在體幾何中三角形法則、平行四邊形法仍然成立．6．如圖四棱錐

P

，平面PAD面

ABCD

，側(cè)面PAD

是邊長為26的三角形，底面

ABCD

為矩形，2，

是的點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．CQ面PADB．與平面成角的余弦值為

23C．棱錐

B

的體積為

．棱錐

QABCD

外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為24【答案】【分析】取AD的中點(diǎn)

O

，BC

的中點(diǎn)，接

OEOP

，則由已知可得面

ABCD

，而底面ABCD為矩形，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以

D,OE

所在的直線為軸

軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量依次求解即.【詳解】解：取中點(diǎn)，BC中點(diǎn)，接OE，因?yàn)槿切蜳AD為等三角形，所以,因?yàn)槠矫鍼AD面ABCD，所以面，因?yàn)锳DOE，以O(shè)E

兩兩垂直，所以，如下圖，以

O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以

D,OE

所在的直線為軸軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則O(6,0,0),(6,0,0)

，C(3,0),(6,23,0)

，

22632因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以()，22平面

的一個(gè)法向量為m(0,1,0)

，QC

63)，然與QC不線，2所以CQ與面不直，所以不確；PC3,AQ

3322

(223,0)，設(shè)平面AQC的向量為xz則

n

3x2

，

n6令=1，則y2,z3

，所以2,3)

，設(shè)

與平面AQC所角為，則

1PC66

，所以cos

23

，所以B正；三棱錐BACQ的積為B

Q

S

1222所以C不確；

，設(shè)四棱錐外接球的球心為(0,3,

，則MQ6所以

3

，解得a，M(0,3,0)為矩形ABCD對線的交點(diǎn)，所以四棱錐ABCD外球的半為，設(shè)四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的棱長為，將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方體面的對角線，故正方體的棱長為

22

x，以3

2

，得

24，

BB所以正四面體的表面積為4

34

x

24，所以D正.故選：【點(diǎn)睛】此題考查線面垂直，線面角，棱錐的體積，棱錐的外接球等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，考查了計(jì)算能力，屬于較難.7．已知正四棱柱

A11

的底面邊長為，棱

AA1

，P為底面A

上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論中正確結(jié)論為（）A．若PD

，則滿足條件的P點(diǎn)有且只有一個(gè)B．，點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧C．∥平ACB，長的小值為．PD∥平ACB

，且，平面截四棱柱

BD111

的外接球所得平面圖形的面積為【答案】【分析】

若PD

，由于P與重合時(shí)，時(shí)點(diǎn)一；

3

，則

，即點(diǎn)P軌跡是一段圓??；當(dāng)為

C1

中點(diǎn)時(shí)DP有最小值為，判斷；面BDP截四棱柱

BC111

的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為

32

，可得D【詳解】如圖：

BB正棱柱ABCDABC11

的底面邊長為2，

D22又側(cè)棱AA，1DB2則與重時(shí)PD

，此時(shí)P點(diǎn)一，故正；

3

，DD

，則

，即點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧，故B正；連接，，得平面DC//2，錯(cuò)誤；

平面ACB，當(dāng)為

C1

中點(diǎn)時(shí)DP有最小值為由知，平面BDP即為平面

BDDB11

，平面截四棱柱

D11

的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為

13222

，面積為，D正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何綜合，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題8．如圖，

BC111

為正方體，下列結(jié)論中正確的是（）A．

AC平面D111B．BD面ACBC．

1

與底面

BCC11

所成角的正切值是2．點(diǎn)與異直線與成角的直線有條【答案】

11y11y【分析】由直線與平面垂直的判定判斷A與B；求解與面B11用空間向量法可判斷．【詳解】

所成角的正切值判斷C；對于選，如圖在正方體

BD111

中，BB平A，C平面BCD，則BBC111111

，由于四邊形

A為方形，則D1

，BB1

BB，此，C平面BBDD1111

，故正；對于選項(xiàng)，在正方體

BD111

中，1

平面ABCDAC平面，AC1

，因?yàn)樗倪呅?/p>

ABCD

為正方形，所以，

ACBD

，1

，面D1

，1

平面

BB1

，AC1

，同理可得

BC1

，AC

BC，1

平面ACB，故B正確；對于C選，由

C面，BD為BD與面BCC1111

所成角，且

D2BD11BC21

，故C錯(cuò)誤；對于D選，以點(diǎn)D為標(biāo)原點(diǎn)，DA、

、

1

所在直線分別為、、

軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長

，則

、

，

，設(shè)過點(diǎn)且與直線DA、

所成角的直線的方向向量為

m

z

，則

cosDAm

DADA

1y2

12

，

111111111111111111111111111111111111111111111111111cos,m1

11

12

2

2

12

，2整理可得2z2，

，消去并理得z，得z2或由已知可得

3

，所以，2，得

，因此，過點(diǎn)

A與面直線與CB1

成60角直線有2條D選正確故選：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面），解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；另外，在證明線線垂直時(shí)，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形（或給出線段長度，經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理）、直角梯形等等．9．如圖，在正方體ABCD﹣BD中點(diǎn)P在線段BC上動(dòng)，則（）A．直線BD平ADB．棱錐P﹣D的積為定值C．面直線AP與D所成角的取值范用45°90°]．線C與平面ACD所角的正弦值的最大值為

63【答案】【分析】在中，推導(dǎo)出C，BD，從而直線BD平D；中由BC平面CD，到P到面D的距離為定值，再eq\o\ac(△,由)D的面積是定值，從而三棱錐

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111﹣D的體積定值；在C中，異面直線AP與AD所角的取值范60°，；在D中，以D為原點(diǎn)DA為x軸DC為y軸，為軸建立空間直坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線C與面AD所角的正弦值的最大值為【詳解】解：在中，ACBD，C，D∩BB，平面D，AC，理，DC，∩＝，直平AD，A正確；在B中DBC，D面CD，面D，B平AD，

63

．點(diǎn)在線段B

上運(yùn)動(dòng)，P到面CD的距離為定值，eq\o\ac(△,)ACD的面積是定值，三棱錐P﹣CD