江蘇省鎮(zhèn)江市某中學2022-2023學年高三第一次學情調研數學試卷

高三年級暑期學情調研

數學試題

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的）

1.已知集合4=={x\2<x<5},B={尤-3x-4<0},則4nB==()

A.2,4B.[2,4]C.-1,5)D.-1,2)

2.復數:=()

2—1

.1,3.1.3.「3.1

A.—H--iBD.一+-iC.----F-iD.-+

55555555

3.在△ABC中,點〃在邊43上，BD=2DA.記后？=萬，CD=n,則而=（）

A.3m-2nB.-2m+3nC.3沅+2元D.2m+3n

4.從2,4,6,8中任取2個不同的數a,b,則|a—b|=4的概率是（)

A.；B.1C.iD.-

2346

5.已知】f（x）=2sin(a)x+cp}(^\(p\<^,a)>0^,f(0)二yf2,/g)=2,且f(x)在&§上無最小值,則

3=()

.3

AB.1C,：D.2

-;2

6.已知不等式ar+2-21nx之0恒成立，則d的取值范圍為（)

B-*+8)C.(o,52

A.》+8）D-0,-

sinl

7.已知la=esE%b=n,c=logne,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

8.已知球。的體積為寧H高為1的圓錐內接于球。，經過圓錐頂點的平面a截球。和圓錐所得的截面面

O

積分別為S1，S2,若S1=等，則$2=（）

O

A.2B.V5C.>/6D.2V2

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，不選或有錯選的得0分）

9.如圖所示，已知正方體力BCD-a8傳1劣的棱長為1,M,N分別是4D,

CG的中點，P是線段4B上的動點，則下列說法錯誤的是()

A.直線當必不可能與平面MNP平行

B.AMPN不可能是鈍角三角形.

C.當點P與48兩點不重合時，平面PMN截正方體所得的截面是六邊形

D.平面PMN截正方體所得的截面不可能是三角形

10.已知函數f(x)=-0+1)/，下列說法正確的是()

A.〃町在(一8,-2)上單調遞減，在(-2,+8)上單調遞增.

B./(x)在R上僅有一個零點

C.若關于x的方程/(x)=a(a€R)有兩個實數解，則a<

D./(無)在R上有最大值e-2,無最小值

11.已知/'(x)=(x+l)eHg(x)=x(lnx+1),則()

A.函數/"(X)在R上有兩個極值點

B.函數g(x)在(0,+oo)上的最小值為

C.若對任意xe[l,2],不等式g(ax)2g(/+1)恒成立，則實數a的最小值為|

D.若/'(xi)=g(>2)=t(t>0),則％2(與+1)"t的最小值為一｝

12.已知數列的前n項和為Sn,且的=2,0n+i=2Sn+2(nCN*),下列說法正確的有

)

711

A.數列｛5｝是等比數列B.an=2x3-

C.數列｛即｝是遞減數列D.數列｛廝｝是遞增數列

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.(x+y)(2x-的展開式中/y3的系數為.

14.己知圓G：(%-2)2+(y-3)2=1,圓C2：(x-3)2+(y-4)2=9,M、N分別是圓G，C?上動點P

是x軸上動點，則\PN\-\PM\的最大值是.

15.已知/"(X)=x2+ax,f(l)=4,曲線/(x)在x=1處的切線在y軸上的截距為-1,則實數a的值為

16.已知橢圓。的焦點為尸式一1,0),尸2(1,0),過尸2的直線與「交于4,6兩點.若MF2I=|出尸2|,出居|=

2\BF2\,則橢圓。的方程為.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.已知等差數列｛斯｝滿足斯+2an+1=3n+5.

(1)求數列｛電>｝的通項公式；

n

(2)設%=(an+2)2,求數列｛%｝的前n項和%.

18.在A/IBC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=2acos4cosc+2ccos?4

(1)求角4

(2)若a=4,求三角形周長的取值范圍.

19.如圖，在三棱柱ABC-AiBiCi中，■平面AABC為正三角形，側面4BB14是邊長為2的正

方形，〃為比'的中點.

(1)求證:平面4DCi1平面BCC$i；

(2)求二面角C-AB-G大小的余弦值.

20.一個袋子中有7個大小相同的球，其中有2個紅球，2個藍球，3個黑球，從中隨機取出3個球.

(1)求至少取到2個黑球的概率；

(2)設取到一個紅球得2分，取到一個藍球得1分，取到一個黑球得0分，記總得分為％求X的分布列和

均值.

21.己知F］、尸2分別為橢圓E：l(a>b>0)的左、右焦點，M為E上的一個動點，其中M到0的

最短距離為1,且當AMaFz的面積最大時，AMFiF2恰好為等邊三角形.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設直線丫=/^+m071力0)交橢圓岳于4,B兩點，。為坐標原點，直線。4。8的斜率分別為七，k2,

且4包=公.試探究|0川2+|OB『是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.

22.已知函數f(%)=ex-2ln(x4-1).

(1)求證：/(x)>0：

(2)若/(%)>ax+1恒成立，求實數a.

高三年級暑期學情調研

數學試題

1.A2.B3.B4.B5.A6.B7.C8.C

9.ABC10.BD11.BCD12.ABD

r2V2

13.4014.4+V215.216.—+-^-=1

54

17.(1)當n=l時，的+2a2=8①，

當n=2時，a2+2a3=11②，

②一①得，3d=3,解得d=l,

所以氏+2a2=%+2%+2=8,q=2,

所以a”=2+(n—l)xl=n+l；

⑵由(1)得%="+1,

則匕=3n+2)2"=5+3)2%

7；=4x21+5x22+6x23+-+(n+2)2n-1+(n+3)2n,

27；=4x22+5x23+6x24+-+(n+2)2n+(n+3)2n+1,

-7；=4x21+22+23+-+2n-(n+3)2n+1

22(1-

=8+—-----(n+3)2n+1

1—2

=4-(n+2)2n+1,

7；=-4+(n+2)2n+1.

18.(1)

因為b=2acosAcosC+2ccos2A

所以sinB=2sin4cos力cosC+2smecos2A

所以sinB=2cosA-sin(A+C)

因為4、B、C為△ABC的內角，所以sinB=2cos4-sinB

所以cos力=5所以4=g

(2)由題意周長，=a+b+c=4+b+c

所以1=4+2R(s譏B+s譏C),所以1=4+占1譏8+s譏Q4+B)],所以，=4+8sin+巴)

因為86(0,空)，所以B+江&詈)，所以+

所以周長的取值范圍為8,12.

19.(1)由△ABC為正三角形，。為a'的中點，可得4D1BC,又J■平面/仇?，ADu平面48a貝ij

BBX1AD,

又BBifyBC=B,BB?BCu平面BCCiB「貝必。_L平面BCC[Bi，又ADu平面2。口，則平面40cl_L平面

BCC]B]；

(2)

取AB的中點E,連接CECE,由△ABC為正三角形，可得CEJ.AB,又BB】_L平面4%,CCX||BBr,貝1J

CQ_L平面ABC,

又ABu平面ABC,則CCt±AB,又CC、PiCE=C,CCr,CEu平面C^E,貝IjAB，平面CC】E,又u平面

CJE,

答案第6頁，共3頁

則CiE_LAB,則4CEG即為二面角C-AB-G的平面角，易得CC】=2,CE="^=g，

CrE=V4T3=V7,所以C0S4CEG=第="，所以二面角C一AB-Q大小的余弦值為每.

C^E77

20.(1)記4="至少取到2個黑球”，

事件4包含：①取到2個黑球，1個紅球或藍球；②取到3個黑球.

所以P(A)=警/故至少取到2個黑球的概率為甘.

C73535

(2)4的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.

C2cl2

X=5即取到2個紅球，1個藍球，則尸

X=4即取到1個紅球，2個藍球，或取到2個紅球，1個黑球，

則P(X=4)=4警員=￡=也

1個黑球，則P(X=3)=筆&=1|；

X=3即取到1個紅球，1個藍球，

X=2即取到1個紅球，2個黑球，或取到2個藍球，1個黑球，

則P(X=2)=豆詈^=親

乂=1即取到1個藍球，2個黑球，則p(x=i)=m==；

21.(1)解：設|&F2l=2c,則由題意可知,

aC

\o1=>Q=2,c=1=>b=V3?

IQ=2c

故橢圓c的方程為=十《=1.

43

⑵解:設4解i，yj,B(x2,y2).聯立方程組

y=kx4-m

x2y2]=(3+4/c2)%2+8kmx+4m2—12=0,

{—4I—3=1

所以有4=(8km)2-4(3+4fc2)(4m2-12)>0=>m2<34-4fc2,且

,8km47n2-12

X1+X2=一建市，石久2=有薪

2

因為以心=爐，所以箋絲?置%=必，Bp/Cni(x1+x2)+m=0,故

22

--8-k-m-+,mzo=0(m。，仆0)=肥1?=一3.

3+4/C2')4

因此，有好+xj=01+x2y-2X62=(一黑1)2-'雋尸=4，

所以|。川2+|0用2=旨+3℃)+妗+3(1_苧)=岑^+6=7.

22.(l)f(x)的定義域為(-I,”).

方法2：r(x)=e"-^,令h(x)=ex-高，因為〃(為=/+品>0,

答案第7頁，共3頁

所以Mx)在區(qū)間上為單調增函數，

又九(0)=-1<0,/i(l)=e—1>0,所以存在唯一的X。6(0,1),使得九(工0)=0.

因為h(x)在區(qū)間(-1,為)上為單調減函數，在區(qū)間(稅,+8)上為單調增函數，

2

且滿足靖。=,x=ln2-Zn(x+1),

X。十JL00

2

Xo

所以h(x)>(x0)eZn(x0+1)—m27nm

XO+1Q

=2Q4-%o+l^—2—2Zn2,>2—2In2>0,得證.

⑵X0

令g(%)=f(%)—ax—1,則g(%)